AX = B, X A = B
si A est à déterminant non nul les deux opérations sont toujours possildes et univoques : elles ont respectivement pour solutions A-^ B et ^A-'. (D
(1) Pour plus de détails, v. F. Cecloni, Sopra alcuue operazioni algebriche suUe matrichi, Pise, 1909.
74. Nous avons dit que l'on fait le calcul abstrait des matrices, d'abord pour étudier la transformation linéaire. On doit le faire aussi pour la théorie de la forme bilinéaire.
«ii;ï^i Vi + (HiOCi iji + ... 4- ciAn .ri y,, -|- finX' yi -\- a.iiXi y> -\- ... + n=>„ x^, y„
— (— (Inn X)t y,} ,
en abr('gé
II
géométriquement, / =■ 0 définit une corrélation ou une collinéation, suivant que les x et les y sont cogrédients (car à un point y répond un liyperplan "^m.x^), ou contragrédients {ceci est un cas particulier des connexes).
Dans ce dernier cas, on peut donc déduire, de / = 0, une substitution linéaire,
*/ = "ayi + aayî -f ... a,„ y,,
et l'on est amené à définir un produit symbolique de formes bilinéaires : soit en effet une seconde forme
ik
à laquelle répond la substitution définie par la matrice carrée
bn h,i ... hin
le produit ou application successive de ces 2 substitutions en donne une troisième, à laquelle répond la forme l)ilinéaire
ij k ■' ^
la mulliplicatiou des matrices se fait de nouveau lignes i)ar -colonnes.
Enfin pour pouvoir étendre cette multiplication, lignes par colonnes, de deux matrices carrées, à des matrices rectangulaires, il faut et il suffit que la première des deux matrices ait autant de colonnes que la seconde de lignes : soient
au , i = l,-2 ...m
alors le produit de la première par la seconde est
AB = ^{a,jJ>f,j) {i = \,2...m, y = 1.2...p)
la matrice produit a autant de lignes (m) que le multiplicande et autant de colonnes [p) que le multiplicateur. Dans l'expression de AB on remarque le second indice de a égal au premier indice de b.
On peut même étendre cette multi])lication au cas où le nombre de colonnes de A diftère de celui des lignes de 5 : il suffit de suppléer à l'une des matrices par des rangées d'éléments nuls.
Comme on l'a vu plus haut, cette multiplication -est associative.
75. Donnons maintenant quelques exemples de matrices invariantes. Le plus simple est fourni par le discriminant de la forme quadratique
la substitution des variables étant
la transformation des coefficients s'écrit symboliquement
^ji = (>-i «1 + !^i «2) O'i «1 + H-i nta), (Xj «1 -f fxj a^) {\ «j -I- JJ.2 a,),
et l'on a
^22 = (^2 «1 -r !^2 <^'-i) ih «1 + f^2 «2) ;
^u Al, A 12 Azi
^i («11 >u + «12 M-i) -f- !^i {au h 4- «2-2 H-i)
>1 («11 X2 -|- «12 IJ-2) -|- !^i («12 >■> + «22 JJ-Z)
^2 («11 h + Û^l? Fl) + H-2 («12 '^l -f «22 M-l) À2 («11 ^2 -j- «12 H-2) -f- ^^2 («12 >^2 "]- «22 l^-s)
ceci est égal au produit symbolique (lignes par colonnes)
et peut se mettre encore sous la forme,
«11 Xl + '^'12 IH «12 Xl -f- «22 !J-1 «11 X2 4" «12 [J-> «12 X2 -j- «22 ,"-2
comme conséquence très particulière, ()n a le fait bien connu que le déterminant An An — ^12" est le produit de «n «22 — «12'^
An 1Bn
par le carré de (>] i-»-,, — "^2 :^-i )• Le point de vue actuel est cependant tout autre : on considère la relation symbolique entre
la matrice
ffii an ! ^ ttiî (la
la matrice transformée et la matrice des coefficients de la substitution, parce que cette relation pourra s'étendre à des matrices rectangulaires.
Considérons en elfet deux formes quadratiques,
aniVi- + "in^iXi Xi -\- an Xi',
en appelant A^^,2 A^.^, A.i^^,B^y,2 By,,B.,.^, les coefficients des formes transformées, on trouve
An An B12 Bn H
Xr «11 + 2 >i [H an + :h' <^iiï '1 '^2 «11 + (^^i ^i + '2 P-i) ^12 + !-^i H-2 an h" ^11+ 2 'i î-'-i àn-\- ;m- ^^22 >i h fhi -j- (Ai [j-î + h [m) àn-\- \>i 1^2 ^n
À2- dix -\- 2 It 1^2 an-\- 1^2' ctn V" ^^11 ~h 2 '2 \*-î b\2 -\- [H^ bit
ceci est le produit (lignes par colonnes) :
«12 bn
du bz2
-'îiii (>i«i
le déterminant de cette dernière matrice vaut (/^ [j.^ — ).j jaj )\ comme nous le savons par un tbéorème antérieur. Soit ensuite une forme cubique,
«111 ^1' -f 3 «112 ^1^ 072 -f SamXyXz^ -{- a-22ix-^,
on aura symboliquement
A\\i An*
Ant A222
(>-i «1 + 1^1 azY (>!«! + v-iaîYihai -f v^a^ {hai + !^i«2) (^^«i + !^-'«2)'
4- Fi«2)'(>-2ai 4- 1^2«2) (>i«i 4- V-iaî) (hai -j- v -r??)- {h «i + f^z «2)^
«1 (>^iai + [^id'Y «1 ^>>i«i + v-i'^(i) ('-2«i + :'-«2) «1 (>-2ai + i^ï^s)'
«2 (hai -\- ^^2)= «2 (>l«l + l'iai) (>.«! + !J-2«2) «2 (>^2«l + V-2C(^Y
am
«II
Pour trois formes cubiques a^^, bx^, c.v^, on a de même
ail
(Xj cty + ui a^Y (>i «1 + !^i r/.)HÀ, «1 + !^.3 «3) {\ b^ -f M-i b.,Y i\ b, + ^1 O^fCh b^ + a^ 6a)
Ql Cl + M-i C,,)^ {\ Cl 4- ui C2)2(X2 Cj + a, C.)
c'est le produit (lignes par colonnes)
3 X, [Ai^ u.i2 X2 -|- 2 Xj |Aj !J.,
le déterminant de cette dernière matrice vaut (À, a^ — Xj rx^ )6. Traitons encore l'exemple d'une forme quitiiique aaf'; elle possède deux matrices invariantes analogues à celle de la forme cubique vue plus haut. Pour la première la transformée est symboliquement
ce qui est le produit (lignes par colonnes)
3 Xi- ^^ 2 Xj X^ aj + ).i- 1^2 2 X, X, {X3 + uj X22 3 X^-^ 1^3
Mi ^
2 li
4 \^ fx,
3 X^ X2 [Xj^ + 3 X,2 ^^ j,^ ().^2 ^^2 J^ X/ [X,^) + 4 X, X2 [X, [X3 - - ^2(^]^ + 3>^l :-<-l- !-^2 2 X^ IXj tX32 -f 2 X2 [X^^ {X3 — —
le déterminant de la matrice écrite en dernier lieu est égal, d'après un résultat antérieur, à (X^ u., — \ u^ y.
Pour la seconde matrice invariante, la transformée est symboliquement,
(Xj ai + fxj a^YiK «1 + fA3 «2* {^1 «1 + !^i «2)^(^2 «] 4- !^2 ^2)* (Xj tti + {X, rt2)^(X2 «1 4- fxj a,)- 1.^1 «1 + !^i a-iYih «1 + :-^2 «2)'
(X^ «1 4- |Xj «2)^r^2 «1 + !^2 «3)' (^1 «1 + î^l «3)'(^2 ^1 4- l>i Û2'' I (Xi «1 -I- |.l, a2)2(X2 fli + H-2 «2)' ('1 «1 -f :^1 «2) (^2 «1 + f^2 «2)' j
(Xj ai + fxi «2) (À2 «1 + 1^2 «2)^ (^2 «! + 5^3 «a)* 1
ceci est le produit (lignes par colonnes), en écrivant a^^ pour ^iiiii< etc..
Ih IH
«j-* (7., rtj3 «2^ rti^ rt./ <7i «2*
3 >.i2 0.1 2 Àj >., a, -1- ).i-^ H-j 2 X, >., u, + l.^ pi,
3 >.i IXy- U.^- X2 + 2 \ [Aj [J.2 :ii Ug^ -f- 2 X2 (J.J {X2
3 \ HjS
Ih \'-2 H 1^2
les matrices en À, ;-». qui jfîgurent dans cette expression ont déjà été rencontrées plus haut.
Ceci se généralise aisément pour toutes les matrices invariantes analogues déduites de formes binaires de degré pair ou impair quelconque, matrices signalées dans notre article de l' Enseignement mathématique, 1910. Elles ont cette propriété remarquable de se reproduire, multipliées symboliquement, à droite et à gauche par une matrice carrée contenant les coefficients de la transformation,
76. Certaines des matrices invariantes considérées ci-dessus donnent facilement des matrices covariantes. Ainsi prenons une forme binaire d'ordre n et désignons par «m, an?, rti-22, am ses dérivées partielles du troisième ordre ; les trois déterminants extraits de la matrice
j| «111 «112 aaz
'. Cliii fllii Cl^2l
sont des formes d'ordre 2(n — 3). Dans le cas de n = 4, ces formes sont quadratiques et définissent chacune un couple de points; comme tout couple de points du support est une combinaison linéaire de trois d'entre eux, on n'obtient qu'un résultat banal. Mais déjà pour n = ô, on aura la représentation de trois quaternes de points, définissant donc uneinvolution du 4*^ ordreet de rang 2. Voici un quaterne de cette involution
