Soient trois polynômes
G'^ C,.r"' + r,.r«'-l +... -f. cv^
-appliquons textuellement la démonstration relative à deux formes, en i)renant le polynôme auxiliaire F de degré h, et les polynômes Q, Q' de degrés respectifs m -\-h — n, yn -\- Ji — ;/. Les conditions (1) pour l'existence d'une identité
FP -^r GQ -\- G' Q ez. ( i
-sont au nombre de m -\- h -\- l entre
/?.+ !+ {m + h - /' -f 1) + {m ^ // — n' -f 1) = 2 m — /i — n' -f- 3 // 4- 3 inconnues homogènes, et l\ matrice des coefficients est /■/„
If .
Il -\- 1 lignes
Théorème I. — Si F, G, G' sont sans diviseur comtnum en X, si Von ita pas a^ == ^^ = c^ = 0, et si Von suppùseh ^ 7i' — 1, cette matrice M a son rang majHmé, en d'autivs termes M n'est })as nulle.
En effet, choisissons deux polynômes,
,,. ,,. y,in 7 1^ . .W Il — 1 1^
iv' = w'j(f'-'''A- w'^y'-'^'-^A-
tels que ^«^o H~ ^^'o ^o ~h ^'-^o <^o soit difitérent de zéro, et qu'en même temps le résultant de F -|- w G et G' soit distinct de zéro. D'après le lemme de plus haut, on peut satisfaire à ces deux conditions, même par des valeurs entières de w'^ et des coefficients de w, car elles ne sont pas vérifiées pour toutes les valeurs de ces coefficients.
Effectivement, «o + ^'*o ^o + ^^'o <^o ^l'cst pas toujours nul, puisque, par hypothèse, a^y, bf^, c^ ne sont pas tous nuls. Et le résultant de F -\- icG et de G' ne s'évanouit pas, quel que soit i6'; en effet, d'une part les premiers coefficients de F-|- wG et G' ne sont pas toujours nuls; et d'autre part, ces deux polynômes n'ont pas, quel que soit ic, un p. g. c. d. D en x, car D divisant G' serait indépendant des w^ et -li en posant F -\-ioG = D'^, on aurait une relation identique entre deux foiictions de iO(^, lOi, ..., œ, fonctions qui égalées terme à terme montrent D divisant séparément F et G; ceci contredit notre hypothèse suivant laquelle F, G, G' n'ont pas de diviseur commun en u\
Les polynômes lo et w' ayant été choisis comme il vient d'être dit, F -[- icG -f- a'' G' et G' n'ont pas de diviseur commun en œ, car un tel facteur diviserait F -\- wG et G' et le résultant de ces deux formes s'évanouirait. De plus F -f- a- G -f- lo' G' et G' n'ont pas leurs premiers coefficients tous deux nuls.
Si, contrairement à notre thèse, la matrice M pouvait élre nulle, il en serait de même de cette matrice transformée de manière à s'appliquer aux trois polynômes F -\- ic G -\- ic' G' , G et G'.
Or, si h "^ n' — 1 , la matrice partielle M' obtenue en effaçant, dans M transformée, les colonnes relatives à G a au moins
(1^ Variante : D divisaiU F -^ ic G, pour tout w, diviserait P -|-(ic-|- l)^,. donc G, etc.
autant de colonnes que de lignes (i) ; les détei'minants les plus élevés qu'on en peut extraire s'obtiennent par suppression de colonnes et sont nuls, si M = 0; ou si M' est carrée, elle est un de ces déterminants. Mais l'évanouissement de M' est en contradiction avec ce que nous avons établi plus haut pour les polynômes F -l- te G -\- te G' et G' qui n'ont pas de diviseur commun ni leurs premiers coefficients nuls.
61. Théorème II. — Si F, G, G' rendus homogènes ont un p. g. c. d. de degré -j-, et si h y n! — ■< — 1 , la maivice M £st de rang m-{- h-\- l — -/.
Les quotients /, g, g' de F, G, G' par leur p. g. c. d. sont de degrés )n — y-, a — --<, nJ — y. et n'ont pas leurs premiers coefficients nuls. Alors le nombre 7n-\-h-\- 1 — a des équations (1) relatives à /, g, g' est inférieur de l unités au nombre 2 m — n — /t' -}- .'3 A -}- 3 d'inconnues, car /tétant un entier positif ou nul supérieur à n' — y — 2, on a aussi 2h n^ — y — '2, d'où 2 m — n— ii -|- :; /i 4- 3 > 2 m — // — nj + /i + '"'' — '^- — 2 + •'! ou ni -f- /? 4" 1 — '-^ ~f- (^'^ — ^0» ^ioi\(i aussi
2 m — n — a' -f -.Ml -f 3 • - ni ^ h ^ \ — y
Ainsi les identités f P -^ gQ -\- g' Q' == 0 sont possibles de
oo^ manières, car il y a l inconnues de plus que d'équations,
et la matrice des coefficients n'est pas nulle, attendu que le
théorème I est applicable au,x polynômes /, g, g\ puisque;
ceux-ci sont sans diviseur commun et que h "^ n — y — I.
Quant à F, G, G' ils sont dans le cas exceptionnel ; la matrice qui les concerne est de rang
2 )n — n — n' -^'Ah ^ 3 — l = ni -{- h -^ l — y
Réciproque des théorèmes l et II. — Sila matrice M est de rang m -\-h-^ \ — y et si h ^ n' — 1, les polynômes rendus homogènes ont un p. g. c. d. d'ordre y en x.
En ertet, les polynômes ont un diviseur commun en x, car s'ils n'en avaient pa», comme h :? ?^' — 1, le théorème I leur serait applicable et M serait non nulle, contre l'iiypo thèse.
Si le p. g.c. d.esG d'ordre 3, comme h^ n' — 1 , et a fortiori
(1) Car alors m \- ih — n + 2 r? m + h + n' — 1 — // + 2 -- w + A + 1.
^ H — > — 1, le théoiviue II est applicable et le rang de.i\/ est m-\- h -{- \ — X donc fi = «.
Remarques. — I. Il peut arriver que les polynômes soient sans diviseur commun et que néanmoins M soit nulle, mais alors (tliéor. I) c'est que /?<)?' - 1. Soit, par exemple, les ])ol Ynomes
arc'' + /'^ -r c, o',v- -f b'.T + c', a" œ- + h" x + c" ; '
on a ici m ^n = n = 'J ; en prenant // = 0, on a pour M le -déterminant
II
(lue
les
trinômes
il peut être nul, sans que les trinômes aient un diviseur commun, notamment quand leurs racines représentent tiois couples d'une involution quadratique. Quand ils ont un diviseur . commun, ce déterminant est aussi nul (théor. II), mais son évanouissement ne i)eut ])as servir à exprimer les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un p. g. c. d. : la réciproque des théorèmes I et II n'est ajjplicable que si h est au moins 2 — 1 = 1.
II. En particulier, si l'on fait h = n — I, on a un résultat de L. L. Dincs : la matrice M a m-\- u lignes. Plus particulièrement, pour que les polynômes aient un p, g. c. d. de degi^é non assigné', en y comprenant le cas de r/,, = />„ = 6\, == 0, il faut et il sullit que cette matrice M,„|.„ soit simplement nulle.
Si n' --:: n, on peut encore abaisser les dimensions le il/ et faire h = n' — 1. Dans ce cas donc les conditions nécessaires et suffisantes peuvent être exprimées par l'évanouissement d'une matrice M„^^„' à m 4- r/ lignes.
62. L'extension à plus de trois polynômes est facile. Le nœud de la démonstration est toujours ceci : si les polynômes n'ont aucun diviseur commun, ni leurs premiers coefficients tous nuls, et si h est au moins v — l, v étant le degré du polynôme le moins élevé, la matrice analogue à M est non nulle.
Le cas de deux et trois polynômes ayant été élucidé, il reste à étendre par induction complète. Supposons donc le fait établi pour j) -j- 1 [»3lynoraas et considérons ensuite p -{- 2 polynômes,
de degrés tn -j- n, ^ «' > ri!\ ... ^ n^^K Choisissons les polynômes w^ iij, w\ ... n-^f) tels que F -|- ir G -f- "" G' 4- ... u/t^ G^f^ ait son premier eoetticient non nul et que le n'sultant de F -\- irG et du
jj.g.c.d. [G', G". ... G'P^]
diffère de zéro, car ces conditions ne sont pas réalisées quels que soient les pohnomes /'■, on s'en assure comme plus haut. Alors les polynômes
F -f ^>cG, G', G", ... GP^
n'ont pas leurs premiers coeflicicnts tous nuls, et n'ont' pas de diviseur commun en x. Or la matrice M relative aux polynômes F, G, G' , ... G^f^ peut se transformer en la même matrice relative à F -]- - ""G, G, G', ... G'i'^ ; celle-ci est nulle en même temps que M, et de même la matrice partielle M' obtenue en etlaçant, de .1/ transformée, les colonnes relatives à G; car cette matrice M' a au moins autant de colonnes que de lignes, puisque h > nP'^ — 1 , donc
// 4- 1 + ... + ;y? + /? — ;r^) -f ! : /? + 1 + . . . -f w? + >/ /"' — 1 - iïP^ -f- 1 m -\- h^ \ ;
mais alors on a une matrice nulle M' , analogue à A/, relative à p -j- 1 polynômes sans diviseur commun, ce ipii est sujiposé impossible quand h => n''f''> — 1 .
(jOrollnires. — 1. Ayant établi que la matrice M relative à plusieurs polynômes, quand elle est de rang m -{- h Ar ^ — '^• [h ^- n(P' — \\ exprime les conditions d'un p. g. c. d. d'ordi'c '/, on prend un de ses déterminants non nuls les plus élevés, on le complète dans le sens vertical de manière à former une matrice à m -\- h -\- \ lignes et yn -\- h -\- \ — -i colonnes extraite de M, puis on y adjoint des colonnes d'éléments 1 , — rc convenablemtmt placées, et l'on obtient, comme plus haut, le {). g. c. d. d(^s i)olynomes proposé'S. l)
(1) Observons ici en passant que tour, itolynouie, par exemple a^, x'' f Gi JT^ -\- a-î a;' -\- a^ x -\- o.j peut être mis sous forme d'un déterminant
Uf — a- J !
H. Pour h = î/^' — 1 on a la matrice M la plus simple; on peut l'appeler la matrice résultante.
On démontre, en suivant textuellement la méthode connue pour le résultant, c'est-cà-dire en multijiliant les lignes de la matrice résultante par les puissances de x, de degrés
et ajoutant à la" dernière, que les déterminants extraits de la matrice résultante par suppression de colonnes sont dos coml)inaisons linéaires des pohnomes proposés. Ces déterminants peuvent remplacer dans la théorie du reso/î?an^ (voir un chapitre ultérienr du présent travail) l:^s coefficients /?y, i?^, ... des produits de puissances des u et des v dans le résultant de ^ Uj F, et I îif F,- La diftérence est que les coefficients Rq, i?i, ... de Kronecker s'annulent, ou bien quand les polynômes ont un p. g. c. d. en .r, ou bien quand s'évanouissent les premiers coefficients des polynômes de degré le plus élevé; tandis que, dans notre méthode, les déterminants extraits de la matrice résultante s'annulent quand il y a un p. g. c. d. en œ, ou quand tous les premiers coefficients sont nuls. Pour la théorie du résolvant, on doit supposer les polynômes rendus rég^fliers, et alors les deux groupes de symboles sont équivalents; mais les nôtres se prêtent mieux à la théorie des polynômes homogènes et aux applications géométri(iues.
