X - -^o y— !Jo

^■ii

le

lieu

puis

Les points où cette droite d rencontre encore s'obtiennent de la manière suivante ; on pose ^ = ^„ -f on résoud, par rapport à p et 0, les deux équations

A ciiaque- système de valeurs de p et 0 qui vérifient ces égalités répond un point du lieu sur la droite d. Ces deux équations représentent deux courbes dans un plan si l'on regarde p, 0 comme des coordonnées cartésiennes. Elles passent toutes deux par l'origine, car elles sont satisfaites pai' hypothèse pour le système p ^ 0 =- 0, qui répond au ])Oint A.

Si A est un point singulier du lieu, les deux courbes en p et 0,

OU bien se coupent encore en un point de l'axe des 0, ou bien se touchent à l'origine, ou l'une au moins a un point singulier à l'origine; et ce quels que soient À, [jl, v. Et réciproquement si l'une de ces circonstances se réalise pour toutes les valeurs de À, a, ■', le point A est double au moins pour le lieu. Or la première des équations s'écrit

rJF , dF , c/F

dF ,

dt,,

et l'autre a une forme analogue, puisque les termes indépendants de p et 0 sont nuls par hypothèse.

La première des trois alternatives, celle où les deux courbes en p et 0 se coupent encore sur l'axe des 6 exige que l'ensemble des termes indépendants de p dans chaque équation s'annule pour une même valeur de 0, autre que zéro. Cette condition est indépendante de À, u-, •> ; quand elle se réalise, les équations primitives F {x, y, z ; t) = 0, / {ce, y, z, t) = 0 sont satisfaites par les coordonnées de A et par deux valeurs au moins, généralement distinctes, de t.

Dans la seconde alternative, celle où les deux courbes planes se touclient à l'origine, on a

\- dx, ^ ' • du, + " dzj d /,. ^'- dx, + " d i/, + ■' d :., J di, pour tout système > , ;j., v, donc — ou bien

EL . !lJL ^ ÉI. . !LL LL . iLL 'IL . iLL

dx^ ' dxç, " d)/,, ■ dij, dz„ ' dz,^ d t^ ' d (,,

en même temps que F{X(,, y^, z^ ; ^o) == 0, / (.-r^. y^. z^, Q = 0, ce qui fait un total de cinq relations entre quatre inconnues Xq y„, Z(^, t(^ ; ces conditions sont ordinairement incom])atibles; quand elles sont compatibles, on pose chacun des rapports

dF df - 1 - ^1. -, • — '—, etc. effal a «o et Ion voit que pour une certaine

axç, dX(^

surface F — ^ f = 0, le point A est à la fois un point double et un point caractéristique quant à son enveloppe (en i) ; ou bien

dF (IJ

•et ce cas rentre dans la première alternative, les équations prinailives sont vérifiées par deux valeurs coïncidentes de t\ l'espèce de point singulier que l'on a ici est analysée dans nos ■Cinq Etudes, n° 38.

Dans la troisième alternative, on doit avoir, par exemple

clF dF dF dF r^ r. , ^