Cherclions d'abord les coniques dégénérées du

système oo^. Toute droite u fait partie d'une telle courbe dégénérée, car trois points de w déterminent une conique du système ; la droite v qui complète la courbe dégénérée répond à u dansune transformation évidemment unidéterminative et réversible.

Le fait quecette transformation est généralement biquadratiqueest connu. L'étude des systèmes de coniques se fait d'habitude' par la considération des coniques conjuguées (i) ; or un système linéaire oc^ est conjugué à un faisceau tangentiel ; les couples de droites du premier sont les couples de droites conjuguées par rapport à toutes les coniques du faisceau tangentiel (2), et l'oa applique le corrélatif du théorème connu : les couples de points conjugués pour un faisceau ponctuel se correspondent dans une transformation Cremona. C. Servais (3) ayant discuté tous lescas particuliers de ce théorème, on a une voie tout indiquéepour traiter le problème d'une manière complète.

Pourtant nous ne passerons pas par le faisceau tangentiel conjugué : nous résoudrons le problème au moyen des équations les plus générales, quitte à particulariser ensuite pour avoir lesexceptions.

Il s'agit en somme de considérer l'identité.

(1) a nx- + 'i hx- + Y Cx^ -f- 0 dx- =

et il est superflu de mettre un coefficient de proportionnalité au second membre : on le suppose incorporé aux coefficients u. De là, si l'on désigne par an x^ -\- 2 a^ Xi xi -\loppée du symbole nx'-, etc., les six relations

a «11 + ?^^ii + Y Cil 4- 5(^11 ■

2 a rti2 + 2 ;B bn + 2 Y Ci2 4- 2 o d^i ■

(.)\ I "■ «22 -T- S hn 4- Y C->2 -h '^ (^ti

^-'^ ) 2 a rtia 4- 2 :^ ?yj3 + 2 Y Ci3 + 2 S d^.^ ■

2 a rt.., 4- 2 p h.; + 2 Y C23 4- 2 5 c/2o

Xi -\- ..

. . la forme déve-

tions

Vi Ui

Vi Ui -

- V2 Ui

- V-zUi

Vi Uz

— Vi Ui,

- f2 W3 — V-s Ui

— V3 Uz

(1) Encyc. des se. math. III, 18, 11° 37 et suiv.

(2) Ibid. no 39.

(3) Mathesis, 1887, p. 129/34 et 187/90.

— Ui

2 an

2cn

2chi

— Wi

bti

chi

— Uï

2 au

2 bu

2cu

2 rfi3

— Uz

— Ul

2Ci3

2 rf.3

-Ul