IJ

rt 'J.

, Il

3^' les relations

ff.v h\ Cx

expi'iment que les équations on / : a,

/-•^ iix -\- 'i- y. /m- -|- ;j-- Cx -~= 0, "a- a'x -f >. 'J- b'x -f \j" dx = 0

ont deux racines communes. Chacune de ces équations représente un plan variable enveIo])])ant un cône de 2'''' classe; r/^-et Cojsont deux plans fixes tangents au premier cône; le plan variable coupe r/^- suivant la droite

«A- = •►, À Ox -\- [JCa - •)

— os —

et se trouve rapporté à un plan du faisceau À bx + v- Cx. Donc, sur chacun des cônes on a une série de plans tangenls et ceux qui correspondent à la même valeur de À : ;j. décrivent deux séries projectives.

Ainsi, étant données deux séries projectives de plans tangenls à deux cônes de seconde classe, le lieu des points d'où les plans tangents mené au premier cône sont les homologues des deux plans menés au second cône est une cubique gauche.

La cubique passe par les sommets des cônes. Si la cubique est donnée par une matrice, les cônes relatifs aux deux lignes sont

Z>.," — 4 axc.y ^ 0, h'/~ — 1 rt', c'.i -= 0

et un cône analogue ayant son sommet en un })oint variable de la courbe a pour équation

[bx — k h'x y — 4 {ctx— h a', ) {cx — hcx) = 0

et pour enveloppe la surface du quatrième ordre

c{bx^ — 4 (ix Cx ) (//x- — 4 a\^ dx ) — {-Z n'x cx + 2 « > dx — h., h'x )- = 0;

le premier membre est encore égal à

4 {{(ix b X — a 'x bx ) {bx c A — b 'x Cx ) — (dx c X — a 'x Cx Y]

ce qui prouve que la surface du quatrième ordre admet la cubique donnée comme courbe doul)îe.

4° De même les relations

a.\ bx Cx (l\

donnent ce résultat : si sur deuj- développables de troisième classe, on donne deux séries projectives de plans tangents, il arrive quatre fois que trois plans tangents à la première et les trois plans correspondants se coupent tous les six en un même jtoint.

Si au lieu de deux développables on en a trois, les séries projectives peuvent être ra])portées à une même ponctuelle; de tout point .27 de l'espace, on peut mener trois ternes de plans tangents, et il v correspond trois ternes de la ponctuelle; si ces trois derniers ternes font partie d'une même involution J^\ le point :r décrit une sextique de genre trois.

On peut encore étendre ces résultats en api)liquant les ])rocédés d'élimination ou de surélimination d'un paramètre entre deux ou plusieurs é(iuations, procédés exposés plus haut.