Pour projeter une cubique quelconque

mx m'x m"x ,.

iix lix n X

d'un point y, on rem])!ace y, par ij, -[- A\r,, co qui (lonn(^ my -j- Unix — — j,

ny -j- kUx — — ~" '

d'où la relation

w?v + Unix -[- ? nx -\- k } Ha = 0,

avec deux analogues.

Si le point y est sur la courbe, on a my = o vy, etc., d'où l'équation

ny (t" + /) + hnix -p A'w^. = <>,

avec deux analogues; r(''limination de <•■> -h -, />', /i ,'- donne I Uy nix Ux -^0.

A|)pliquant ceci à la cubique H (jui j)asse par y, on a

dy (fty h'y f\) — fy {((y Vy d'y) {(ix hy d'y f'r) dx (Hv h'y /"v) — /, (^0' ^>J '-^'V) | = Ô^

C'est la condition que y soit à la fois sur une cubique 6 et sur une bisécante issue de x. Ou, en coordonnés y, c'est la suri'ace iS'io lieu des appuis des bisécantes issues de œ aux cubiques t). Le point x est visiblement double sur cotte surface, et le cône tangent en x est le cône perspectif à la cubicpie W qui passe par X.

33. Pour avoir la tangente à une cubique t), considérons le réseau de quadriques circonscrites à la cubique (■) qui passe i>ar y,

I X {Clx by d'y fy ) dx (%• Uy f'y ) — fx (Hy U y d'y ) 1 = 0 ;

le plan tangent en y s'obtient par le i)rocédé polaire

ce procédé ap])liqué à la seconde colonne du détei^minant ci-(lessus donne des r(''sultats nuls, donc, pour le plan tangent,

i >- (rfx hy d'y f'y ) dy (/fy h'y /"y ) - fy (Cïv h'y d"y ) \ = 0,

et, ))0ur la tangente.

Il {ax by d'y f'y ) 'iy (% h'y f'y ) — fy {fly h'y d" y ) \\ = 0.

En coordonnées y c'est le lieu des contacts des tangentes Issues du point œ ; l'ordre total de ce lieu est 37; mais la courbe Cg est comptée trii)le et les courbes c'g c"^ simples. }{estc une courbe d'ordre 13; le cône qui la projette d'un de ses points est du degré 12, donc le complexe des tangentes aux cubiques B esl du douzième ordre.

Si dans la matrice représentant la tangente, on additionne les lignes multipliées respectivement par l, V, l", on trouve

1 1 {a,- by d'y f'y ) — 0,

ï l [dy {ay b'y f'y ) - U' (rty Uy d"y )] == 0

et ces relations représentent le faisceau des ])lans par la tangente, car, pour un point x arbitraire, on détermine les rapports mutuels de Z, /', l". Ces deux équations représentent donc un j)lan tangent à la cubique 0 menée par y. En exprimant que ce plan ])asse par les points ; et t, et en éliminant l, /', l" , on trouve

{(I: by d'y f'y ) {m bv d'y f'y ) dy (ay b'y f" y ) — fy {^(,y b'y d'[y ) | = 0.

En coordonnées y, c'est la surface Siq lieu des contacts des plans tangents menés par la droite z t aux cubiques H. La droite z t est visiblement simple sur cette surface, donc le lieu des contacts d'un plan fixe avec les cubiques B est une courbe du neuvième ordre.