IL

dXi

dxt ' " dxt F-{- kf =-- 0■

éliminons k. p et p /, F

dx^

dx-i

dx,

dx^

dXy

dXi

dX;

dx^

rf'f

dxi

dx.

ceci représente la courbe gauche constituant le lieu cherché; on trouvera, dans nos Cinq Eludes, plus de détails sur cette question.

47. On a encore une matrice quand on doit exprimer que deux équations à une inconnue ont deux ou plusieurs racines communes. Comme il s'agit d'un problème plus élevé que l'élimination simple de x entre deux équations, nous avons, dans la préface de nos Cinq Etudes, proposé le terme de surélimînation pour désigner la recherche des conditions pour que deux polynômes

( F - .^Q.^"' +^i^r"'-i + ... =.4, G^ B^ .r" 4- Bi ^^ - 1 + ... = B,,

aient un plus grand commun diviseur du second (ou troisième, etc.) degré en x au moins.

Nous consignons ici le raisonnement, connu d'ailleurs, en prenant pour exemple le cas du p. g. c. d. quadratique, mais la méthode est générale; il est même superflu de rappeler le cas de l'élimination simple qui est un cas particulier du problème actuel. Les lignes qui, suivent, sont entièrement calquées sur la résolution du problème de l'élimination simple, telle qu'on la fait d'ordinaire dans la théorie des Domaines; de sorte que les coefficients A^, A^. ... B(^, B^^. ...des polynômes F et G pourraient être à leur tour des polynômes à plusieurs inconnues ; seulement si les coefficients de ces derniers ])olynoraes appartenaient à un domaine qui n'est pas complet, il faudrait passer au Corps correspondant en introduisant les fractions.

Lorsque les polynômes F et G ont un p. g. c. d. quadratique D,on a F= D V et G = — I) U,oi\ (Jet 7 sont respectivement <ie degré n — 2 et m — 2 au plus ; ou encore U et V sont des polynômes de degrés respectifs n — 2, m — 2, à coefficients Uq, Ui, ... Ff), F|, ... inconnus, non tous nuls, qui se déterminent par l'identité F U -\- GV ^ 0; ainsi

Ces équations sont en nombre m A^ n ~ \et il en résulte ([ue

les déterminants extraits de la matrice suivante par suppressioiî d'une liçrne sont tous nuls,

ByB,

Bn :

hn -f- n — 1 lignes \ \m --\- il — 2 colonnes/

2, à coefficients non tous

Réciproquement, si ces déterminants sont tous nuls, il existe une même relation linéaire, à coefficients non tous nuls, entre les éléments de toutes les lignes de M, et l'on a des égalitéstelles que (2), d'où en multipliant par x^'^'^^~'^,œ et additionnant, on a une identité

FU -\- GV

où U ei V sont d'ordres n — 2 et m nuls.

Si les coefficients A^, S^ ne sont pas tous deux nuls, soit par exemple Ag distinct de zéro; d'après l'identité ci-dessus, F divise G V; si 'î est le p. g. c. d. de F et G, o V est le p. g. c. d. de i^Fet GV, et i^ divisant FV ei G F divise o V, or i^est de degré m puisque Aq n'est pas nul, et V n'est pas identique à zéro, car alors f/le serait aussi, et l'on a vu que les coefficients de f/" et V ne sont pas tous nuls, donc o est au moins du 2'' degré.

Au contraire si Aq = Bq= 0, la matrice M n'a plus qu'un déterminant qui ne soit pas identique à zéro, et c'est le résultant de Aj ^'" - 1 + ... Am et de B^ x'' — ^-^ ... + Bn et l'on démontre, comme on vient de le faire, que si ce résultant est nul, les deux formes ont au moins un diviseur commun du !<=■■ degré

Bref, si M = 0, ou bien les deux formes F, G ont un p. g. c. d. en x, d'ordre 2 au moins ; ou Men les coefficients Aq et B(, sont nuls, et en même temps, le résultant desformes privées de leur pjremier terme s évanouit.

48. Ouvrons une parentlièse. Pour les applications de Géométrie projective, on doit regarder comme équivalentes les deux alternatives où le résultant R de deux formes F ei G s'évanouit, savoir la présence d'une racine commune, ou l'évanouissement de Aq et Bq ; car, dans la seconde, on considère une racine com-

mune infinie, ou, si l'on veut éviter l'infini, on passe aux variables liomogènes en posant ûc = x^: j\, et l'on parle de racine v^a = 0; de même sont équivalentes les deux alternatives où la matrice M s'évarouit (deux racines communes finies ou infinies).

Aussi, pour ces applications de Géométrie, il convient d'abandonner une autre manière d'exprimer les conditions d'existence d'un p. g. c. d. quadratique. Nous allons exposer ici cette autre méthode en la précisant, car les auteurs prennent d'habitude deux polynômes dont le premier coefficient est l'unité; et pourtant, dans le cas où les coefiTicients contiennent eux-mêmes des inconnues, il est nécessaire de discuter l'alternative où ces coefiicients s'annulent.

D'abord si les formes F, G ont un commun diviseur quadratique au moins, elles en ont un linéaire au moins et le résultant R s'évanouit. De plus, nous venons de voir que la matrice M obtenue en supprimant les lignes extrêmes du déterminant suivant qui est égal à R, au signe près.

^0 Bi

Bo B, .

déterminants nuls. Appelons R^ celui de ces

a tous SCS

déterminants qu'on obtient en sup])rimant la colonne i'^ de M et eu multipliant par ( — 1!>». En particulier, si i^ et G' ont un diviseur quadratique au moins, on a

.,„ )-«i se déduit de R en supprimant les lignes et colonnes extrêmes.

Ces deux conditions sont donc nécessaires. Sont-elles suffisantes? Si elles se réalisent, les colonnes de A*„ i „i ont une même relation linéaire,

multiplions par j^wH-"— 2^ .r'" +" •'*.... et additionnons, il vient

+ {B, œ"~{-B, .r" - 1 H- ... -f B, ) rr„ .r'« - ^> ... + r,, o)

D'habitude, on observe ensuite que, si R ^ 0, les deux derniers termes de l'égalité précédente se détruisent, et la conclusion se tire aisément. Mais ceci n'est pas si évident; voici comment on peut le prouver :

Si R est nul, et qu'un au moins des mineurs relatifs à sa dernière colonne ne l'est pas, les }n -\- ti — 1 premières colonnes de R n'ont qu'une relation linéaire (à un facteur constant près); or, d'après les égalités (3) cette relation s'exprime par

et elle doit lier aussi la dernière colonne, ce qu'il fallait démontrer.

Mais, dans le cas contraire, les éléments des m -\- n — 1 premières colonnes de R ont plus d'une relation linéaire, à coefficients non tous nuls, et non proportionnels; alors outre le système (4), on peut en écrire au moins un autre (5); si dans ce système (5) la première équation est aussi A^. 0 -f- -^o- ^ = 0, les colonnes de /t*„, j„ i ont plus d'une relation linéaire, donc tous les premiers mineurs de /?„, ^„i sont nuls et par suite les déterminants de la matrice M s'évanouissent et l'on est dans le cas, examiné dans le paragraphe précédent, de deux racines communes finies ou non.

Si, au contraire, le système (5) a l'aspect suivant

A,-j. 4- J,< -f Sjv ^ B,v', = 0, '45) [ A, a -^ A, n\, -f A.vJ, + S, v -f B,v\, + B,v\ = 0,

la comparaison des relations (4) et (5) montre que, si Aq, Bq ne sont pas tous deux nuls, on peut, moyennant un facteur constant à introduire dans toutes les égalités (5), y

vô)

remplacer u, v parw^, t'^. Supposons cela fait, et continuons à comparer les équations ( )) et (5); elles donnent Aq (u'^^ — w^ ) = Bq {v\j — Vi ), d'où derechef m',, — u^et v'q — v^ se remplacent par 7 t<,-j, 7 r^, ou m'o == î«i + ^ î«o. ^''o "= ^-'i ~r ^ ^d' donc, moyennant l'addition de 7 fois la première équation, on peut remplacer partout m'.,. ^'0 P''^^' w,, t"i ; de proche en proche, on arrive à trouver que 11 ^ ■)> ^'u — 2 peuvent être remplacés par zéro, et le système (5) exprime que la matrice M s'évanouit ; or, nous venons de rappeler la conclusion qu'on en tire.

Bref, Vhypothèsc R --= R„i | „ 1 = 0 conduit à V existence d'un facteur commun quadratique ou à A^ = Bq -^ 0.

On remarque d'ailleurs que si A^^ et Bq s'annulent, il en est de même de i? et /?,„ i „ 1-

49. On peut encore établir autrement que, si R et /?„, -\-,i — i s'annulent, on a, ou bien A^ = Bç^ = 0, ou bien

Si l'on fait précéder la matrice M (déterminant /.' privé de ses lignes extrêmes) d'une quelconque de ses lignes, on a un déterminant à deux lignes identiques, donc

D'autre part, développons R suivant les éléments de sa dernière colonne.

parce que, en supprimant les deux lignes du milieu de R, on obtient la même matrice M qu'en supprimant les lignes extrêmes.

L'égalité (7) montre que si l'on a /?i ^ /?3 = ... /?,„ -j,j ^ ~^ 0, on a aussi R = 0, donc A* et /?,„ ^ „ i tous deux nuls.

Réciproquement, si R et B,„ |- „ i sont nuls, la relation (7> devient

(8) A ,„ {B„ R„, 4- B, R,, + 1 + . . . + -S, o i?,„ + „ . 2) = OU encore

\ A^R„ + ^i^«+l H- . . . -f -'4„,2^;n + ;/-2 + ^m? = ^'r (^' i 5,i?,„ + fiii?,„+i + • • - -f S«2 ^,»+«-2 + ^n ? = 0,

car l'élimination de p entre les relations (9) donne (8). Or, portons l'hypothèse /?,„ | „ | ^ 0 dans le système (6) et remplaçons la 1'® et la dernière des relations (6) par le& égaillés (9), nous obtenons un système (S) de m -|- w — 2^ relations linéaires homogènes en R^ R^, ... i?,„ | „ 9, p, dont le déterminant des inconnues est précisément /i*,,, j „ 2 : ^^ celui-ci pouvait différer de zéro, les équations ne seraient satisfaites que par des valeurs nulles des inconnues, en. particulier de /?„,^;2 5>, d'où contradiction.

Ainsi R^<„2 ^^^ ^^^- ^^' ^^ ^^^^ ^^"^ ^^^ premiersmineurs sont nuls, et alors en remplaçant une quelconque de ses colonnes par d'autres éléments arbitraires, on a Ri=^ i?2 = ... = i?,„j„2 = ^^- ^^ bien, on peut, en combinant m-\~ n — 3 équations du système {S) arriver à

OÙ A est le mineur non nul ; comme A a m -\- n — 3 lignes, /?,- parcourt m-\- n — 3 des quantités R^, •■■ R,n -|- „ 2, P ^t ces quantités sont nulles, sauf peut-être une, mais celle-ci R;^ demeurant seule dans les équations (Sj, ses coefficients- Af, 2 A/f 3 ... sont tous nuls; ceux-ci sont les éléments de la {h — l)ième colonne de M; enfin M privé de sa ^«^'««colonnedonne Rfi avec une colonne nulle, donc /?/, = 0.

Quand on a prouvé que R^, R3, ... Rm-\- « — 2 s'évanouissent, la première et la dernière des relations (6) se réduisent à Ao /?i = 0, Bo Ri = 0, d'où 7?i =- 0, ou bien Ao - ^o = 0» c. q. f. d.

50. Comparons entre elles les deux manières d'exprimer que deux polynômes ont un p. g. c. d. quadratique au moins :

P Si la matrice M est nulle, on a en général un diviseur

commun quadratiqup; et exceptionnellement A,, = B.^ = 0 avec en même temps le résultant des formes, privées de leurs premiers termes, égal à zéro.

2° Si R = R„i i ,j X "= 0, on a un diviseur commun quadratique, ou bien ^^ = 5^ = 0.

La comparaison est tout à l'avantage de la première méthode, parce que le cas exceptionnel rentre dans le cas général. Dans l'autre, la seconde alternative doit être rejetée comme étrangère au problème.

Dans la deuxième méthode, les deux alternatives sont de même ordre, chacune équivalant à deux relations; donc si les coefficients de i^et G^ renferment d'autres variables, l'emploi de la seconde méthode peut conduire à des erreurs d'énumération, si l'on ne défalque pas ou si l'on défalque mal les solutions étrangères A^ = B^ = 0. Ceci n'est pas à craindre dans la première méthode, car le cas exceptionnel d'abord est une variété de moindre dimension, et celle-ci ne doit même pas être défalquée, car elle ne correspond pas à des solutions étrangères.

On ne s'explique guère la faveur de la seconde métliode que par le désir d'avoir deux équations séparées ou par la répugnance à se servir des matrices. Mais on a en somme une variété algébrique, représentée d'une façon complète et à l'exclusion de toute autre par la formule M = 0; il est vain de vouloir la définir par deux équations, puisque ce n'est pas une intersection totale. D'un autre côté, les matrices on ne peut pas les éviter, et quand on s'est familiarisé avec leur usage, on demeure surpris des facilités qu'elles offrent.

51. Comme exemple d'application, prenons un faisceau de (|uadriques S-]- k S-^- <): un plan u^ = 0\ et une cubique gauche définie par les équations pai-amétriques,

Remplaçons ces .r,- par les quantités proportionnelles dans les équations du plan et du faisceau; nous aurons par exemple

[A^kA{)^f' -f {B-\-kBJ<)-' + (C + ÂCi)0^ + (D + ÂDJ 03 -f

(E + ÂEJO^ + (F + Âf\)0 + (G+AGJ 0,

Wi '>■'' + u, 0^ -I- W3 0 + w, == 0.

Si ces deux équations on 0 ont trois racines communes, le plan u coupe la quadrique $-\-kSi suivant une conique qui s'appuie trois fois sur la cubique gauche, et quatre t'ois sur lu biquadratique base du faisceau 54- /.- S^. et réciproquement.

Or on exprime que ces équations ont trois racines communes en écrivant \A + hA, B^Bh, C-^kC, D-l-W, E+kE, F+kF, G^kG,

i u, U-i Vi ^h

\ î.<i u-î ih ^h

Faisons précéder cette matrice d'une ligne d'éléments • Aj, B^, Cj, Z)j, £'1, i^i, (r^, puis retranchons A- fois cette ligne de la ligne suivante: ainsi k se trouve éliminé et nous obtenons une matrice à 7 colonnes, et 6 lignes dont les deux premières de constantes et les autres linéaires en u. Cette matrice représente une développable de dixième classe, enveloppe des plans des coniques qui s'appuient en quatre points sur une biquadrati(iue de première espèce, et en trois points sur une cubique gauche.

52. Une application de la surélimination, dont nous croyons avoir eu la première idée, permet de pousser plus à fond le problème des lieux géométriques.

Supposons qu'un lieu géométrique, dans l'espace ou dans le plan, résulte de l'élimination de 0 entre deux égalités telles que

/ = mo» -j- n^y- + p6 + q = 0.

Si, i)0ur un point x, ces deux équations sont satisfaites à la fois par deux ou trois valeurs de 6, ce point x est un point double ou triple du lieu .

Le fait se devine, et nous en donnerons incessamment une démonstration complète.

Ici bornons-nous à prendre un exemple : il s'agit du lieu des points dHnflexion des courbes planes d\in faisceau d'ordre n, S-\-kSi = 0. Les points d'inflexion d'une courbe sont ses intersections avec sa Hessienne; celle-ci est d'ordre 3 (^n — 2) et contient au cube le paramètre k. Pour chaque point de base du faisceau l'équation S -{-k 8^ = 0 est satisfaite par

toute valeur de k, donc a trois racines communes avec l'équation de la Hessienne. Ainsi les points de base du faisceau sont des points triples du lieu.

Si i" et 5] sont des surfaces, la Hessienne est d'ordre A [n — 2) et contient k au (juairième degré. Or, l'intersection d'une surface avec sa Hessienne est sa courbe parabolique. Donc le lieu des coia^jes paraboliques des sut^ faces d'un faisceau a pour courbe quadruple la courbe de base du faisceau.

53. Voici la démonsiration annoncée dans les lignes précédentes :

Soit, dans l'espace à trois dimensions par exemple, un lieu géométrique défini par deux équations

contenant le paramètre t et les coordonnées cartésiennes .v,y, z. En éliminant t, c'est-à-dire en exprimant que les deux équations admettent une racine commune, on obtient tous les points du lieu ; en exprimant qu'elles admettent deux racines communes au moins, on obtient des points singuliers, doubles au moins, et généralement tous les points singuliers, etc.

Kn etfet, soit A {,Cq, y^, z,^ un point du lieu répondant à la valeur t^^ du pararaclrc. Une droite (/ quelconque issue de A a pour équations