IH

Reprenons le problème : si M est nu]le,.les 4 déterminants

le sont. Réciproquement, si les deux, premiers s'évanouissent, il: V a une même relation linéaire entre :

les éléments des colonnes 1, 2, 3 de M et les éléments des colonnes- 1, 2, 4 de M,

donc, ou bien une même relation linéaire entre les éléments des colonnes 1, 2, 3, 4 et Af == 0 ;

ou bien plus d'une relation linéaire entre les éléments descolonnes 1, 2 et alors

il "^ "■' '■ éii = '' Aj /^

Ainsi le système

équivaut a

Or les deux premières «''quations sont celles de deux cubiquesjjlanes qui ont neuf points communs ; un nombre ;j.3 inconnu de ces points annule M, un nombre \)..^ annule m, et l'on a

pareillement

et ;->-i est le'nombre de ])oints qui annulent CyCin^. ou ;a^ = 1..

Donc

Cette formule est valable pour le cas le plus général, car. on peut supposer les droites a.^, h^, c.^ sans point commun. Alors on peut disposer des droites «3, b-^, Cg, a^, 1)^,0^, de façon que pour les trois points \'..y, le déterminant \ a^ a^ (li i prenne des valeurs assignées [non nulles. Généralement donc les points [i..^ ne coïncident pas avec des points [x.^. Toutefois dans des cas exceptionnels, des points annulant une matrice peuvent venir iv^

coïncider, ou <"'tre en nombre infini sur une ou j)lusieurs lignes. (i) Pour une matrice à / lignes et ^ -|- 1 colonnes on a la formule

qui s'établit par induction complète on utilisani l'identité

,^ Ul+}) (^+1) (1 + 2) 2 ■•*

c'est une formule de sommation de l^ — (/ — 1)- -j- (^ — 2)- — {l — 3)- -{-...; elle est remarquable en ce sens que la suite finit par + r- ou par — 1- suivant la parité de l, et néanmoins la somme est la même dans les deux cas. '-)

10. Il n'est pas nécessaire «pie tous les éléments de la matrice M soient linéaires en ./"i, x.^, .v.^ pour que l'on puisse traiter la question ci-dessus. Mais ils doivent être de degré tel que les déterminants extraits de la matrice soient «les fonctions homogènes de œ^, x^, ôc^. Or on vérifie que ce cas se présente quand les éléments de M sont de degré m -\- ph, l'indice i gardant la même valeur dans chaque ligne, et k la môme valeur dans chaque colonne ; alors tout déterminant extrait de M par sup]jression d'une colonne est homogène et de dogré

^Zn 4- ^p — pk.

(1) Pour plus amples Jéraiis, voir uos ('l/,q Etud-^s de Géom. anal, p 5 et suiv.

2) On la démontre aussi en groupann les ternies par <leux ; la suite commenL-e alors par ^^ — Z — 1)2 c'est-à-diie l + il — l), puis (Z — 2,^ — (/3;3..-, ,7— 2) + (/ — 3;,... et finit par 1- = 1 ou par 2-' — 1^ = 2 + 1. On peut déduire de là une formule analogue : puisque

Z i/ -f 1) .2/ + 1) r: -^ {l — li3 4- (/ 2 ^ + ... = -. — ~

et que f^ - i — l;--2 + / - 2;-2 — ... -= -,

on a, par soustraction et en divisant par 2,

Z (Z + 1) (/ + 2) pareillement l'^ -^ [l — 2r + •■■ = -.

>h + Pi

"l 1 Pi

71, + Pi

^^3 + Pi

«3 1 Ih

Par exemple, chaque élément étam di-signé par son dcgnv on a

'^i + Ih ^1 + Pi ]• n-j. + }h n-i -h Pi.

^h + P:^ ^'':. -T Pi

Dans ce cas le nombre des poinis qui annulent une matrice à / lignes et / -}- 1 colonne est donné par la formule

à cause de l'usage qui sera fait de cette formule dans des chapitres ultérieurs, nous reproduisons ici la démonstration de nos Cinq Etudes. Nous supposons la formule démontrée pour une matrice à l lignes et / + 1 colonnes et nous adjoignons deux lignes de formes d'ordres A' ^-j^A et A^' +p/< (/i = 1, •^, ..., /-f-l)- Soient ;j.i le nombre de points annulant cette nouvelle matrice et [t. le nombre correspondant à la matrice initiale à / lignes et Z-]- 1 colonnes. On aura, comme plus haut.

;x, -f- a = [In + !•/. + N) [In + ï;> + A^''

d'oïl

.., = (ï;. + 1,. + A') (Ï//.4- '-P ^ X') - ^^'i -, lu' — Ip 1,, — lp,p,.

et, après quelques calculs,

,;., = !>.;>, + ïp^ + ly> C-n + A'+ A^') + 1^, n, +

(A— iV) !■>/ + XX'-

résultat conforme à la formule qui donne ;j., sauf, comme on devait le prévoir, que les rôles des p et des ri sont intervertis. Supj)Osons à présent que les éléments soient des formes quaternaires, homogènes en œ^, œ.^, cc.^, .r^. En y joignant a:^ = ^or;^-\-{jX.i-\-'i'J^s, c'est-à-dire l'équation d'un plan, on trouve, comme ci-dessus, a points. Donc l'évanouissement de M représente en général une infinité simple de poinis, telle qu'il yen a ;j. dans tout plan, donc M = 0 repi^ésenle une courbe gauche d'ordre ;a.

On peut aussi trouver le getue de cette courbe en fonction des n et des p, la formule est compliquée, (l)

Si les variables sont des coordonnées langcntiellcs, J/ = () représente une développable déclasse a.

1 1 . Reprenons la mati'ice à éléments linéaires en x^, .r.,, JC-^,x^,

Il <'i "i "^ "i il .17 p l'y b.^ h.^ Aj ||

et cherchons combien de points annulent cette matrice et en même temps la matrice partielle

Il «-1 'i \\

c'est-à-dire cherchons le nombre des intersections d'une courbe M du sixième ordre et d'une courbe m du troisième, tracées sur une même surface cubi(iue

Appelons y.,, ce nombre do points. Les points communs à m et à M, le sont aussi à

),l =^ {\ et I (It^ ":^ ((i 1 = 0,

et ces derniers sont au noml)re de :> X -^ = "-'•

Réciproquement, pour ciiacun des points communs à la courbe m et à la surface | a.^^ k.^ <( ^ | = 0, il y a :

un faisceau de relations linéaires entre les éléments des colonnes 1 et 2 de M,

et une relation linéaire entre les éléments des colonnes 1, 3, 1 de M.

(1) Pour liiiléiiionstratioii, vo'ii- Cou/ h'iuries. G. Z. Giainbelli nous avait écrit (lu'il avait trouvé cette formule, sans nous la comiiuini(|uer ; nous lui avons envoyé notre résultat: il a reconnu ijue nous étions parvenu sasis secours, mais la priorité lui appartient.

Si un ])oinc est un point swwle sur chacune des variétés annulant les éléments de la matrice, il est multiple d'ordre [i. pour la matrice (démonstration comme plus haut).

( )r, ou bien cette dernière relation linéaire api)artient au faisceau en question, et alors il v a une même relation linéaire entre les éléments des colonnes 1,2,3,4, c'est-à-dire que il/ = 0;

ou bien les éléments de la colonne 1 ont plus qu'un faisceau de relations linéaires (par ex. rr/^-l- sOi-\- tc\-^0, rVcj 4s'ùi -j- Ccj^ = (t et une troisième r'V/j -j- s'b^ -\- i"c\ = 0- qui ne se tire pas par combinaison linéaire des autres, de sorte que \ r s ( \ = 0) et alors «j = b^^ Cy = 0, ce qui arrive pour un seul ])oint. Ainsi

< >n étend au cas de l lignes et / -j- 1 colonnes, et l'on a

'•'l — l étant ie nombre de ])oints qui annulent une matrice de formes linéaires quaternaires à ^ — 2 colonnes et / lignes, c'està-dire deux colonnes en plus que de lignes.

12. Prenons par exemple une matrice de quinze formes linéaires en x^, x.^, ^3. •'i"i,

fi^ ((., a.^ (I ^ (1; ! N - h, Ik, />,, ]>, A, . Cl c, a, (\ Cr, j

Elle s'annule pour un nombre généralement fini 7.^ de points ; ceux-ci annulent aussi

(1) I ^'1 a., a. I et a^ ".^ a., «^

Réciproquemeni. jjour tout point qui annule cette dernière matrice et ce déterminant, il v a

une relation linéaire pour les colonnes 1. 2, r, une » Il » » " 1. 2, 3, 4,

donc, ou bien une relation linéaire pour 1rs colonnes 1, 2, 3, 4, .^ et alors A'== 0,

ou bien une infinité de relations pour les colonnes 1,2.

Donc des points annulant les expressions (1) et qui sont en nombre 3 x ^^ d fî^»>t défalquer ceux qui annulent

•or tous ceux qui uniuilent //i, annulent | a^ /'., (i-^ j, mais quel- •ques-uns seulement annulent i «^ r/j a^ a^ \ et ceux-là seuls sont ■ à défalquer. Leur nombre est, d'après un résultat précédent, U.23 = s : ainsi

V;, = •! X <i — y-i, = 10, ■et d'une manière générale,

Remplaçons ici \i-ii Y)i i)ar l'expression trouvée précédemmont : il vient

■c'est une formule de réduction pour 7/ : elle donne

( )ii a une formule de réduction tout aussi facile pour ;j.^ (/ -f i),

iii + \y {i-iYi .

Des formules analogues se trouvent pour ces nombres quand les éléments des matrices sont d'ordre >u -\- ])k. La méthode est la même et la généralité des formules s'établit j)ar induction ■(complète (voir Ci)îg Eludes).