CHAPITRE VII

Matrices invariantes.

65. Dans noire mémoire couronné de H'I.î, nous avons posé quatre problèmes ; voici trois des énoncés :

!'> Quelles courbes gauclies algébriques sont représentables par une matrice à l lignes qH -\- \ colonnes (

2° Déterminer toutes les congruences linéaires de cubiques gauclies.

3" A quelles conditions une matrice représente-t-elle une Tariété plus étendue que dans le cas général (*

Des commencements do solutions des deux premiers problèmes sont consignés dans le présent travail. Le tî-oisième est en somme la question de l'élimination d'un ou plusieurs paramètres d'une matrice : nous \ reviendrons dans un chapitre ultérieur.

Le quatrième problème auquel nous allons consacrer les pages suivantes est celui des matrices invariantes; voici l'énoncé :

Déterminer, pour un polynôme ou un système de polynouies, des matrices (ou même toutes les matrices) dont les éléments sont fonctions des coellicients des polynômes (ou des coellicients et des variables, etc.) et qui jouissent de la propriété ^'invariance, alors que les déterminants extraits de ces matrices ne sont pas invariants.

Par exemple le polynôme «„ x'^ -\-'.\ a^x- -\- •'> a.^ x -\- a^ a une racme triple si l'on a

les déterminants extraits de cette matrice ne sont pas inva-

riants, car le i)olynome proposé n'a qu'un invariant, savoir

qui s'évanouit quand il a une racine double.

Cependant la pi'opriété d'avoir une racine tri])le est évidemment invariante. Parmi les applications géométriques possibles de cet exemple, citons celle-ci : si r/,,. rt,. a.^. a.^ sont fonctions linéaires de trois (ou deux) coordonnées cartésiennes, le polynôme qui, pour chaque point de l'espace (ou du plan) a trois racines généralement distinctes, n'en a i)lus que deux pour les points d'une surface (courbe) du quatrième ordre, n'en a plus qu'une pour cliaque i)oint d'une cubique i^auclie (pour 3 points du plan) flouble sur la surface.

66. L'exemple précédent nous oblige à préciser le problème. Qu'esi-ce en efict une matrice ayant la pro})riété d'invariance ( Ce sera une matrice dont l'évanouissement exprime une propriété qui reste inaltérée par la substitution linéaire.

Dans un travail antérieur, nous avons dit : •• une matrice - n'est pas une quantité; il ne peut être question de la voir se ■■^ reproduire multipliée par une puissance du module de la n substitution. ^

Et dans un autre travail, nous avons objecté : » sans doute, ■• la matrice n'est pas une quantité, c'est un symbole; mais la ■• multiplication de ce symbole par un déterminant a reçu une V définition conventionnelle: il est donc possible de voir le « symbole se reproduire quand on le multiplie par une puissance « du module v. Seulement le mot " multiplication ^ devra être j)récisé conformément à la théorie abstraite des matrices; nous y viendrons bientôt.

Mais il y a des propriétés certainement indépendantes des substitutions linéaires, par exemple les conditions pour que des polynômes aient % racines communes, qui s'expriment par le fait que le rang d'une matrice reste au-dessous d'une certaine valeur. Alors notre problème fondamental doit s'étendre à la recherche des matrices dont le rang demeure inaltéré par une substitution linéaire.

Ectin. il peut se faire qu'une matrice invariante précédée d'une ou plusieurs lignes de variaiîles, cogrédienLes ou •contragrédientes aux varialilos initiales, l'oui-nisse un covai'iant, ou contrevariant, ou divariant. L'évanouissement de ladite matrice sera peut-être l'évanouissement identique de cette autre forme invariante et l'on sera ramené à un ordre de reciierches qui a fait l'objet de divers travaux 'd .

La première étape dans cette théorie doii être un examen des exemples connus de matrices invariantes. Plus tard, on pourra essayer leur classification, par exemple, d'après le nombre et le degré des formes données. Il ne faut pas oublier que la substitution de Joacliimstal déduit, de chaque matrice invariante, une matrice à deux ou plusieurs séries de variables.

67. Nous devons examiner avant tout ce que deviennent les coefficients d'une forme transformée, donc rai)peler quelques faits d'invariantologie. Le point de vue auquel nous nous plaçons dans cet exposé n'est ])as nouveau, mais il est indispensable de le reproduire i)Our l'enciiainement de notre travail.

Soit une série de variables .r^^ ,r^ r,^ que l'on transforme

par la substitution linéaire,

dont le module ou déterminant A des cot^llicients est supi)Osé non nul, pour permettre \di substitution inverse,

AAj = L,x, + M,x, +...

L;, Mi, ... étant les mineurs de A relatifs aux éléments '/(. ;j.i, ...

Deux ou plusieurs séries de variables sont dites cocjrédienies quand elles sont en même nombre et subissent la même substitutigii linéaire.

Le produit de deux substitutions linéaires, c'est-à-dire leur application successive, est une substitution linéaire dont le

(1) Voir notamment/. Deruyls. Mém.soc. Sciences Liège, 2esér. 17.

module est le produit des modules, en vertu de la règle connue de la multiplication de deux déterminants. En particulier, le produit de deux substitutions inverses l'une de l'autre, comme on le vérifie immédiatement, est la substitution identique.

Un polynôme de m'^"" degré est dit régulier en x■^^ si le coefficient de .r^'" n'est pas nul. Soit

un polynôme quelconque; la transformation particulière suivante

e^ = A', . j>72 = u.y A'i -f X,, ./-.^ = u.^ Xy^ -f A'.,, . . . ,

démodule 1, en déduit un polynôme où le coefficient de Ay^ (iSt devenu

— A „ U.y' ... Uj,

tandis que les coeffiicients de AV'^.Ay ... sont demeurés ceux de x^\ x.'^ ... D'après un lemme du chapitre précédent, on peut disposer des paramètres m, de façon que le nouveau coefficient de A'/" soit distinct de zéro, donc de façon à rendre le polynôme régulier en A^ Des opérations successives analogues rendent le polynôme régulier quant à toutes les variables, sans troulder les résultats précédemment acquis. On peut donc, par une transformation appropriée de module 1, rendre une forme régulière par rapport à toutes les variables ; il en est de môme pour plusieurs formes.

Deux séries de variables u, x, en même nombre sont dites contraçp-édientes quand elles subissent des substitutions linéaires telles que l'on ait l'identité

)Lu,x, ==^UiX,^ donc facilement,

U^ = Uy\ 4- «^v., 4- u,^->^ -\- ...

t/., = «1 À. + Mj V-.^ + U^'-i + ...

cette substitution est aussi de module A ; on en déduit

Au, = L, L\ -1- L.,U, -f- ...

\u.^ = M, L\ + M, lJ.,-\- ...

et la substiiuiion (w, T'") peut être dite comfilémetdaire de la. proposée (./', A') son module est

d'après une formule connue.

Les cotffieienis d'une forme linéaire sonl évidemment conlragrédients aux variables ; de même les dérivées partielles du l)remier ordre d'une forme homogène de degré quelconque.

Deux séries de grandeurs contragédien tes à une même troisième sont visiblement cogrédientes entre elles.