Comme application, considérons le polynôme
que nous écrivons en abrégea*-, et considérons de même les polynômes (coniques) analogues bx-, Cx" . Ecrivons aussi ax ay pour
alors le déterminant
Clx*
bx'
Clx ay bx by
ar b.^
Cx Cv
Cy'
est le produit par lignes des deux matrices suivantes
'^ll '^13 ^22 ^n ^^23 ^^33
^11 ^hî ^>2-î ^13 ^33 ^^33
''il ^!3 ^'12 l:< 23 33
.Tj» 2 a;i a?2 ■^2' '-' -'^1 -^'3 ~ "^3 ^-^ '^3'
c'est donc la somme des produits des déterminants tels que (<^ii ^12^22) extraits de la première par les déterminants analogues {pc^ œ^ y-i + oc-i i/i y./j de la seconde, ces derniers ont été calculés quelques pages plus liaul en fonctions des quantités
Ui = ^2 Vi ~ ^3 i/2. ^h ^ -^'i .'/i ~ •'"! //*■ '^i ^ -^i .'/.' ~ •''- .'/i ' voici le résultat :
(«23 ^33 C:«) ^1' + C«33 -^31 ^ll) "2' + («U ^1» ^22) « + [4 («12 ^^23 <?3l) - i^U ^32 ^33)] «1 W2 W3
— [2 («33 ^13 C,l) + («33 ^13 Cil)] ^Ç- "3 + [2 («33 f^U Cil) + («33 ^13 On)] ^h ^3
— [2 (rtj, /^i. 6-22) + («n <^33 C22)] W3- U, 4- [2 («1;, ^>23 C22) + («33 ^^2 ^33)] W3 î<i
Le déterminant considéré s'annule quand la droite joignant les ])0ints x et y est coupée par les trois coniques données cix', Ox'\ Cx' en trois couples d'une involution; ou encore quand il existe une conique /ax''^ -\- mbx- -\- ncx- qui contient trois points de cette droite; l'expression ci-dessus égalée à zéro est donc l'équation tangentielle de la' Cayleyenne du réseau do coniques, (i'
73. La multiplication jj(ir lignes doit être abandonnée quand on fait le calcul abstrait des matrices. Car on fait ce calcul d'abord et surtout pour étudier algébriquement les transformations linéaires, par exemple
OU en' abrégé
(1) Cf. G. Salmon, Sections coniques, p. 021. Alg. supéi, p. 207.
Cette transformation (définissant une collinéation ou une corrélation, suivant que les variables y et ; sont cogrédientes ou contragrédientes) est complètement déterminée par le tableau
^hl
où les élémentsdemeurent à la même place. Deux transformationsne sont identiques que si les uialrices sont égales, élément à élément. Sans doute cette transformation a un module (déterminant), et celui-ci demeure inaltéré si l'on change par exemple les lignes en colonnes ; mais cela veut dire seulement que des transformations (donc des matrices) diflérentes peuvent être de même déterminant.
L'égalité, l'addition, la soustraction des matrices se faisant élément à élément, l'addition est commutative et associative; et la seule matrice nulle est celle qui a tous ses éh'ments nuls.
On appelle produit de deux transformations le résultat de
leur application successive : par exemple, la transformation
ci-dessus
Zi = ï Uiuyk
étant désignée par l\ soit une autre transformation F,
Vl = ^'U ^1 4- ^^2 ^'^2 4- ^13 •'^S.
OU en général
La transformation produit UV s'exprime par la relation
2] = Wu { '"il -^J + ''-VI 'Cl — '■ ,3 •'-'a) -f " 1 ■ (^'21 -'''i + '-n -^.i + ^1% ^3) -i-
et deux analogues. En développant, on trouva -1 = ("11 ^*n + «i-i V-ix + '^13 ^'31) -^1 + («11 ''vi + "12 ^'2i + "u ^-'32) ^%
etc.; la matrice des coefficients de UV,
^11^11 + Uy.,V..^ + Wi.5Î?:„ Wa"l2 + 'h'?^-ll + ^h->P.M '^U^'l3 + «IJ^il? + «13^33 «2l''ll + « 2Î"2l + «23^31 «2l^'l» + "i2'".'i "f ^^23*^32 '^il'^^î + «22^^23 + «23^33
«3i'-ii 4- «33'-^2' + «fii'-'-n "n'-'i ' + "'!-•'■-■ • + ''ii'"«i "'l'-n 4" "32^23 + «33^31
se déduit dos matrices de U et V par une règle analogue à la multiplication ordinaire des déterminants, mais avec cette modification remarquable que l'on compose les lignes de la première arec les colonnes de la seconde. La formule
générale est
le premier indice de v est égal au second indice de u. L'élément commun à la ligne i et à la colonne./ de la matrice produit est
- Uik Vf,, k
Multiplions encore par une troisième matrice carrée W ; -l'élément commun à la ligne i et à la colonne l du nouveau produit est
(- a.ii^Vhi) iCii + (ï Un.rkt) "'>i + ...
Ji k
-■ Ui iVii"'u + UiiVni'hi + •■• + UiiVi'iV-ii + lUrViiWu -\- .
ce qui établit la propriété associative
{UV) W ^ V{V W)
l)0ur la multiplication nouvellement définie (lignes par colonnes). Cette propriété n'appartient pas à la multiplication par lignes, l)ar exemple le produit ^Mr lignes
I «i a\ -\- a., a\, n^ b\ -f- a , //., I h,a\ + b':a'l b,b\-{-blb':,
a pour premier élément a^ a\ a'\ -j- cl.^ a'a a'\ -\- a^ b\ a".^ -\- «3 b'2 ^"2 ; tandis que le produit par lignes suivant
a, rto ! I ^^'1 <^"i ~h ('■'■> ^'2
a pour premier élément aya\a.'\-^ a^a'-^a''-^-^- a.ia\b'\-{a^ a'2 ^"3 ; ainsi le premier éh-ment est distinct dans les deux produits; sans doute les matrices obtenues par les deux méthodes sont de même déterminant-; mais, au jjoint de vue du calcul
abstrait, ce n'est pas la même matrice. Or la propriété associative est importante, notamment pour les rapports avec la Tiotion de groupe ; c'est une nouvelle raison d'adopter la multiplication lignes par colonnes.
Au point de vue du calcul abstrait, ni l'une ni l'autre des deux multiplications n'est commutative, en général, par exemple
par lignes
lignes
par
colonnes
bl b',
a\ rci 4- a'., b^ b\a, + b'lb.
b, b\ + b, b' b, a\ -f b., a'i fh à\ + ^2 ^'3 ai ft'2 4- «2 ^'3 b, a', + à, ^^'3 a\ rt.j -1- rr/3 b.j b\ a\ -|- ^3" ^'a
les seconds membres sont chaque fois des matrices distinctes, bien que de même déterminant.
Le produit (lignes par colonnes) de deux matrices carrées répond, par définition, au produit des transformations linéaires correspondantes L\ V. La matrice unitaire sera donc celle qui multipliée, à droite ou à gauche, par une matrice donnée, ne la modifie pas. La matrice unitaire répond ainsi à la substitution identique; ses éléments sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont tous égaux à 1; son produit par une autre matrice est toujours commutatif.
Si A est une matrice carrée, à déterminant non nul, il existe toujours une matrice réciproque, A- ' telle que AA~^ = A -^ A = la matrice unitaire; savoir celle qui répond à la transformation inverse de la transformation A, puisque le produit de deux transformations inverses est la transformation identique.
La muliipiication (lignes par colonnes) de deux matrices n'étant pas commutative, il y a deux sortes de divisions, caractérisées par les formules
