Nous allons définir ici la substitution de puissance

m. Soient une série de — — -^ variables a deux indices,

.^\k = ^hi (^ ^ = 1, 2, ... rù, subissant une substitution exprimée symboliquement par

(h -t- X /-.il) -.• I -.(1)

ces relations sont symboliques en ce sens qu'il faut effectuer les opérations indiquées dans les seconds membres et y remplacer .Y, A'^ par A'^/^ Une telle substitution linéaire est désignée par 5^, si 5 est la substitution dont les coefficients sont À^^ ; on l'appelle sudsiitution de puissance 2 et il ne faut pas la confondre avec S- qui est l'application successive de deux substitutions S ; cette dernière ne s'applique qu'à ii variables. On définit de même la substitution de puissance m, 5^^ régissant des lettres à m indices, allant de 1 à /^; le nombre de ces variables •' est égal au nombre de combinaisons à répétition de n éléments pris m k m ou (7,„ | „ i^ ,„,

On a défini aussi des substitutions de produits, mais nous n'en avons pas besoin et les exposés qui en existent ne nous paraissent pas irréprochables.

Nous allons démontrer ce tliéorème connu : le déterminant

de hi substitidion de puissance m est une puissance du déterminant de la substitidion S.

Voici d'abord quel sera le degré de cette puissance : le déterminant de S„; est à -> lignes et chaque élément est de degré m en À, tandis que le déterminant de 5 est de degré n ; donc la puissance en question doit être

y. ,„ ^ Il — 1 , m — 1

Pour la démonstration du théorème, rappelons d'abord ce lemme classique : tout déterminant est une fonction irréductible de ses éléments, considérés comme variables indépendantes.

Car soit, pour fixer les idées

c'est une fonction homogène de ses neuf éléments; c'est aussi un polynôme linéaire homogène en Àj, aj, vj, puisque A = À^ L^ + [j-i My -|- v^ A\ ; s'd avait des diviseurs ils seraient homogènes et l'un d'eux serait linéaire en ).j. ;j.j, v^, par exemple

A = (/ )., -|- w^ v-i 4- n vj ) q ;

■cette relation est une identité puisqu'il s'agit de variables indépendantes, donc ql = Ly et ^ est indépendant de Xg, \, X^, V-],''i\ on montre de même que q est indépendant des autres éléments, par suite q est numérique.

Cela étant, indiquons des propriétés de la substitution S„, consistant, on s'en souvient, à rem])lacer symboliquement x^ par

dans les expressions Xij^i . Soit T„, une autre substitution de puissance ?n, remplaçant par exem])le A'^ par

le produit, ou application successive de S„, et T^^ remplace symboliquement x^ par

•et ceci est la substitution de puissance m déduite du produit 5 T, de sorte que S„^ T^, = (5 7),„

Ensuite, si 5 est la substitution identique, il en est de même deS,„ car on remj^lace x par X, donc symboliquement Xi x.- par

A', Xj^ etc.

Par suite si S~^ désigne la substitution inverse de S, (,5-')„, est l'inverse de S,,, car S„^'■S~^)„^ est égal, d'après ce qui précède à {S S ~^)„i donc à la substitution identique.

Arrivons enfin au théorème à démontrer. Soit

le déterminant de la substitution S,„ ; son degré est m -/. Le déterminant de la substitution inverse est la même fonction des coefficients de la transtOTmation S~^, c'est-à-dire de L^f : A ; puisque le produit des deux substitutions est la substitution identique, on a

d'où encore