Pour avoir le point conjugué d'un point y pour

une cubique ]! w^ nx \\ = 0, on i)rend les trois quadriques ^-irconscrites obtenues au moyen des trois déterminants extraits delà matrice; on forme les plans polaires de y relatifs à ces quadriques, ce qai donne la relation

my n'x — m'y nx -f- m^n'y — m'xn^^ = 0

et deux analogues. En appliquant à la cubique H, ce qui introduit les paramètres a^, a^, «3, on obtient l'égalité

-->-{' {ay d'x — a' y dx + a a d'y — a'.x dy ) -]- -j-^ -j-, {by d'x — b'y dx -f

b, d'y — b'x dy ) + -y, a, {Oy /'v - a y /.v + (tx fy — a' x fy ) + a, a, (^v fx - b'y fx + bx fy — b'x fy ) — Ô .

et deux analogues; ces trois relations bilinéaires en -j.^ : y..^ et ^1 : y.^ permettent, comme on l'a fait plus haut déjà, l'élimination

simple qui donne l;i surfaf'.e \ lieu du conjugué de ij jiour les cubiques W, et la surcliminalion qui donne les lignes singulières de cette sui'face. Visiblement // est double sur .% et le cône tangent est le cône perspectif à la cubi(|ne H menée par y.

35. La représentation au moyen d'une matrice facilite lÏHude d'une certaine transformation cubique de res|)ace, transformation connue et à laquelle nous avons fait allusion dans le préambule du présent cbapilre. Posons

Zy : 3, : .V; : .":j = | f>x(U fx | : — | iix ilx /.i | : \ a x l>\ fx \ :

— I tix l>x (Jx I ;

cette transformation fait cori'cspondre les plans (Tun esj>ace E> (en coordonnées .^) aux surfaces cubiques cii'conscrites à la sextique c\ dans l'espace L\ La congruence <-> ivjiond à une •congruenee de droites dont voici les équations :

Si .'• (\st un point quelcon(|ue de res|)ace A^.on a la relation

c?i z■^ -f f)v :-.^ -i- (Jx :■:, + A -i = "

et deux analogues; d'où les .r j)roportionnels à quatre fonctions oubiques en .^, toutes pareilles aux piV'cédentes : h^s plans de respac(> Ey réjjondent donc à des surfaces cubiques circonscrites dans L\ à une sextique c',^ conjuguée de c\.: les droites de L\ répondent à des cubiques octosécantes de c',; ; la sextique <•',; est représentt'e j)ar une matrice à ;> lignes et 1 colonnes de formes en c.

Mais si ,/' est un point de c\.. r<''(juation écrite en dernier lieu et les deux analogues sont vérifiées j)0ur une infinité de |)oints c en ligne droite, et cette droite est trisécante tle c\^ Cardans la matrice qui définit e'„ on peut faire une addition de colonnes telle que les ('déments d'une colonne s'annident pour une; même droite, en c. : et cette droite rencontre c\. aux trois points où elle perce la surface du troisièm<> ordredéfinie jiar le déterminant des trois colonnes restantes.

Cliercbons les cubi(pies H par un point /' de c^: à P répond une ti-isécante ;' de Cy ; à c'..{ et c".^ deux droites a', a" sans point commun : les droites appuyées sur /, a', a" engendrent un ^système i^églé d'une quadrirpie, donc les cubiques <-> corresjton-

dames engendrent une surface S^. Une droite d rencontrant c'3 répond à une cubique rencontrant a' et perçant encore laquadriquc {ta'a") en cinq autres points; donc d perce ^g en cinq points autres que son appui surc'g-, ou c'3 est une courbe simplasur 5^; de même pour d'^. Chaque point de c^ répond à une trisécante de c'g et perce deux fois la quadrique {i o! a), donc la courbe Cg est double sur S^. Deux quadriques {ta! ci'), {t'a' a") ont encore deux droites communes, donc, par deux points de Cg. on peut mener deux cubiques W.

On trouve pareillement les cubiques 0 par un point H de c'g : à ce point H répond un point h de a'; les droites issues de h et s'appuyant sur a' engendrent un plan auquel répond une surface S^. On peut déduire de là ces corollaires faciles : il n'y a pas de cubique O par deux points de c'g-, il y a une cubique (-) par un point de c'3 et un de c"3, ou par un point de c'3 et un de Cg.

36. La transformation utilisée ci-dessus se prête bien à l'étude des cubiques W dégénérées. Comme les courbes (-) coupent c^ en huit points, et que c^^ n'est jamais rencontrée par une conique en six points (l\ si une cubique ft dégénère en une conique et une droite, ceile'-ci est trisécante de c«. et la cubique dégénérée répond à une droite unisécantc de c'g. Les droites des cubiques (") dégénérées forment donc la surface, du huitième ordre (2), des trisécantes de c„. Quant aux coniques, elles engendrent une surface S,^, car les droites s'appuyant sur n\ a' et c',. engendrent une surface S^.^, à laquelle correspond un couple de surfaces d'ordre total 3(3. A tout point P de Cg répond une trisécante é de c'« ; la multiplicité de Cg sur S.,, est égale au nombre de droites s'appuyant sur f, a', a" et c\ ■ or c'a rencontre 12 fois la quadrique {l, a', a") dont 3 fois sur t et 9 fois en dehors. A toute unisécante d de c'3 répond une cubique A coupant une fois a', liuit fois c'g; il n'y a donc plus que 27 droites (36 — 8 — 1) s'appuyant sur A. a\ a'\ c\ donc c'3 (et aussi c''3 ) est simple surS^,.

(1) Voir Cinq Eludes, p. .'31.

(2) Car une droite quelconque rencontre de.s <;;-éuératrices Je cette surface en des points répondant, dans l'espace E-y. aux S appuis d'une cubiquegauche sur c'g.

Pour Ifs cubiques H dégénérant en trois di'oiies, elles répondenl à des bisécanies de c',,. Or les bisécantes de c'„ forment une coniiTuence d'ordre 7 et classe ir.: les droites s'appuvanl sur rc'et a" forment une congruence d'oi\ire et classe 1 ; d'après un théorème d'Halj)hen, il y a 22 ravons communs.

37. Aux oc' cubiques '-) s'apjniyant chacune deux fois sur une bisécante singulière, répondent des droites s'appuyant sur a' et a'\ et deux fois sur une cubique gauche A.

1" Si a' {on a") rencontre A, les oo^ bisécanies qui s"a])puient sur a' (ou n") engendrent une quadrique, et rc" (ou a) est aussi unisécante de A.

2" Sinon les bisécantes de A qui rencontrent a' forment une surfaces^: tout plan par a contient trois génératrices deS^: aucune autre droite sur S^ ne peut rencontrer ces ti'ois génératrices sans se confondre avec l'une d'elles, donc rencontrer Ci. Or a' et a" sont supposées sans point commun, donc cette seconde alternative ne donne pas de bisécante singulière. Mais a" perçant quatre fois 5^. on contrôle, en passant que la congruence H est de classe 4.

3'^ Les deux cas jin-cédents supposent la cubique A projjrement dite. Admettons ensuite que A se décompose en une droite o et une coni(iue ■; (ceci exige que la droite correspondante dans E^ s'a])puie sur Cq ) : ou bien la droite -> ne renconti'e ni a', ni a", alors les rayons rencontrant s a\ a" forment une quadrique et pour qu'ils rencontrent tous v. il faut que cette conique soit sur la quadrique, donc rencontre a et a\ ce qui ramène au 1°; — ou bien o rencontre a' par exem])le sans que Y rencontre a" (ce qui serait le 1°), les seuls rayons coupant une fois a' et a" et deux fois la cubique dégénérée sont celui joignant les percées de a' et a" dans le plan •;, et les rayons joignant le point (o a') aux intersections de y avec le plan mené par ce point (o «') et par la droite a": donc ù ceci ne correspond pas de bisécante singulière; — ou enfin y rencontrer' en deux points; alors bs oo rayons menôs dans le plan •; par le ])oint de percée de «" sont des bisécantes de la cubique dégénérée; dans l'espace r\. il leur répond une surface S■^.

Kn résumé, il y a en fait de bisécantes singulières, d'abord

les oo' droites uniséccmtes de Cg et Insécantes de c.^ (ou c".j )^ ensuite des droites unisécanies de c'.^cid\, et en nombrelini, comme nous le ferons voir.

Pour toute bisécante singulière, les cul)if|ues <-) engendrent, ou l)ien une surface S.^, comme on vient de l'observer, ou biert une surface 5,5 répondant à une quadrique. Dans ce dernier cas, on constate, comme plus haut, que c'.j, c'^ sont des lignes simples sur 5'„ et que c^ en est une ligne double.

Les cultiques A octosécantes de c'„ et s'apj)u\ ani une fois sur a' et a' forment une congruence, car celles qui passent par un point de a' forment une congruence linéaire étudiée au cliapitre précédent; donc il en |)asse une ])ar un point arbitraire P de a' et un point arbitraire Q de n''. Pour qu'elle corresponde, à une bisécante singulière, il faut que les deux unisécantes a\ a" déterminent une môme (piadrique circonscrite à A, ce qui fait deux conditions; car la quadrique cii'conscrite déterminée par a' coupe a' en P et en un autre point R donm'' par une équation (kl premier degré; il faut deux conditions pour que celle-ci soit indéterminée. Donc il y a un nombre fini de hisécantes qui sont il la fois unisécantes de c\ et c\

38. Passons à l'examen analviique de cette dernière catégorie de bisécantes sinç-ulières.

Les conditions pour que doux i)oints y ci z soient sur une même bisécante d'une cubique W s'écrivent

Il ^1^0' + -'ih ^i'Iy + -^.lA' y-iaz + y..,hz -j-^dz -f -/^ /^ jj = a

1" Cherclions les l)isécantes singulières appuvées sur c'.,, et (•"3, mais ne i)assant par aucun des deux points {hb' b"), if f f); nous pouvons sup])Oser y sur c\ et par constVjuent écrire, en admettant que by, b'y. b'y ne soient pas tous nuls,

ay = w b\\ (l'y = '" b'y^ il 'y = (•) /y"v,

et de même prendre .' sur c'^,

dz =- <.//r, a:z = o»'/'^, d''z = <.;/\

avec la même restriction que /, /', /', ne sont pas tous nuls. Alors la matrice de plus haut devient

M Z^ (o. y., — v.. ) hy y.^ dy ^ y.,^fy a^ a^ -f a^ b: ('•/ 7.^ -{- a., ) fz ^ === 0;

•Jv)

pour que y z- soit bisécanle singulière, il faut et il suffit que M' s'annule pour une infinité Je points y.. Le déterminant des colonnes 1, 2, \ et celui des colonnes 1, :î, \ ont respectivement les formes (pie voici

si l'on a posé >. = | hx dy /: |. \>. = \ by /.■ /.: I, >■' = I ^O' ": /: i,

Les deux expressions À y.^ — y. ag et /' «j -i- y.' a^^ i)Ourraient représenter la même droite du plan (a), mais celle-ci se réduirait à Xj = 0 et ceci correspond, on s'en souvient, à une seule cubique W.

Mais l'une de ces expressions peut être identiquement nulle, par exemple si l'on a À ^ ;j. = 0, et ces dernières conditions sont réalisées si l'on a, ou bien

i! f'y h il == <:>

ou bien

il '*)• dy fy- U^ I: = «'•

Dans 1(> premier cas, on peut, i^ar soustraction, annuler la ])remière colonne de M et l'on a ellectivement une infinité de points -/ annulant le di'terminant l'estant : ces points sont sur une conique, et les cubiques H correspondantes engendrent une surface S^^. D'ailleurs, les relations ^)yiz \ = 0 indi([uent une projectiviié entre les rayons de la gerbe du sommet {]> h' h") et celle de sommet (/ /' /') ; les rayons de la seconde qui projettent les points c de c'g forment un cône quadratique, puisque (/ /' / ) ^st sur c":j ; il y répond un cône pareil dans la première gerbe, et ce cône coupe c':j en quatre i)oints autres que [h h' h").

Dans le second cas, on a 1 by il y fy j = 0, avec Oy by = o, ])uisque ij est sur c':j ; ces relations représentent, outre le point {b b' b") exclu par Inpoilièse, les huit appuis de c'., sur t\. ; pour chacun de ces huit points, le déterminant | by dy fz\ = 0 représente, en coordonnées o, un plan qui coupe c'".j en deux points autres que {f f f")- Pour ce second gt^oupe de seize bisécantes singulières, le déterminant des colonnes 1, ■'>, t de M s'annule pour oo points a en ligne droite, À' x^ -|- a' x^j = o ; ceux-ci annulent aussi les déterminants restants de la matrice .1/