OP X -(L^: A
puisque A est irréductible, ciiaque facteur du premier membre est, à un facteur constant près, une puissance de A, et comme •ce dernier est de degré //■, on a
.(Xfj=-CA^;
le même raisonnement appliqué à la substitution inverse 5~* dont le déterminant vaut A" -^ donne
=p(L?) = cA^«-l)
«n multipliant membre à membre on trouve c- = l, d"où c = + 1 , mais la signe — est à rejeter U) comme le protive un examen direct du cas particulier de la substitution identique.
(1) Plus simplement : la constante c est égale à 1, comme le prouve le <cas particulier de la substitution identique.
69. Comme exemple vérifions le fait pour le cas de m = 2, ei /^ = 8. Le déterminant
2 Al A^
'-lî^2 1 ^^2Î^i
HV-i
2 i-l .^^.3 X, >., -|- A, Vj
doit être égal à la quatrième puissance de
Considérons en effet les déterminants à neuf éléments extraits des trois dernières lignes de R : trois d'entre eux sont nuls, savoir ceux où manque l'indice IJ, 2 ou 1, comme le montre l'examen direct ; les dix-se])t autres sont des produits de A par des facteurs v.
Quant aux trois premières lignes, nous vérifierons dans un instant qu'elles donnent des produits de puissances de
(~^i IH — '''-2 y-i )' C^i .'•'■3 — '^-3 'H )• (^3 :-'-3 — ''■3 ;J-2 ) 0"e nous désignons en abrégé par j\\, — iVg. ^^3- L'application du théorème de Laplace donne alors, en représentant par leur première ligne, les déterminants extraits de la moitié supérieure de R,
A> : A = i >^^ 2 )., À, >.,= I v/ I 1^2 2 \ l, \^ I vj3
-f- ! ^.^ 2 ).2 ).3 X32 I .^3 | j ).^2 12 x^ I ( 2 V, ., V3) I 2 \ X., 2 \ l, 2 l, \ 1 Vj V2 V.,
+ 1 \' K' 2 X, \ I V3 V3« - I \^ If 2 l, ),3 I (- V, v/) + 1 \^ Xf 2 l, l, 1 (- v./ V3)
- I If )..2 2 X, X3 1 vi V.;- - 1 x/ X.;- 2 X, X3 1 (- v^^ v,) + 1 x/- if 2 x, X3 1 v;^ v,
-f 1 X;. 2 X, 1, 2 X, X3 I (- V3 v..=) + ! If 2 1, /,, 2 X, X, \ .f ., + 1 X,^ 2 X, X, 2 X^ X3 | v^ v, -f- 1 Xf 2 X, X3 2 X.3 X3 I v;- V3 + 1 X3= 2 X, 1, 2 \ X3 I V, v^^ - 1 X3= 2 X, X, 2 X, X3 | v^^ v,
Calculons l'un des déterminants figurant dans cette expression, j)ar exemple,
^•1 :-^3 + ^-3 !^l ^-2 :^3 + ^'3 f^2 I > = 1 i \ X, a,'- AT, - (X, u., + X, u.,) X3 1x3 N, 4- lAi IX, Xf N^ i
On vérifie de même que | >/- À/- \^ \ = — A\ N.^ N^ et que les autres déterminants multipliés par des puissances de Vj, -j.^^ v^, sont égaux aux produits des mêmes puissances de A\, N2, JS-^, avec encore un facteur 2 pour les six derniers : en définitive
ce dernier polynôme est le cube de v^ N^ -\- •'., 1V3 -|- V3 N^ ou A, par conséquent R =^ W
70. L'intérêt des substitutions de puissance ?;? réside dans le fait que, si l'on regarde les formules, non comme symboliques, mais comme eftectives, elles donnent la substitution subie par les produits des puissances des indéterminées œ^, ... ûhi ou les produits mutuels de m séries de variables cogrédientes (les substitutions de produits transforment des produits de séries de variables non cogrédientes).
Soit une série Uy, «3, ... w^, de symboles conti-agrédients aux ^, de sorte que, si l'on passe des œ aux X par une substitution S, on passe des r^aux l' par la substitution complémentaire 5', ou. ce qui revient au même, le symbole ï iw demeure inaltéré ; il en est ainsi des puissances de ce symbole jusqu'à la m'""" qui a un sens eiîectif. Or (w^ J7i -j- ...)'" Pst une somme de produits de la forme
Kj^' ii.f'^ ... û?/^ .'-/^ ...
multipliés par les coefficients polynomiaux correspondants
les indéterminées contragrédientcs aux ^^',y^ .. sont donc les quantités analogues Uijj.^^ multipliées par les coefficients polynomiaux correspondants. Et l'on passe des u^jj^ ^ aux Uf , If parla substitution S\„, par conséquent : si une série de variables à m indices subit la substitution -S,„ de puissance m, les variables contra grédie^ites divisées par les coefpcients ]iolynomiaux coy^respondants subissent la substitution puissance m delà substitution complémentaire de S.
Le module de S\,, est
quant à la transformation (f/, ./^ . , U/ ; k ...) elle est de module
En particulier, en venu du iliéorèmc d'Euler généralisé, sur les fonctions homogènes, les dérivées partielles d'ordre m d'une fonction à ii variables subissent la transformation puissance m de la transformation complémentaire de celle qui aftecte les variables .r. Cas plus particulier encore : les coetlicients d'une forme d'ordre m divisés par les coetlicients polynomiaux correspondants subissent la puissance 77i de la substitution complémentaire de la substitution initiale. Et si la forme est binaire, on a symboliquement A^j =-- ("/ ^ a^ -\- ;j j «^ )- etc.
Tout ceci revient, au fond, à la symbolique de Clebscli et Aronliold ({ui représente chaque forme par une puissance symbolique d'une forme linéaire.
71. La multiplication des déterminants, trllo qu'on la trouve dans les ti"aités éléraeniaires.
Kl
«11 ^11 -r «12 ày, 4- rtj, h^,. —
peut s'appeler une multiplication par lic/nes : l'égalité signifie que le déterminant du second membre est le produit des deux déterminants du premier, et on peut l'appliquer après avoir apporté, à. l'arrangement des éléments des trois tableaux, toute modification qui n'altère pas les déterminants; par exemple, on pouri^ait composer les lignes du multiplicande avec les colonnes du multiplicateur, etc.
Cette multiplication par lignes s'étend à deux matrices rectangulaires ayant le même nombre de lignes et colonnes; on écrit
et l'égalité signifie que le déterminant du second nombre est la somme des produits des déterminants homologues extraits des deux premières matrices. Cette règle se confond avec la précédente si les deux matrices sont carrées. Elle se vérifie immédiatement pour l'exemple ci-dessus ; elle a (Hé démontrée en général par Caucliy et Binet. La mrme règle ajjpliquée à des matrices ayant plus de lignes que de colonnes donne un second membre identiquement nul.
«11 ^%i II
^11 ''il '\l ''il
I «11 '^U 4- «21 ''l\ «12 '^n -f «22^^21 «n ^11 + «23^21 = ' ^u ^-> i . H- «-.1 ''îî « 12 ^12 -f- «22 ^^22 "U ^12 + «23 ^ 1 « Il '^1 ^ 4- «21 ^-^2! «12 '^U + «22 '^n «I:î '^ l^ 4" «23 ^^
car ce second membre est le produit des deux déterminants nuls,
Voici la démonstration de rauciiv et Pdnet(i : soient
C/ll (l\-2 ... Ili ,. ''\l ''l:' • • ' ''i '(
",A "ir>
a un
bp 1 l>,, > ■ . ■ '>pn
deux matrices dont la multiplication par lignes donne le déterminant
aiifJu-^^in'hi-r ■'■ +(^in'>\., ^fii^>i+«i->''v+ •■• + «!'< V
(ii,[''\i-r^ii,i''i2-T--- + 'ipJ>in (( p\l>p\^ aptàpi-\- ... -^ apnbpn
en décom])Osant par colonnjos, on trouve (pie D est une somme de déterminants tels que
"i/i, '>ii>^ • ■ ■ n\hi, ''ui^,
«;,/,, hu,^ ■ ■ ■ "ph^, ''php
= l>\ /*, '>ih., ••• t'phjj
(Il h.
flp„,
où /i,, h^, ... ho sont p entiers pris de toutes les façons possibles parmi les nombres } k )i ; et ces entiers sont distincts, car s'il V en avait doux égaux, le dernier déterminant serait nul. Ainsi
(1) D'après Caht», Théorie des Nombres, r. ], 1".U4 j). 15'?.
— llu —
h^, ^3 ... hp forment un des arrmigements p à p des noml)res 1 à ??, et l'on a
L> = - />ln^ hth.,^ ... hpUj,
Ou,.
• ((ih.
Cph,
le signe sommatoire s'étendant à tous les arrangements. Appelons k^. k^ ... kp les nombres h^ h, ... h,, ranii»'s par ordre de grandeur croissante :
Clp,^
. ^i/,j A^A, ... bph^, . (— \)\
V étant le nombre d'inversions de la suite hy...hp. Dans cette somme, les termes })0ur lesquels les k ont la môme valeur et diiiérent seulement ])ar l'ordre, ont pour facteur commun un déterminant que nous désignons en abrégé par sa diagonale principale, (r'i ^.^ ...âpi,): ce facteur se met en évidence et se trouve multiplié par ï bi /,^ ... h^,,,^^ (— 1)'. ce qui est le détei minant analogue en 0 ; ainsi
le signe sommatoire s'étendant à toutes les combinaisons p à p des chiffres I à n ; c. q. f. d.
