OI
et ainsi les cubiques (-) qui s'appuienl sur une des bisécanies du second groupe engendrent une surface du troisième ordre.
Il y a une troisième possibilité, c'est que «-j a^ -|- '^-.i ''= ^> annule le déterminant des trois premières colonnes de M j)Our toute valeur de Xj : 7.^ c'est-à-dire que l'on ail simultanément
1 Ijy ,/,, ,.//^,
az
1 h y il y (./ /,
ceci arrive, ou bien si l'on a
h y ily <'^
fy -
ou bien si
}>\ (l\ — !•>' /v (Iz l>r. =^ H.
Si le premier cas se réalise, on a aussi la relation I /vj f/v /j I =^ 0 qui. avec ayby =0 donne encore les iiuii appuis de d■^ sur c^. Et réciproquement, si y est un de ces ap])uis, on a par exemple À by -f- ;j. (Jy + / fy = 0 avec deux égalités analogues, d'où 1 dy \i- dv ~\- > f y =U et en prenant o/ égal à — (■' : ;■»-), on définit, pour chacun de cîS huit appuis, une nouvelle Idsécante singulière, distincte des précédentes, puisque les cubiques W qui la rcnconti"ent engendrent une surface S3 répondant à <•> 5;^ -1- 7.^ -= 0 {troisième groupe de h iséca / / tes sing ulières)
Dans le second cas, comme la matiùce az bz .n'est pas nulle, on doit avoir simultanément
I Ily (I2 br. 1=0.
>\ dz hz
dy — '•'' fy tlz bz
en coordonnées c, ces deux relations re])résentent deux quadriques circonscrites à c'3 ; leur intersection se complète jiar une bisécante de c'3. Les i)isécantes singulières de ce quatrième groupe sont donc des bis<''cantes de c'3, et chacune donne une surface S3 répondant à o' a^ -\~ n.-^ ^= 0. Pour avoir le nombre de droites de ce dernier groupe, on ))eut remplacer les ?/ par des fonctions cubiques de <•> et les .■; par des fonctions cubiques de to', mais la première des relations écrites en dernier lieu n'est que du second degré en w et du sixième en <.•>', car elle doit être vérifiée par la valeur infinie que prend le paramètre o au point {b b' b") ; l'autre relation étant du 3'' degré en <•' et du 7"'** en 0/,
rélimination de (•/ dorme :{ x <^ + ~ X ^' = 32 valeurs de \j, ce -qui correspond à Iti bisécantos, m-iis pinit-éire ce résultat est-il encore sujet à restriction.
On obtient trois nouveaux groupes analogues aux: 2""^, ;V»« et J"'* intervertissant les rôles entre c';, et c".,.
39. Pour être complet, il faut voir si l'on n'a pas de bisécante singulière, appuyée sur e'^ et c'^ et passant par le point {h h' h") toujours exclu. Prenons donc ce point pour y; deux cas se présentent :
1" Si .* se confond avec {f f f), deux déterminants extraits de la matrice
'-'•1 f'b "i (h -f- ^^3 fb -■'■y "( -^ ''■! ^'f '-'•1 '[f
se réduisent à des expressions .l/^j -j- A' -^.j, M' -j-^-— ]S' -j--^ et ne peuvent coïncider que sous la forme y-^ =(•. ce qui répond à une seule cubique H.
2' Si :■ est distinct de {f jf"), les quatre déterminants extraits de la matrice considc^n-e sont
'^] I ^'. ■-'■1 (h + '^3 // 'H "z + '"-i ^': I ^'^ 'H (">' h -^ «:J I ^'/. ^1 fih + ^.. /b /= I =- 0,
((./ aj ^ '/, ) I -x^ (]-^ ^ y, /^ a //.. + a, /;. /^ j - 0.
Il ne faut pas considérer l'hypothèse n^ = o, car elle ne donne qu'une cubique W, ni l'hypothèse o' a^ -)- a.^ non nul, car alors les 2^ et ;}<' relations ont de nouveau la forme M '-1.^^ N y.-^, M y-y -j- A"' Xj. Reste l'hypothèse où w' a^ -j- x, =: o satisfait à la première relation pour toute valeur de y. y : y^ ; alors on a :
1 "b '/(> — '"7/, ''. 1 -- 0, \ ai, di, — 0,' /,, //, I ()
donc, ou bien «^ f/^ — o//^ -= U, ce qu'on peut éviter en choisissant {h b' b") hors de la surface | a.v dxfx\ ^ 0 ; pu bien % {db — "^'/cj) ('z ^>z = ^ Gt comme ci: bz n'est pas nulle, on doit avoir simultanément
en remplaçant ^ par des fonctions culiiques de i-)' on a ainsi deux équations en w', dont une seule contient les sj'mboles il, /; ou peut disposer des coefficients '//, /, de façon que ces deux épualions n'aient ])as de racine commune.
Bref, il n'y a pas en général de bisécante singulière appuyée sur C3 et c''.j et passant p:jr {h U h"), ni pareillement par (/ /' /")^
