Prenons ])Our exemple les trois polynômes
F = ft,,./'' + f/iX-' + a.^x- + '/-^.r -f a^.
voici la règle pour former la matrice résultante : on forme le résultant des polynômes extrêmes, et l'on intercale des coefficients />,„ h^. ... jusqu'à suffisance :
Co
rt,
ih
Co
ih
Ci '■
la partie formée do symboles rt et c est carrée. Sur cet exemple
nous pouvons donner un moyen de contrôle qui pourrait servir 'de nouvelle démonstration aux tliéorèmes I, II ei réciproque de plus haut. Puisque le déterminant R formé des symboles a et c est nul, les polynômes F, G' ont un diviseur commun. Si ce diviseur est linéaire, un déterminant A à cinq lignes extrait de R est non nul ; si A s'obtient par exemple en etlaçantla colonne 4 et la ligne 3 de R, remplaçons la colonne 4 de R par la colonne 5 de la matrice résultante; alors
«et ce déterminant multiplié par ,r'-^ donne aussi im résultat nul ; multiplions donc la ligne ;J par .c-' et ajoutons y les lignes 1, 2, 4, 5, 6 multipliées par .r', oc\ x-, œ, 1 ; la ligne 3 devient
donc, en développant, G X -^ est une combinaison linéaire de F et G', et le diviseur commun de F et G' divise (î 1, donc aussi G puisque A est une constante non nulle. Si F et G' ont un p. g. c. d. quadratique, il faut supprimer deux colonnes de R et les remplacer par des colonnes de symboles A; on obtient alors une identité de la forme
^t le p. g. c. d. de F, G' divise le premier membre et a au moins un diviseur commun linéaire avec G. Eic.
64. De même que la siirélimination, l'élimination d'une inconnue entre plusieurs étjuations trouve son application dans diverses questions d'analyse ou de géométrie.
Par exemj)Ie soit à chercher l'arête de rebroussemenl d'une onveloj)pe de surfaces à un paramètre : ii s'agit d'éliminer a ontre les relations
si F est une fonction entière de a, ces trois équations se ramènent iiu degré de la troisième, et l'on a l'arête de rebroussement en
écrivant la matrice résulumte de trois polvEomes de même degré ; on aura de même des points singuliers de ladite arête en écrivant les conditions d'existence d'un p. g. c.<l. quadratiqueau moins pour ces trois polvnomes,
A cette occasion, disons un mot du cas particulier de trois formes quadratiques
a y.-' -i-hy.4- C, il! y.' + h' y. + c\ a' yr + A" a -f c" ;
la matrice résultante est
,1 â' rt"
Si les coefficients a, b, c, ... sont dos fonctions linéaires do quatre vai'iables homogènes, on a la représentation, par une matrice à l lignes et ^ + 2 colonnes, d'une courbe gauche rationnelle du sixième degré, car en égalant à zéro les^ polynômes donnés, on tire les coordonnées œ^, x.^, x.^, x^ proportionnelle à des fonctions entières, du sixième degré en a.
Comme autre application, cherchons les conditions pour que deux coniques d'un plan aient un double contact, problème résolu d'une manière incomplète dans les traités. Il revient à cliercher les conditions pour que le faisceau défini par les deux courbes contienne une droite double, donc
on lire de là
(«12 + ''- ^^ni' = («n + ^'- ^11 ' i^hi + '■ Kl) et deux relations analogues, ou encore
À^ {b,.^ — ^?n^22) = 0 et deux analogues ; si ces équations en), ont une racine commune, la matrice suivante est nulle,
f^n ~ «h «22 ~ '''12^^12 "~ ^'u"22 ~ «u Kl ^hî ~~ ^'n ^a
2«33''>23-<^22««-«22^33 brî-O^b^
«12" - «11 «22 - «12 ''\1 ~ 'h\ «32 — «11 '^22 «12- — '^11 ''it
«13' - «11 «33 2 Ui^ 61:5 — b^^ rr„ — «n b.,,^ by^' — //„ /';„
«23' — «22 «33 2 rtjs //23 - b.,.. a-i-, — «32 *33 K' " ^'22 K.
Réciproquement, si les équations ('2) ont une l'acine commune À, on prend pour o une valeur arbitraii'e; la première de& équations (1) donne ;^j précédé du double signe; on choisit l'un à volonté et ],es autres relations (2j donnent [j..^, [j..^ sans ambiguïté.
Signalons comme exercices, les questions suivantes :
1° Relativement à une, surface d'ordre n, trouver le lieu des points dont la quadriqne polaire est de révolution. (On sait que la quadi'ique de révolution coui)e le plan de l'infini suivant une conique ayant un double contact avec le cercle imaginaire de l'infini.)
20 Conditions pour qu'il existe un point dont la quadriqne polaire est une sphère. (En coordonnées rectangulaires, cette quadriqne a pour équation
dx' ' dî/^ ' c?v2 i (J.fd>/ '
et l'on doit avoir
dx' djj- d:' '"' dxdy dxdz dydz
puis éliminer .'•, //, .^ > ; dans le cas de n. = :>, les relations (r) sont linéaires en x, ij, z et les conditions cherchées ont la forme
