CHAPITRE VIII

Systèmes doublement et triplement

infinis de courbes planes

et de surfaces.

84. Le premier objet de ce chapitre (D est une question? d'invariantologie de quatre coniques d'un même plan, et, malgré l'apparence géométrique, le problème traité est de l'algèbre pure.

Le nombre considérable et discordant de formes invariantes trouvé pour trois coniques n'est pas bien engageant pour passer à quatre courbes. D'ailleurs la connaissance d'invariantspour un système de formes n'a pas, en soi, tant d'intérêt;, il en est autrement quand on interprète analytiquement ou géométriquement l'annulation d'un invariant, c'est-à-dire quand on examine quelle exception au système le plus général constitue l'évanouissement d'une forme invariante 7, ou encore quelle limitation la relation 7 = 0 apporte à la variabilité des 4 séries de 6 coefficients homogènes des coniques.

Au lieu de s'occuper des invariants 7, on peut se proposer, comme recherche parallèle ou préalable, l'étude des systèmes^ exceptionnels, soit que l'on trouve ultérieurement, ou non, les invariants correspondants.

Or, une situation exceptionnelle est celle où les quatre coniques passent par un même point, mais elle implique deux conditions, et l'on doit s'attendre à en trouver de plus simples.

Voici une façon de découvrir des exceptions au système de quatre coniques : on résout un certain problème pour le systèmele plus général et l'on examine dans quelles circonstances la solution tombe en défaut.

(1) Nous avons publié une partie de ce chapitre dans les Bull Acad. Belgique, avril 1919.

Les polynômes considérés pourraient être à plus de deux •variables indépendantes et d'un degré quelconque; si, pour •commencer, nous nous renfermons dans un champ restreint, ■c'est que la question présente, à notre avis, assez de difficulté et de nouveauté pour justifier un examen.

Voici cette question : si l'on a un système linéaire de oo3 courbes planes, et qu'on prenne un point arbitraire du plan, il passe, par ce point, un réseau de ces courbes ; il y a exception seulement quand le point choisi appartient à toutes les courbes du système. Mais en prenant deux points, on détermine un faisceau et les auteurs (i) ne font pas assez observer que le fait peut présenter des exceptions.

Par exemple les cercles d'un système linéaire de oc^ coniques forment un faisceau, mais ceci est vrai seulement dans le cas général, car il suffit de se donner un réseau de cercles et d'y adjoindre une quatrième conique pour réaliser une exception.

Ainsi le problème posé est le suivant : dans un système linéaire triplement infini de courbes planes, quand deux jjoints cessent-ils de définir u?i faisceau j^our définir un 7^éseau?

On verra, par l'exemple des coniques, que ces couples de poijits neutres sont en nombre simplement infini; leur ensemble est une courbe ou un système de lignes; et c'est donc le lieu des couples de points de base des réseaux du système. (2)

En étudiant ce lieu, nous donnerons une représentation canonique nouvelle des systèmes de oo^ coniques, et une classification des dégénérescences, avec les formes invariantes correspondantes; nous préciserons aussi la question de la réalité des éléments et les liens de cette théorie avec les transformations Cremona biquadratiques et avec la surface de Sieiner. Nous aurons besoin des coniques dégénérées du système; leur étude a été faite déjà, mais encore une fois dans le cas général; par contre, les auteurs qui ont exposé le problème correspondant pour la surface de Steineront vu les exceptions; toutefois, il y a lieu de préciser un de leurs résultats. Nous compléterons ce

(1) Cf. Encyc. des se math. III, 18, no 39.

(2) Le problème est résolu (Cf. E. Pascal, Repertorium, 2e édit. p. 338 •et 341) mais ce sont les exceptions qu'il faut obtenir.

cliapitre par quelques développements analogues relatifs aux: réseaux de coniques, etc.