Soit une forme bilinéaire ternaire

rtii ri v/i + «12 J?i y-z + ^is ^1 2/3 + an x> y^ + <^i^. ^2 yi + ^n oci ys. + «yi oci yi + azi x-i yt + axiXz y-i ;

où «,/5 diffère de <r/^, ; à tout point x d'un plan, elle fait correspondre une droite en coordonnées ponctuelles y, dans un autre plan ou dans le même, et à tout point y une droite en x, mais il n'y a pas symétrie ; c'est ce qu'on appelle une coy^rélation entre deux systèmes plans, peut-être superposés. Si un point x et un point y annulent la forme bilinéaire, chacun est sur la droite correspondante de l'autre et on les nomme conjugués ; mais à cause de l'Iiypo thèse que a,^ diftère de aj^i, les rôles ne peuvent être intervertis. Or liuit couples de points conjugués^ définissent la corrélation 1,21, puisqu'ils donnent les rapports mutuels des coefficients a,*, à moins que l'on n'ait

^yf

^?yT

<yf <'yf :..^?3/?

(1) La chose reste encore vraie si les projectivités sont entre éléments a; et 2/ de deux supports distincts, ou d'un même support aux origines différentes ; les variables ne sont pas cogrédi entes -^ soit ).. <j.., — X^ a. le module de la substitution des x, /.'^ jj.', — )/, a'^ celui de la"^subst"itution des y; un calcul tout aussi aisé que celui du texte montre que le déterminant i\ M-3 ~ ^2 !-^i )'' ®^^ ^'^^^ remplacé par (a^ a, — l^ [x^ )2 QJ^ ,j.'., —

(2) Cf. Encycl. des se. math. III 2. p. 34y5.

Si les transformations sont

la matrice considérée est le produit (lignes par colonnes) d'une matrice analogue en A' et Y, par la mati

ix'g

ceci est le module d'une substitution de produit : le lecteur complétera sans peine les colonnes que nous n'avons pas écrites et contrôlera, en appliquant le théorème de Laplace aux trois premières lignes, puis aux trois suivantes, que le déterminant de cette matrice est égal à

Dans le cas particulier où les variables ijc et y sont cogrédientes, c'est-à-dire les systèmes plans superposés et rapportés aux mômes références, ce déterminant devient

Si dans la matrice considérée nous ne mettons que sept lignes, elle est de nouveau le produit (lignes par colonnes) de la matrice transformée par la même matrice carrée en À, [j., v, à', -j.', v' ; son évanouissement exprime les conditions pour que sept couples de points conjugués donnés détermment od^ corrélations, etc.

Dualistiquement, la matrice des coefficients de cinq corrélations, multipliée (lignes par colonnes) par la matrice du déterminant l fi v-z 'U P 1 'U v-'i '''i l^ <lonne la matrice des coefficients transformés. Elle exprime, quand elle s'annule, que cinq corrélations ont autant de couples de points conjugués communs que quatre d'entre elles.

Or on voit facilement que quatre corrélations ont en général

un nombre fini de solutions communes. Ciierchons combien : nous avons la relation

^1 '«11 2/1 -f- «12 y 2 + «13 ^3) + ^2 («21 ?/i + ^2i Vi + «21 2/3) -4- ^^3 («31 ?/i + «32 y-i + «33 .VS^ = ^> -

et trois analogues. D'où, pour l'existence d'un système commun de valeurs de x^, x.y, x^, les conditions nécessaires et suffisantes,

«11 y\ + «i" y 2 + «j:î y. «21 !/i + «22 yi + «23 y^ «31 yi + «32 //2 + «33 y^

d'après un cliapiire an teneur, cette maiiice de douze formes linéaires en y s'annule pour six systèmes de valeurs de i/^. y.^, y.^ Donc quatre corrélations ont généralement six couples de points conjugués communs.

Ce résultat est le même pour quatre polarités; celles-ci sont caractérisées par la convention n,k=nhi\ seulement pour pouvoir parler de polarité relative à une conique, réelle ou idéale, il faut des variables .r, et y, cogrédientes.

Si cinq polarités ont six couples de conjugués communs, la matrice de leurs coefficients s'annule; la matrice transformée est le produit (lignes par colonnes) de la matrice initiale par une matrice dont le déterminant est | À, i-n, v, |^ Dualistiquement, cinq couples de conjugués déterminent une polarité à moins que l'on n'ait

il^'^f ^S"' ?/ï' + 4' yf • • • li = ^> (2:= 1,2,3,4,5);

alors ils déterminent un faisceau de projectivités. Il faudrait examiner toutefois si l'évanouissement de cette matrice n'exige pas que certains des couples coïncident ; or il suffît de se donner, dans un plan, un faisceau effectif et général de coniques, et de prendre cinq points x^"^ non spécialisés (non aux points diagonaux du quadrangle des points de base); chacun de ces points ^r('>est conjugué d'un certain point y relativement au faisceau. Il n'y a pas de difficulté à étendre ceci à des formes bilinéaires, à deux groupes de 4 ou n variables.

80. Etablissons ici un théorème général relatif aux matrices invariantes.

Dans tous les exemples pi'ccédents, on a une matrice qui est égale à une matrice formée d'éléments transformi's, multipliée par une matrice formée de coefficients de la transformation. Prenons un déterminant quelconque de la matrice produit, par exemple, celui qu'on obtient en choisissant les trois lignes /, ;', k et les colonnes i',J',,k' : il est formé de sommes de produits d'éléments pris dans les lignes i,J, k du multiplicande, et dans les colonnes i',J\ k' du multiplicateur; il pout donc être regardé comme le produit jjar lignes de deux matrices, et en vertu du théorème de Cauchy et Binet, il vaut une somme de produits de déterminants extraits de la matrice initiale par des déterminants ne contenant que. les coefficients de la transformation. Si donc, pour fixer les idées, tous les déterminants à trois lignes de la matrice initiale sont nuls, il en est de même de la transformée, et la réciproque est vraie, parce que Ton peut faire la transformation inverse. Si, au contraire, un déterminant à 3 lignes de la matrice transformée ditlère de zéro, tous les déterminants à 3 lignes de l'initiale ne peuvent être nuls, et réciproquement. Bref, les deux matrices sont de mrme rang.

La démonstration demeure la même si c'est la matrice multiplicande qui contient les coefficients de la transformation. Il nous reste à examiner le cas où la matrice initiale est multipliée à gauche et à droite : la multiplication symbolique des matrices étant associative, faisons d'abord le produit des deux premières; chacun des déterminants de ce produit est fonction linéaire de déterminants de la matrice à transformer ; puis, par la seconde multiplication, on obtient des fonctions linéaires de fonctions hnéaires de ces mêmes déterminants.

Ainsi se trouve établi que toutes les matrices qui se transforment par des multiplications symboliques ont la propriél»' d'invariance au sens primitif, c'est-à-dire que, si une propriété s'exprime par le fait que la matrice considérée a un certain rang, la matrice transformée a le môme rang : cette propriété n'est pas troublée par une transformation linéaire.

La, réciproque reste indécise, notamment pai'ce que nous n'avons pas découvert de. multiplication symbolique simple pour les matrices à gradins.

Nous pouvons donc formuler le tln^orème : Est, invarifinte

toute Diab'ice qui, dans une bunistormation linéaire, se reproduit, multipliée symboliquement par une ou plusieurs matrices (à droite oit à gauche) dont les éléments ne dépetident que des coefficients de la tj^ansformatioti.

81. Voici quelques applications. Dans ce qui précède,' nous avons pris uniquement ies formes linéaires et des formes bilinéaires. Il y aura lieu ensuite de considérer d'autres formes, cl l'on verra quelques exem]des dans les cliajjitres ultérieurs du présent travail. Mais auparavant on peut déjà déduire, des r(!sultats obtenus, des conséquences pour l'espace à n dimensions (o pour fixer les idées).

Et d'abord la méthode bien connue de Joachimstal est immédiatement applicable : deux points {œ^^ x.^, ^Pg, x^ ) et d/i' lli- //:h. Ui ) déterminent une droite dont un point variable a pour coordonnées j\ -|- À yi : en substituant dans des relations à quatre variables homogènes, on obtient autant d'équations en À dont les coefficients sont fonctions des x et des y; ces équations ont certaines matrices invariantes qui sont ainsi à deux séries de variables congrédientes x et y, et si ces matrices s'annulent pour deux points .<?,?/, d'après leur mode de formation, elles s'annulent pour tout point de la droite x y. Elles réprésentent, suivant les cas, des complexes, des congruences de droites, des surfaces réi^-lées, ou des ravons en nombre fini. Ce mode de représentation des systèmes de droites nous l'avons indiqué dans un travail antérieur (ii; il admet comme cas particulier le système de coordonnées pliickériennes; nous avons fait voir, en invoquant des théories générales de l'algèbre, que l'on peut toujours ramener au cas particulier, résultat qui, pour les complexes, a déjà été donné par Clebsch. Néanmoins la représentation à deux séries de coordonnées sera plus maniable dans des cas nombreux." Ainsi, pour la surface du cinquième ordre ax'' de l'espace ordinaire, la substitution Joachimstal donne

(1) L'Enseignement mathématique, nnv. 1910

et deux matrices invariantes signalées plus haut donnent

a/' a.x^ ay ax'^ ay" axax* ay ax" a.y- ax^ ay^ ax

ay^ ax a y' ay* ay'

■ ax'' ax*ay ax^ ay~ j ax* ay ax"' ay- ax- ay"' !' ax'^ ay- (ix- a/ ax ay^

ax- ayax ay*

la première s'annule ])Our un nombre fini de rayons, la seconde pour une congruence ; le calcul de l'ordre et de la classe do ces -congruences a été fait. (D