CHAPITRE VI

Elimination d'une inconnue entre plusieurs équations.

54. Le problème servant de titre au chapitre actuel se résout par la méthode Kronecker, ou plutôt l'artifice de Kronecker(l) ramène le système de plusieurs équations F^ = 0 à deux équations

où les u et les v sont des indéterminées, et fgurnit donc une marclie à suivre pour traiter la question.

Il restait à examiner quel résultat on obtient quand on applique effectivement le procédé ; c'est ce qu'a fait L. L. Dines.(2)

Mais l'artifice de Kronecker présente un inconvénient, non seulement pour la solution du problème qui nous occupe, mais aussi pour l'usage qu'on en fait dans les théories ultérieures. Voici cet inconvénient : supposons que la première des équations proposées i^i = «„ a*'» +...== 0 soit de degré supérieur aux autres; le résultant de 1' W/ i^,- et de ~ v^ F^ s'annule, quels que soient les u et les v quand «^ s'évanouit; si l'on veut formuler des conclusions, il faut donc supposer des formes régulières, c'est-à-dire où le coefficient de la plus haute puissance de x n'est pas nul.

Mais si l'on opère sur des polynômes dont les coefficients sont à leur tour fonctions de variables, il faut pouvoir admettre les cas d'évanouissement ae ces coefticients. Ainsi J. Kunig observe que le résultant de deux formes s'annule quand ils ont un (liviseur commun ou quand leurs premiers coefficients s'annulent,, que le discriminant d'une forme s'annule quand elle a un

il) Cf. /. Kunig. Algebr. GrOssen.

(2) Am. Journal of Math. 1913; voir aussi notre article dans le mêmerecueil, juillet 1915.

facteur inuliii)le ou que ses (l«mx premiers coefficients s'annulent. Il v a intérêt à conserver l'analogie et à chercher des conditions qui se réalisent (juand les ])olynomes F^ ont un diviseur commun en x. ou quand tous leui's premiers coefficients s'évanouissent; ces deux alternatives s<^ confondent d'ailleurs (piand on rend les variables homogènes, en })articulier quand on cherche des conditions applicables à la géométrie projective.

Ces conditions sont précisément celles trouvées par L. L. Dines ; la méthode qui va suivre nous appartient et dispense de l'artifice de Kronecker. Fdle s'arrête assez longuement au cas de deux équations |)Our lesquelles elle élargit et assouplit le procédé exposé au délmt du chajjitre prt'cédent ; elle aboutit à des résultats plus g(''néi'aux que les résultats connus, C(> qui permet de retrouver ceux-ci et elle peut s'étendi'e, comme on va voir, à plus de deux équations.

Rappelons qu'une matrice .1/ est dite de }'(iiig r si tous les déterminants à r -j- 1 lignes qu'on en peut extraire sont nuls, mais si l'un au moins des déterminants à r lignes difïèrc de z<''ro.

C)n vérifie immédiatement ceci : si une matrice est de rang r, supposons : 1" qu'on la fasse précéder (Ou suivre) d'uue ligne ou d'une colonne d'éléments arbitraires; ha nouvelle matrice est en général de rang r-{- 1 et excei)tionnellement de rang r; 2" si l'on a ajOut(' une ligne ou colonne d'éléments nuls, le rang demeure inaltéri'. (t

Réciproquement, une matrice à l lignes et / -f- 1 colonnes est nulle si le déterminant obtenu en ajoutant une ligne de constantes est toujours nul. Car soit, pour fixer les idées,

(1) lin etlet. l'^ tout détennituuir à >• -j- "2 lignes de la nouvelle niatn'ce est, ou bien extrait, de l'ancienne, donc nul, ou bien somme d'éléments arbitraires multipliés par des déterminants à r -|- 1 lignes, tous nuls; tout déterminant à r -{• \ lignes de la nouvelle qui contient la rangée ajoutée est somme de produits d'éléments arbitraires par des déterminants dont un n'est pas nul, certaines de ces sommes peuvent diliérer de zéro; dans la nous'elle matrice, il .y a au moins un liéterminant ;"t r lignes non nul, savoir celui de l'ancienne; — 2" totu déterminant à r -f- 1 lignes de la nouvelle est ou bien extrait de l'ancieime ou bien somnio de produits d'éléments nuls par des mineurs quelconques; il y a dans la nouvelle un déterminant non nul à r lignes, savoir celui de l'ancienne.

— cS-J —

on ])eut choisir neuf quaniilés Àj, >, Aj, jj^, [j-^, ;->•:,, ''i, ->2. "'s- telles que I À [j. V I difïèi'e de(»; alors, [)ar hypothèse,

i a> hi ),/ 1 --- < ». I (li J>, \>., I -0, I ^^ b, V, 1 --. 0 ;

ces trois relations linéaires en («^ b.^ — a., b^ ), {a-^ b^ — a^ b. ), {f'-2 ^h — % ^'i ) *^^^t le (lélerminanl de leurs coefficients non nul, donc elles ne sont vérifiées que pour n^b.y —a.j.bj.=0,

^:i f'i — ^'i ^'i "" f*' (^i ^^.i — ^i ^'-j. -~ ^'*- De mémo, de proche en proche, une matrice à / lignes al l -\~ p colonnes est nulle si le déterminant obtenu en ajoutant p lignes de constantes est toujours nul. l'i)

\'oici une autre propriété aussi évidente : on ne change ])as le rang d'une matrice quand on ajoute aux éléments d'une ligne ou colonne, les éléments d'une rangée parallèle multipliés par un facteur commun.

L'application la plus connue de la théorie des matrices concerne le système de m équations linéaires homogènes, à n inconnues,

F; (7/1 Xi + (iriXî + ••• + tti» ^» = 0 {i - 1, ■-.\ ...»?) ;

on dit, pour abréger, que les solutions du système sont en nombre c>o« — ' quand on peut prendre à volonté n — r des inconnues, convenablement choisies, et définir ainsi, sans

(1) Application. — Soient n fonctions de la variable réelle x, f^'\r) (i == 1, 2, ... m), continues et dérivables dans l'intervalle (a, i?). Considérons la matrice !l /^''(o) f [à] il et supposons-la non nulle; faisons précéder de n — 3 colonnes d'éléments arbitraires a,- 3/ ...À/ et d'une colonne A, choisie de façon <iue le déterminant A = i À,- a, 8/ ... ).,■ î'^'-ia) f'\b) j soit nul, mais que la matrice obtenue en supprimant la dernière colonne ne soit pas nulle; ceci est possible, car on peut choisir les A,- sauf un, de façon que l'un des déterminants extraits de la matrice en question soit distinct de zéro, et le dernier A de façon que le déterminant total s'évanouisse. Alors la fonction | A^ a,- |j,- •-. /., f^'ha) l^'\x) | est continue et dérivable dans l'intervalle (a, b), puisque somme de fonctions pareilles multipliées par des constantes: elle est nulle pour x^=a, x=^b, donc le théorème de RoUe s'applique et comme on sait dériver un déterminant, on a A'= I Ai rj.. ^^ ... /<')(«) /<')(ç) | =- 0 (a < £ < *) ; les déterminants A, A' étant nuls et la matrice de leurs colonnes communes non nulle, on a ;| A,, rj,. ^j^. ... ).. f^(a) f^'\f>) /('>(ç) y = 0 et en particulier le déterminant obtenu en supprimant les A est nul; comme les -éléments 'x.li, .. À sont arbitraires, r /^'*(«) /*'^(*) /^'^s^ \\ = ^- P"^*^'" ?î = 3 on a un résultat connu, cf Eiicycl. Il, 3, p. 273.

îimbiguité, un système de solutions non toutes nulles. Vne propriété classique des systèmes linéaires peut s'énoncer : la ■condition nécessaire et suffisante j/oar que le système d'équations admette oo" — 'solutions est que la matrice des coefficients soit de rang r. Cet énoncé suppose n '-■ r ; si n = r, le système n'a que des solutions toutes nulles ; quand le nombre m d'équations est inférieur au noral>re n d'inconnues, le rang de la matrice ne peut dé[)asser m, donc il y a au moins n — m inconnues qu'on peut i)rendre à volonté.

55, Consiilérons deux ])olynomes, F ---- (•/,../•'" -h c/,

lin

Pour chercher les conditions d'existence d'un diviseur commun d'ordre a, nous avons, dans un passage antérieur, multiplié F et G par des ])olynomes inconnus d'ordres respectifs n — a, ■/n — y-. Généralisons davantage : muUi})lions F par un i)olynome P de de^ré arbitraii'c h.

P - p,, a et G par un |)olynome

Ji

.Il — 1

<lx

'Ik

de degré /•' = m -f h — n ; ainsi les produits F P et G Q sont du même degré m ■]- h et l'on dispose des coelUcienls inconnus de P et de Q de façon que la somme FP -j- GQ soit identique à zéro. Dans ce but, il faut écrire le système de w -\- Ji -^ \ relations,

linéaires et homogènes en p,^, ; ces coefficients sont au nond^-e de /? -f- 1 -f- {m -f /^ — ;^ + 1 ) ^m — n + 2/?. -|- -2. Formons la inali'ice M des coeflicienis des é([uations (1),

(m -j- h -\- 1 lignes)

col.

m -\-h — V -\-\ col.

Si le nombre des relations (1) est au moins égal à celui de* inconnues, c'est-à-dire si l'on a

le sysi«'mo (1) n'admet, en gênerai, que des solutions toutes

nulles. Exceptionnellement, il admet oc' solutions, si la matrice

M ((]'!'■ -1 "i moins autant do lignes que de colonnes^ est de

ran ir

Si le nombre des rolaîinns ( T> o>f inforieur à celui des inconnues, de > unités.

ce qui suppose h y-^ n — 1, le système (1) admet, en général, ocÀ solutions, et exceptionnellement oc' 7 ~^- >) si la matrice M (qui a maintenant moins de lignes que de colonnes) est de rang

ce nombre est d'ailleurs inférieur au nombre m -^ h — \ de lignes, si l dépasse À

Ainsi nous avons trouvé les conditions pour qu'il y ait. entre les polynômes F et G, oc' identités telles que F P -^ GQ ^^0.

56. < 'r, si les polynômes F, G n'ont pas de diviseur commun en ./', et si l'on n'a pas a^ = i?>,, = 0 (deux circonstances que l'on peut réunir en rendant les polynômes homogènes), la matrice a son rang maxime, c'est-à-dire en somme que M est non nulle, et ce fjuel que soit h.

En Glîet, P la chose va de soi si h ^ n — 1, car alors la matrice carn'v 3/ est le résidtant de F et G et, s'il était nul, les jK)lynomos F. 't rendus homogènes) auraient un diviseur commun ;

2° Si le nombre de lignes de M dépasse le nombre c de colonnes, ce qui suppose h <: n — 1, soit c — v le rang de M : ajoutons une première ligne d'éléments nuls, ce qui conserve le rang, puis deux colonnes d'éléments

nous formons une mairiv^e analoirue à M. à une liîrne et deux

colonnes de plus oi dont le rang no peui dépasser v -j- 'J — ; ; après 71 — 1 — // 'opéraiions pareilles, on abomit au rcsuliani et son rang ne peut dépasser g -f-'^ {/< — l — h) — y -= m — n -\-2}i -\--2-{- -j (/^ — 1 — // ^ — Y - = m -\- /i — v : donc, si v n'est pas nul, les polvuDmes F, G (rendus liouiogènes) ont un diviseur commun, contre notre hypothèse:

3" Si M a moins de lignes que de colonnes, supi^osons, si possible, qu'elle soit nulle. Ceci se réalise pour ^/, - />„ 0, car r/„ et /"^i sont les seuls éléments de la première ligne; mais celle hypoihèse rir„ ^ 5^, ^ 0 a été écartée, donc nous pouvons supprimer de M la |)remière ligne et les deux colonnes (|ui débutent par les éléments rt,v f>,> de la première ligne; en etîet, tous les déterminants extraits de la matrice restante par simple suppression île colonnes, multipliés par un nombre non nul a^^o\.\ I\^ donnent des résultats nuls, savoir des déterminants extraits de M. L'opération, poursuivie do proche en proche, ■mène encore au résultant (pii s'évanouit, donc F et G ont un diviseur commun, contre notre liypotiièse.

57. Mais considérons à j)résent le cas oii les polynômes F et G ont un p. g. c. d. de degré a en .v, en y comprenant les cas où l'on a f(,i ^ /\, — 0 avec un p. g. c. il. d'ordre a — 1. etc; bref, les i)olynomes F, G sont les produits de deax polynômes /, g, dont les premiers coetiicients ne sont pas tous deux nids, sans diviseur commun en ./■, et de degrés m — x, >? — 2, |)ar un polynôme 0 de d«gré égal ou inférieur ;"i a.

On choisit // de sorte que, j)Our ces quotients /, (/. les relations (1) soient en nombre 7)2 — a -|- /; -|- 1 inférieur aux inconnues ;;? — 7i -\-2 h -\- 2, ce qui suppose // -^ u — a — 1 .

Alors, d'après ce qu'on vient de voir, les identités /!'-{- (j Q __' 0 sont possibles exactement de

manières, car il y a // — {h — 2 — 1) inconnues de plus que d'équations, et la matrice des coetiicients n'est pas nulle. Et chacune de ces identités en donne une autre

'- / P -f ''îlQ — J'^ P -\- GQ — 0. et récipro(|uement. car 0 n'est pas identique à zéro. Les

polynômes F, G sont donc dans le cas exceptionnel et la m-ilrice M est de rang

im — Il ~--2li -î-2\ - h -\r i'i — y. — \' '---■ 7)1 -{- h -\- l — ^ ;

ce nomlire est inférieur à celui m -j- h -\- \ des lignes, car a est jjosi.tif.

Par suite évidcnie, pour que les polvnomes aient un p. g. c. d. de degré a au moins, il faut et il suffit que la matrice W soit de rang inférieur ou égal à ni -\- h -\- \ — y.. Et, en particulier, si l'on fait h ■= n — a, le rang de M est tout au plus m-\-n — 2 X -{- 1, c'est à-dire que simplement la matrice M, à ni -\- n — 2 [y. — 1) colonnes et ni -\- n — (a — l) lignes s'évanouit; c'est le résultat classique pour les conditions d'un p. g. c. d. d'ordre y. au moins (surélimination).

Comme autre cas particulier, on fait h = n — 1 ; la matrice M devient le résultant, et l'on voit que le rang du résultant est m -\- n, — ot si y. est le degré du p. g. c. d. Enfin pour ^ = 1, on retombe sur la propriété fondamentale du résultant, propriété qui a été utilisée dans la démonstration ci-dessus.

-On peut formuler les conclusions suivantes : Si Von donne à h successivement les valeurs 0, 1, 2, ... les matrices analogues à M ont chacune un échelon de plus que la précédente. La. dernière d'entre elles qui nest pas nulle donne par le nombre n — y. de ses colonnes en a^ le degré ilu quotient g de G par le p. g. c. d. o. Celle qui suit est simplement nulle : son rang est inférieur d'une unité au nombre de ses colonnes et de -j. unités à celui de ses lignes. Toutes les suivantes ont aussi leur rang inférieur de y. au nombre de leurs lignes.