CHAPITRE IV

Courbes algébriques gauches représentables par des matrices ^^

40. Si une courbe gauche est représemt'>e par une matrice à l lignes et / -j- 1 colonnes, en ce sens que tous ses points, et ses points seuls, annulent les ^ -|- 1 déterminants qu'on peut extraire delà matrice, deux surfaces circonscrites à la courbe s'obtiennent en supprimant l'une des deux colonnes de degré le plus élevé en

Le résidu de l'intersection est rej^résenté par la matric*.' où Ton a aboli ces deux colonnes à la fois.

Ce résidu est toujours une couri)e de degré inférieur à celui de la courbe primitive, comme il résulte du calcul suivant : d'apivs une formule vue plus haut, ces deux degrés sont respectivement

ï //, n.^ -r - n- + ï // ïyy + -ïhlh-

et leur difléi'en('e peut s'écrire

elle est toujours positive, car le dernier terme, seul négatif, peut être soustrait du précédent si, comme on l'a supposé, p/ est supérieur à chacun des nombres Pi. p^, ...pi—\.

(1) Vna partie de ce clmpitre a paru dan^- le Bull. Acad. Belg, janv. 1919.

— lU) —

Ainsi, lorsqu'une courbe Cu esi représent(''e par une mairice à / lignes et / -|- 1 colonnes, deux surfaces qui la contiennent ont un résidu d'ordre inférieur à n. Le même raisonnement s'applique à ce rrsidu et, de proche en proche, on arrive à une matrice, à une ligue et deux colonnes, c'est-à-dire à une intersection totale de deux surfaces, à moins qu'on ne rencontre, avant d'avoir épuisé le procédé, une matrice M dont tous les déterminants s'annulent pour une certaine surface S accompagnée d'une courbe c qui ))eut d'ailleurs faire défaut.

Occupons-nous de cette dernière alternative : supposons la matrice M à 1 lignes et ^-f- 1 colonnes, et faisons-la précéder de deux lignes d'éléments arbitraires quant à leurs coefficients, mais de degrés tels que les déterminants extraits de la nouvelle matrice soient homogènes. La nouvelle matrice M' a ^ -|- ~ lignes et / + 1 colonnes; les déterminants qu'on en extrait par suppression d'ime des deux premières lignes représentent deux surfaces ayant la partie commune *S' et dont les résidus R, R' se coupent suivant la courbe c ])lus peut-être une courbe c'.

Un déterminant l) extrait de M' par suppression d'une des l dernières lignes représente une surface qui peut avoir en commun avec 5 une surface .V et une courbe c", intersection totale de deux surfaces ; S' et c" ne peuvent manquer à la fois. Or les points communs aux surfaces .^^ et D annulent aussi les déterminants extraits de M' par sui)])ression de toute autre des ^dernières lignes ; c'est évident si les ])oinls de S annulent tous les premiers mineurs des déterminants extraits de M ; sinon on aura clioisi [) avec des mineurs extraits de M et non tous nuls pour les points de S; alors, pour ces points, deux séries de ces mineurs sont proportionnels, ou ceux de la nouvelle série tous nuls.

La courbe c, en tout ou en partie, peut annuler M', notamment si elle nnnule tous les premiers mineurs des déterminants extraits de A/.

Bref, un point annulant M' ne peut être que sur la surface S ou sur la ligne c -\- c'; s'il est sur S, comme il doit annuler D, il est sur 5 ou c". Et si M ne s'annule que pour ime ligne, une partie c" de cette ligne, qui ne manque jamais, est une intersection totale.

Par exemple si la matrice M pouvait représenter deux droites

non dans un même plan, la surface 5 devrait être plane, les déterminants analogues à D tous du premier ordre, donc les l dernières lignes toutes pareilles (juant à l'ordre de leurs éléments, et cet ordre ne pourrait être que 0 ou 1. Mais R et R' devraient aussi être du premier degré, ou les deux premières lignes de M' aussi pareilles entre elles, avec 0 ou 1 pour degré de chaque élément, sans <|uoi D serait au moins ((uadratique. Finalement il n'v aurait d'élémenls de degré 1 que dans une ligne ou une colonne de chaque déterminant D, donc la matrice M' n'aurait d'éléments linéaires que dans une colonne ou deux lignes; mais alors M' = 0 ne représente en tout qu'une seule droite, ce qui est contre l'hypothèse.

41. Ue même .1/' ne peut représenter une biquaclratique rationnelle c^. car elle représente un ensemhle de courbes, parmi lesquelles une intersection totale, (|ui ne manque jamais. Examinons si la courbe rationnelle t-, peut être représentée seule par une matrice à l lignes et /-(- 1 colonnes. Pour avoir un résitlu d'ordie inférieur à 4, il faut considérer deux surfaces circonscrites d'ordi-es 2 et ."!; l(>ur intersection se complète, on le sait, par deux droites non dans un même plan, car nous venons d'exclui'e la possibilité d'un résidu contenant une surface. Par ce résidu, on ne peut mener (|ue deux ({uadriques, et le nouveau résidu est identique au premier, car derechef, rhyi)0thèse où le nouveau résidu comprend une surface a été reconnue fausse.

Donc, If ^fiqur/draiique ï'ationnelle nesl pas représentahle par une matrice à l ligjies et l -\- l colo?ves.

On ne réussirait pas davantage si le premier résidu était formi' de deux droites confondues, car deux (|uadriques (bî raccordement suivant une génératrice g se coupent encore suivant deux droites généralement distinctes, ou peut-être confondues, mais en tout cas, U' nouveau résidu est du même ordre que le premier.

Pour le montrer, on prend un point P commun aux deux quadri(|ues cl hors de g. Le plan gP est tangent à la première (juadi'ique en un i)oint (J de g; mais en Q le plan tangent à la seconde (juadrii|ue est aussi gP, donc In droite (JP apparlif^nt aux deux surfaces, etc.

On ])eut aussi établir la chose par le calcul suivant. Soit Oz la droite de raccordement : les deux (iuadri(|ues étant représentées par

ax- + Tjj:y 4- cy"- -f dxz + eyz + f.r -^jjy o. o:ocr + h'xy 4- c'y- + d'xz -f eyz + fx + (jy --=. 0,

si l'on transporte l'origine en un i^oint Q de cooi-données 0, 0, li, les termes du premier degré deviennent

{dh-^f)x + {eh^y)y {d'h-^n-r 4- {e'h-^g')y.

et leur évanouissement représente, dans les deux systèmes d'axes, les plans tangents au pDint Q de la droite de raccordement ; ces ])lans iloivent coïncider, donc

d 11 — f c hA;- g

dir^r = TiiT^j-

ceci a lieu jjoui' toute valeur de h, par suite d : d' = f : f = e : e' -^ g : g' ; alors les équations des deux (|uadri<iues peuvent être amenées à avoir les mûmes termes en xz, yz, z, y; leurs points communs sont à l'intersection de l'une d'elles avec une surface

(a - a') X' -\- {T> — l>) xy 1- (c — f'; ^- ( »,

obtenue par soustraction, et composée de deux plans, ])ar (u. Ainsi les (juadricpies ont encore en commun deux droites généralement distinctes.

42. Le système de deux droites confondues peut être, soit, comme ci-dessus, un cas limite de deux droites sans point commun, quand il est fourni i)ar deux quadriques de raccordement; soit un cas limite de deux droites d'un plan, donc d'une coni(|ue, quand il est fourni par un eùne et un plan tangent. Ou encore, suivant les circonstances, il est un cas limite d'un système du second ordre à 1 ou o point double apparent, et peut être respectivement le résidu d'une courbe c\ à trois ou deux points doubles apparents.

Pour nous en assurer par un autre moyen, appelons eu- = 0 l'éq'iation d'un côni([aadrdtique, tx = 0 celle d'un plan tangent, alors toute surfa*'»- du second ou du troisième degré passant par

les deux droites confondues a respeciivemont pour éi|uaiion''l'

Cx- — ix a.v -= ( ), Cx- Tjx — tx dx~ =- 0 ;

ces surfaces ont en commun la droite doulde ])lus ime courlje 'C'i annulant la matrice

Cx- ax dx- j

ix 1 hx !' '

mais celte courbe c^ n'est pas rationnelle, car elle est l'intersection totale des deux (iuadri(|ues ((ue l'on obtient en supj)rimant la première ou la troisième colonne.

Bref, la biquadratiipie gauclie l'ationnelle seule n'est pas représentable par une matrice à / lignes et / -|- 1 colonnes. t2)

Il en est de même ])ar exemple de la courbe gauche c^ qui complè'te l'intersection de deux surfaces cubi(iues passant par la biquadiatique rationnelle.

43. Par contre la bi(|uadrati(iue i-ationnelle c,, est rej)i'ésentable, de plus d'une manière, |)ar ime matrice à l lignes et / -|- 2 colonnes. La forme la plus simj)lcî serait

où S2 est bi seule (piadi^ique contenant c^, et 5.j. S', sont deux surfaces cubi<[ues circonscrites; car S.^ coupe 5^ suivant c.^ plus deuxde ses trisécantes, et 5'y coupe ces 2 trisécantes chacune en 3 points de c^, mais en aucun point extérieur.

(1) Ceci résulte d un théorème r<iuilaniental de Noether ou bien du raisounemenr que voici : 11 v a cx>^ quadrirjues; il faut 3 conditions pour <]u'unequadri(iue contienne la droite // où /.v touche c.r^, et deux conditions pour qu'elle y touche |)artout le idaii t, donc il y a oo"- i|uadriques satisfaisant à ces conditions et l'on dispose de 4 coeHicients de Ox- pour identifier une de ces quadriques à la forme Cx- — txa.v ■ De niênie, il y a oc^^ surfaces cubi(|ues, A conditions pour c<uu;enir r/. 3 c<uiditions pour y toucher t (une surface cubi(|ue passant par une droite touche 2 fois un plan pai- cette droite: il faut exprimer qu'elle le touche 3 fois; ou bien les paramètres des points de contact sont racines d'une équation du 2'' degré dont les 3 coefficients doivent être nuls): reste oo^^ surfaces cubi(|ues, et l'on dispose des 9 + 4 ^13 coefficients homogènes de d.r ^ ei de b.r, On pourrait aussi prendre.^ jiour ave des <■ et t j)our plan des 1/ :■ et constater que la surface cubique n'a plus que 12 termes.

'2) Voir à ce sujet une assertion peu exacte dans Cmij Eindes. p. 92 : la matrice qui s'y trouve représente la Ct rationnelle avec une droire parasite.

ex

il.x

hx

dx

Une aulre représenlaiion de c^ se trouve dans noire mémoire couronné de lUl."); la voici

Ceci représente en eiiet l'intersection de la surface cubique définie par les colonnes 1, 4, 5 de cette matrice, avec la (juadrique rixdx — hxCx, d'où il faut défalquer les droites nx=hx^=^) et t*.v ^ '/.v-^ i). Le lecteur peut s'exercer à démontrer, par le moyen île cette représentation, le théorème suivant : Une série de génératrices d'un cône quadratique et un système réglé étant rapportés projeciivement, le lieu de l'intersection du plan tangent le lo7i.g de la généiYilrice du cône avec le rayon correspondant dit Sf/stème réglé est nue biquadratique rationnelle.

L'exem])le île la biquadratiiiue rationnelle n'a pas seulement l'intérêt d'un renseignement particulier et négatif au sujet d'une courbe c^ et d'une courbe Cj. Sa ])ortée est plus grande. C'est le premier pas dans la solution du problème de la représentation lies courbes gauches algébriques par des matrices, (un des quatre problèmes posés dans notre mémoire couronné de I9l:i.)

Nous savons à présent iiu'il y a des courbes représen tables par l lignes et Z -|- 1 colonnes ; qu'il y a des courbes non représental)les par / lignes et / -(- 1 colonnes, mais bien par l lignes et / 4- ~ colonnes. Y a-t-il un troisième étage possible C La question n'est pas résolue jusqu'ici, mais la fin du présent ouvrage montrera qu'il n'y a pas d'étage au-delà du troisième.

44. Plaçons ici une courte digression. Dans bien des- (|uestions, le couple de droites sans point commun joue à j)eu près le rôle d'une courbe d'ordre "J et de genre — 1, puisiju'il y a un point double apprirent (nous dirons parl'ois couple de di'oites gauches).

. Il semble parfois difficile do séj)arer les deux droites, donc il peut y avoir intérêt à étudier des systèmes de cou])les ])areils. En voici un : soit

un faisceau de quadriques dont la base comprend, un couple d:

(le droites gauches et un couple / de droites formant avec le premier un (juadrilalère gauche ; soit

un autre faisceau «le quadriques "dont la base comprend le couple d et un couple g analogue à /.

Si À = a, les deux faisceaux sont projectifs et engendrent une surface du quatrième ordre ayant les droites d pour droites doubles.

Si À et ;j. sont deux paramètres variables indépendants, toute quadrique i^ coupe toute (juadrique G suivant le couple (/ et un cou|)le variable c s'appuyant sur d. Les droites du couple c sont des rayons de la congruence linéo-linéaire ayant lesdroites d pour directrices.

Par un point // passe une ({uadrique de chaque faisceau, donc un couple c composé de la droite c' issue de y et appuyée sur le couple d, plus une droite c" entièrement déterminée par c'; car si c'est donnée, une (|uadrique et une seule de chaque faisceau la contient.

Les quadriques i^^et G par y ont pour équations

Fx' Fy~ — Fr F'x' - 0, Gx^ G'y- — Gy- G'x^ = 0;

elles se coupent suivant le quadrilatère d-\-c. Quand // décrit la droite y -\- kz qui ne rencontre aucune dos droites d, on obtient la relation

Fx" Fy - Fy' F\' + /.' ï y, ^{Fx^^ Fr — Fy' F'x'} + k- (Fx' F'z- — Fz- Fx-) - 0

et une autre analogue en G. L'élimination de k donne une surface du huitième ordre qui se décompose en : une quadrique engendrée par la droite d (jui s'appuie sur les droites d et la droite y -\- kz, plus une surface du sixième ordre pour laquelleles droites c/ sont triples.

Tous les rayons des couples c appartiennent à la congruence linéo-linéaire appuyée sur le couple d. Dans ce système doublement infini, chaque rayon a deux coordonnées, et les rayons accouplés ont entre eux une correspondance (1,1) facile à formuler : j)renons les droites d pour arêtes j\ x.^^ et ./-.j x^ du

tétraèdre de référence; la droite. c' peut être représentée par Wi = p X2, x.^ = ■j x^, et p, 7 seront dites les coordonnées de d dans la congruence appuyée sur d. Soit

l'équation développée de F; ses intersections avec c' se trouvent ainsi :

(a p - 4- /> p 4- c 7 -j- tZ) x.^ Xi -^ 0 ;

elles sont au nombre de deux, l'une x.^ -~= 0, l'autre x^ = 0, sauf si la parenthèse est nulle; de même la droite d appartient à la quadrique F -\- À F' si l'on a

{('■ + >. a') p 7 -h (/^ + À h') ? + {c-^ >. d) 7 + (rf + >. f/') =- 0;

d'où la valeur de À. La surface du faisceau F -{- À F' qui passe par d est donc

(7 p 7 -(- /j p [- c 7 -(- rf rt J-, ^3 + /y oCj .1?^ -j- c .^3 .Tj + d X.^ X^ i = 0 •

rir'p 7 -j- ?>'p -f c'7 -j- d' a'x^ x.^ -j- h'x^ x.^, + c'.r^ ^3 -f ^'^2 -^'i

les génératrices de même système que d sur cette ({uadrique étant x-j^ = i? x.^. x-^ -= Sx^, on a

a z^-i- b:^-{-c'-\~ d aRS -{- hR-{- cS -}- d \ \

«'p T 4- b'p + d- -I- d' a'RS + /yi? -^ c'5 + c?' I "^ ^ '

cette équation s'écrit en abrégé