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ou, simplement, que celte nouvelle matrice M' ri est pas nulle ; c'est en somme à cela qu'on doit reconnaître que le p. g. c. d, n'est que quadratique. Pour fixer les idées, sup])OSons que le déterminant des •". premières lignes de M' diftèrc de zéro, ce qui exclut la possibilité de a^ = hç^ = 0\ alors le p. g c. d. quadratique de F et G est, à un facteur constant près,

a., II., h, 1

en efiet A est quadratique, car le coeilicient de afi est le déterminant supposé non nul ; de plus, en multipliant les 1 premières liunos de A respectivement par .r^ .t", iT-, a? et ajoutant à la dernière, celle-ci devient

F, Gx, G, 0, 0.

donc A F ]i -\- Gq et le ]). g. c. d. quadratique o de F et G doit diviser A; comme o est aussi quadratique, le quotient A : o est indépendant de x.

La règle actuelle pour former le p. g. c. d. est générale et s'étend même, on |:)Ourra le vérifier plus loin, à plus de deux polvnomes.

59. Avant de passer à plus de deux polynômes, rappelons un lemme connu. Soit F {x, y, :■, ...) un polynôme à n variables, de degré inférieur à m: on peut donner aux variables des valeurs (même entières par exemple) telles que F ne s'annule pas, à moins que tous les coefficienls de F ne soient nuls.

Ecrivons n rangées, clncune de wz nombres distincts, et montrons que F ne |>eut s'annuler pour toutes les combinaisons