Un autre exemple est fourni par trois couples de

points dans le domaine binaire; nous avons indiqué plus haut les conditions pour (ju'ils cessent de déterminer une projectivité. C'est bien là une question d'algèbre exceptionnelle, généralement omise par les auteurs; à ce titre, nous examinerons d'un peu plus près la matrice correspondante et la congruence de droites qui s'en déduit.

Soient trois points d'un supi)ort unicursal et trois points d'un vautre support ])Ouvant coïncider avec le premier (on pourrait parler de rayons ou de plans de faisceaux) ; les trois premiers points auront pour arguments ou coordonnées projectives à, k', k", leurs associés l, l', l" ; et les trois couples définissent «ne projectivité, à moins que l'on n'ait

Soustrayons, des colonnes 1,2, respectivement les colonnes 3, 4 multipliées par k :

Kl'

(1) Cf. L'Enseignement math., 1910, où se trouvent aussi des interprétations géométriques et algébriques; pour les questions oii figurent des surfaces réglées, le calcul de l'ordre de la surface est fait dans notre mémoire couronné de 1913: pour les nombres finis de rayons, le calcul n'a pas été fait.

le déterminant des colonnes 1, 2, 4 devant être nul, on a

et l'une des parenthèses doit être nulle.

Supposons par exemple k' = II; le déterminant des colonnes 2, 3, 4, donne (/^'' — k) [l — V) = 0, donc on doit avoir l'une des deux alternatives

et ceci suffit, car alors la matrice initiale est visiblement nulle.

Ainsi, pour que trois couples d'éléments cessent <ie déterminer une projectivité, il faut et il suffit, ou bien que les trois couples aient un éL'ment commun, ou bien que deux couples coïncident, en sorte qu'il n'y ait plus en somme que deux couples donnés.

Ce théorème se démontre aisément par une construction r d'abord on peut, sans nuire à la généralité, supposer les points K, K', K" et L, L', L" sur deux supports rectilignes distincts: on projette alors, d'un centre -S, les points L, L', L" sur un troisième support issu de K, aux points K, M', M"; alors si K' M' et K" M'' se coupent en un seul point 0, le problème est résolu, même si le point O est sur un des deux droites. K K", KM'', car alors on a une projectivité dégénérée, mais unique. Mais si les droites K' M', K'' M" coïncident ou si l'une d'elles est indéterminée, il y a co projectivités : onconstate, à l'examen de la figure, que ceci arrive quand K, K', K" ou L, L', L" sont confondus, ou quand K' coïncide avec L' et K" avec L", etc.

Soient à présent deux trièdres à faces associées. Une droite coupe ces faces en six points et, pour que ces points définissent oo projectivités, il faut et il suffit, d'après ce qui précède, que la droite en question passe par un des sommets des trièdres, oni rencontre deux arêtes homologues. Soient

les équations des faces du premier trièdre,

celles du second. Si une droite joint le point ,c au point ?/, elle perce la face a en un point œ -\- ky tel que

^x + ky = (^x + ^(fy = 0.

on détermine de même k', k", l, l\ l'\ et finalement

- Il CLx hx ax by ay bx ay by

! a'x b'x a'x b\ a' y b'x a' y h' y = 0 Il a"xb"x a\b"y a"yb'\x a"y b"y

représente deux congruences d'ordre 1 et classe 0 plus trois congruences d'ordre et classe 1. Toutefois, si ^ et y sont dans un des plans a, a', a", b, b', b'', la matrice s'annule visiblement ; on a donc encore six congruences d'ordre 0 et classe 1, étrangères au problème géométrique d'où nous sommes parti. D'autre part si l'on applique, à cette dernière matrice, les procédés d'énumération que nous avons exposés ailleurs (l), on trouve que la congruence totale est d'ordre 5 et de classe 9, et ceci peut servir de vérification.

Cette décomposition en plusieurs congruences très simples enlève à la congruence (5, 9) tout intérêt intrinsèque; mais la congruence se présente comme résultat dans d'autres recherches, et puis elle se prête à des généralisations intéressantes.

Tout d'abord, si au lieu de trois lignes, on en prend quatre, on a un déterminant à deux séries de variables x et y, s'annulant pour un complexe de droites.

Ce complexe est le lieu des rayons qui sont coupés par deux quaternes de plans suivant deux quaternes projectifs de points.

Ce complexe a été étudié notamment par J. Neuberg; nous l'examinerons en faisant l'hypothèse que les deux groupes de plans forment deux tétraèdres, et nous prendrons l'un d'eux (b) pour tétraèdre de référence :

Si œ est un point fixe, l'équation est du quatrième degré en y et représente le cône du complexe de sommet x; ainsi le complexe est du quatrième ordre. Il contient, d'après ce qui

Xi ax

Vx rt-v

Xi av

Vldy

Ui a'x

Vi a'y

Ih a"x

(1,1 L'Enseignement mathématique. 1910.

précède, les congruences (5, 3) obtenues en supprimant une ligne du déterminant, donc toutes les droites qui passent par un sommet d'un des tétraèdres, et dualistiquement toutes ceiles qui sont dans une des huit faces, puis toutes celles qui rencontrent deux arêtes homologues; ces dernière forment six congruences (1, 1) et se correspondent à elles-mêmes par dualité.

Du point fixe co on peut mener huit rayons aux sommets des tétraèdres et six rencontrant deux arêtes homologues, soit un total de 14 rayons ; en général, par 14 rayons il passe un cône du 4® ordre et uin seul, mais il n'est pas certain que ce soit le cas pour les 14 rayons actuels, dont la distribution est spéciale.

Au lieu d'examiner cette question, nous allons chercher d'autres rayons sur le cône du complexe. Soient B B' B" B'" le tétraèdre de référence, A A' A" A'" l'autre tétraèdre. Le cône du complexe ayant son sommet en x est percé par la droite B'' B'" (Xi = Xo = 0) en quatre points dont trois nous sont connus, savoir B'', B'" et le point d'appui du rayon mené de œ sur B" B' et A" A"'. Pour trouver le quatrième point, remplaçons les coordonnées 2/1,2/2.^3-^4 P^'" 0, 0, 2/3, t/^ et nous obtenons après un petit calcul,

.Ti Xi {ax a'y — ctx a'y) 2/3 ?/i {a"x a'" y — a'\- a"y) =- 0 ;

cette relation est satisfaite pour 1/3 = 0 ou y^ = 0 ce qui répond à B'" ou B'\ puis pour cix a'y = dx ciy ce qui répond à la droite issue de x et s'appuyant sur B" B'" et A" A"\ enfin pour a"xa"'y= a"'xa"y ce qui répond à la droite issue de x et s'appuyant sur B' B'" et A A'. Donc le complexe contient encore tous les rayons qui s'appuient sur une arête d'un des tétraèdres et sur l'arête opposée à l'arête homologue dans l'autre tétraèdre.

Ceci se contrôle par la géométrie : si l'on a, sur un rayon, des points K, K\ K\ K'" et L, L', L", L'" dont K et K" sont confondus, ainsi que L"et L"', on a une projeciivité (dégénérée: tout point de la première ponctuelle répond à L" ^ L'" et tout point de la seconde à A' ^ À")

Nous connaissons désormais, sur chaque cône du complexe, vingt rayons, donc assurément plus qu'il n'en faut pour déterminer un cône du quatrième degré. On rendra leur arrangement plus facile â saisir en coupant par un plan : on voit alors deux quadrangles associés 1,2,3,4 et 1', 2', 3', 4'; on

■doit prendre l'intersection de chaque côté de l'un avec le côté associé de l'autre et avec le côté opposé à co dernier ; aux huit points donnés viennent s'en joindre 12; ces 20 points sont sur une même courbe du quatrième ordre.

Si le sommet x du cône est dans le plan Xy^ = 0, l'équation du cône se décompose en un plan y^ (ce qu'on savait) et un cône cubique dont les points de percée avec S" 5'" se trouvent comme plus haut; mais on constate aisément que ^j ^= 0 ni y^ = 0 ne vérifient l'équation du cône cubique. Au reste, dans la section plane figurée plus haut, les droites 2' 3', 3' 4', 4' 2' par exemple se confondent : outre cette droite qui contient neuf des vingt points, on a une courbe cubique passant par les onze points restants. Par suite on peut énoncer ce résultat : si trois rayons d'un faisceau sont associés aux couples de côtés opposés d'un quadrangle complet, ils les coupent en six points d'une cubique passant par les sommets du faisceau et du quadrangle.

83. Si dans le problème précédent, on considère, non pas quatre, mais cinq couples de plans, on a une matrice à 4 colonnes •et 5 lignes représentant la congruence lieu des droites qui sont coupées par deux groupes de 5 plans suivant des groupes do points projectifs. Les droites des dix plans n'en font plus toutes partie; et cette congruence, commune à deux complexes du 4^ ordre, d'où il faut défalquer une congruence (5, 9) est donc d'ordre 11 et de classe 7.

S'il y a 6 couples de plans, on a une matrice à 4 colonnes et 6 lignes représentant une surface réglée, lieu des droites coupées par deux groupes de 6 plans en des groupes projectifs de points; le calcul de l'ordre de cette surface ne peut trouver place ici. S'il y a 7 couples de plans, on n'a plus que la représentation d'un nombre fini de rayons.

Comme exemple de généralisation, on peut citer la matrice

'Il ax hx Cx ax hx Cy ax hy Cx CCy bx Cx ax by Cy ay bx Cy ay by Cx ay by Cy

où des homographies du troisième ordre et de second rang remplacent les homographies quadratiques ou projectivités des pages ci-dessus.