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(I, (1, a., Il

a 8 lignes et V) colonnes. Si F, G ont un p. g. c. d. (juadratique o les quotients /, g admettent oo'* identités fP -|- gQ — <>, ear les équations analogues à (1) pour /, g sont au nombre de 6 à 9 inconnues. Pour F et G, les S relations (1) à 0 inconnues re devraient avoir en général que od' systèmes de solutions; ici il y en a oc^ et la matrice M est de rang S — -J = ti.

A propos de cet exemple, donnons deux corollaires; on verra sans peine qu'ils s'appliquent au cas le i)lus général.

I. Si, dans la matrice M à 8 lignes et 0 colonnes, on ajoute, aux éléments des quatre premières colonnes, respectivement ceux des colonnes <>, 7, 8, '.», multipliés par une indéterminée lo^, on obtient la même matrice M relative aux formes F-\-io^G et G; cette opération, on l'a vu, ne cliange pas le rang tic la matrice. La même opc'ration où w^^ est remplacé par Wç^ et les colonnes <>, 7, 8, 0 par les colonnes 5, <>, 7, 8 donne la matrice M relative à F -|- ii\^ x G et G. Les deux opérations simultanées donnent la matrice M relative à F -\- w G et G, où ta est un polynôme du premier degré à coefficients indéterminés. Cette remarque est générale pourvu que F soit de degré égal ou supérieur à celui de G, et elle prouve que, si w est un polynôme à coetlicients indéterminés d'ordre m — a, les deux polynômes (rendus homogènes) F -\-ioG ai G ont le même p. g. c. d. que F et G, ce qu'on peut vérifier aussi directement.

IL Si l'on avait pris, dans l'exemple particulier h=\, (ou en général h = n — a), on aurait trouvé, pour les conditions d'existence d'un p. g. c. d. quadratique,

rang

donc, simplement, cette dernière matrice est nulle et c'est le résultat connu. Mais si Ton fait h =- 0 (en général == n — y. — 1), on a