XJ

La symétrie en u et v montre que la transformation est réversible; ces équations donnent les rapports mutuels de a, p, Y, 5, Vu ^2> ^3, mais les trois derniers nous intéressent seuls, et, comme nous l'avons prévu, Vi, v-i, Vz sont proportionnels à des fonctions quadratiques de Uy, U2, uz-

Mais les équations (2) ne donnent plus les rapports mutuels, de a, p, 'f, 0, Vi, Vz, V3 si la matrice suivante est nulle,

En supprimant l'une ou l'autre des trois dernières colonnes, on voit sans peine que cette matrice s'annule pour trois systèmes de valeurs des rapports Wi : m-? : u^ en général : la transformation Cremona fait correspondre à la droite v un faisceau tanueniiel à trois tanerentes fixes communes, et une variable avec v.

Ainsi nous avons retrouvé la solution connue du prablè'me des coniques dégénérées, mais pour le cas général ; il reste à analyser les exceptions. Car, nous venons de voir, pour la transformation Cremona, des droites exceptionnelles au nombre de trois, au moins, mais qui peuvent être confondues.

Seulement, si la dernière matrice ne représente que trois droites, peut-être confondues, celles-ci apparaissent comme trois des tangentes communes à deux courbes de seconde classe; la tangente commune à défalquer est réelle si les équations ax'^,... sont à coefficients réels, donc une des trois droites au moins est réelle. Si la matrice représente plus de trois droites, elle en représente une infinité comprenant un faisceau du second ou du l)remicr ordre; mais les deux courbes de seconde classe ne peuvent avoir toutes leurs tangentes communes imaginaires, puisqu'il y en a au moins une réelle à défalquer; et si parmi les droites annulant la matrice, il y a un faisceau du premier ordre, il est à sommet réel, car sinon le faisceau à sommet imaginaire conjugué satisfait aussi, ce qui ramène au cas du faisceau du second ordre.

Bref, il y a au moins une droite exceptionnelle réelle ;

■désigQons-la par u; il lui répond au moins un faisceau de droites v réelles, car les équations donnant les v sont linéaires. Or, si dans le système oo^, il y a un faisceau dégénéré en une droite u et un faisceau de droites v, adjoignons une courbe du système étrangère à ce faisceau ; nous formons un réseau à deux points de base, savoir les points où u rencontre la nouvelle conique. Réciproquement, si un réseau de courbes du système a deux points de base réels, imaginaires ou confondus, par un point arbitraire de la droite réelle u qui les porte (tangente commune si les points sont confondus) on peut mener un faisceau ■de courbes du réseau, et ce faisceau se décompose en la droite u plus un faisceau de droites v. La discussion ultérieure portera surtout sur" le fait que le sommet du faisceau v peut être extérieur à la droite u ou situé sur u. Mais on peut déjà affirmer ceci : la droite joignant un couple de points neutres est une droite exceptionnelle de la transformation Cremona; donc le lieu A des points neutres, s'il est vraiment une infinité simple de points, se décompose en lignes droites.

86. Si le sommet du f;iisceau v est en dehors de la droite w, on peut prendre pour deux coniques définissant le système, la droite u combinée avec deux droites v, ou en faisant une transformation de coordonnées, les deux courbes dégénérées -a?! x-i ■= 0, .^1 .r, = 0. Dans le cas contraire, on pourra prendre ^^■- = 0 et x^x, -= 0.

P Examinons la première alternative : les quatre coniques définissant le système sont ramenées, après soustraction, à

( ax- ^ Xi Xi , bx- ^ Xi Xi,

(4) } Cx- ^ Ci Xl^ + 0-2 Xr -\- C3 Xi .'Cy -f- Cj Xs^ ,

I ax- = di x^ -j- di xz- -j- (^3 oGî x^ -\- d\ xr ;

les deux dernières déterminent un faisceau dont un élément au moins a une équation telle que

(5) fxi^ -{- g X:Xi -\- hx- =0,

et ceci représente deux droites par le sommet x^x^; si elles sont réelles et distinctes, prenons-les comme nouveaux côtés x^. x^ de référence; les deux coniques ax^, bx' déterminent un faisceau qui peut tout aussi bien être défini par les nouvelles formules Xy x^, x^ x^ ; la troisième s'écrit x.2 x^ ; après

soustraction, le système est défini par ces quatre expressions,

(6) Xi CC.2, iv^ x^, X, x.^. c?i x^- + A., x.£ + (^3 r./,

c'est-à-dire par une conique d et par un réseau de coniques ayant pour points de base les trois sommets d'un triangle autoconjugué pour cette conique d.

Les lijpothèses où un ou deux des coefficients d s'évanouissent ne doivent pas être exclues quand on fait la classification des systèmes oo^ ; alors il y a un ou deux points de base ; mais il ■n'y a pas lieu de considérer ces hypothèses pour le problème ici traité, lequel est alors immédiatement résolu. Toutefois, nous traiterons à part plus loin la question des réseaux à trois points de base dans les systèmes à un point de base.

Le cas des formules (0), évidemment réalisable, est en somme le cas général, car si les droites fx.-^- + gx.^ x.^ -\- hx./ = 0 sont imaginaires conjuguées, on peut les prendre pour côtés d'un triangle de référence, donc faire une substitution imaginaire; alors le triangle autoconjugué a un sommet réel et deux imaginaires. Mais comme nous cherchons à opérer dans le domaine réel, nous traiterons ce cas en prenant deux nouveaux côtés réels x^, x^ conjugués harmoniques par rapport aux deux droites imaginaires, et nous aurons

(7) iT, c.,, x^ x^, x.^' -{- mx./, x^ -\- nx.2 x^ -\- px^- ;

nous supposons m positif; nous avons pu diviser par le coefficient de x^- dans la troisième expression, car il n'est pas nul; et par celui de.^- dans la dernière, car â'il était nul, le système aurait un point de base. Il est permis de réunir les formules (6) et (7) en admettant pour m des valeurs positives et négatives, nous séparons néanmoins à cause de la symétrie et simplicité des formules (6).

Enfin si les deux droites fx.,- -\- gx^x^-\- hx^- sont confondues, on les prend comme côté X2 et l'on se trouve dans l'hypothèse m == 0 (ou encore, sauf le nom des variables, on •est ramené à la deuxième des alternatives à examiner).

2" Occupons-nous donc du système ^

ax^ ^ Xi^ , bx"- = Xi x.^.

dx"^ = d^ x^ x^ + ^i ^2^ + ^^i Xj. ^i + di X..

dereclief les deux derniers polynômes définissent un faisceaiî dont un élément au moins a la forme fx^ -\- gx.^ x^ -\- hx^- 1 il se compose de deux droites réelles, imaginaires ou confondues;-, par rapport à ce couple, le rajon x.^ a un conjugué harmonique toujours réel, et distinct de x.^ si h n'est pas nul ; on prend c& conjugué pour côté x^, et l'on peut diviser par le coefficient de x.f dans la troisième expression ; d'où, après soustraction, le système

(8) ^Tj-, x^ x.^, mx.^ -f- ^3*>

tZi t/yj i^lo I iX.y SCsi ""^ (Xi Oucf *Z/Q,

Si h est nul et g non nul, on peut prendre tx.^-\- gx^ pour nouveau côté x^, ce qui donne

mais ceci, sauf le nom des variables, est le cas particulier du système (7) pour m = 0.

Enfin si A et ^ sont nuls, on a

( 1/) ^i 5 \ •-*-''/* *^î>''> ^1 *X/i ifjo '~\ 069 JU^ \X/o ] CL-i JC.) ^

où l'on peut supposer d^ non nul, sinon les coniques du système ont un point commun x^ x.^ et y touchent une même droite.

87. Examinons les coniques dégénérées dans les systèmes réduits (6), (7), (8), (9). Le premier donne

a XyX,, + P ^1 ^i + '( ^2 -^3 ~)~ "' ^^i ^i' + ^2 ^2^ + '^s '^3') ^ ^x tX

la transformation Cremona est une inversion. Le lieu A des couples de points neutres du système se compose des trois côtés du triangle de référence, seules droites exceptionnelles de la transformation; deux points neutres associés sont toujours sur le même côté du triangle. (.V

Pour avoir les couples de points neutres sur une droite

(1) Le triangle est paifois désigné sous le nom de triangle c/ior-doZ de quatre coniques. 11 y a même des résultats plus généraux obtenus par Caporuli (Cf. Berzolari, in E. Pascal. Repert. 2* éd. t. 2, p. 340j mais les auteurs ne semblent pas avoir songé à des exceptions, car (Bersolari, ibid. p. 276) on ne fait d'autre restriction aux courbes définissant uni système que d'être linéairement indépendantes.

exceptionnelle, il faut chercher ses intersections avec les coniques du système; faisons par exemple Oi\ = 0 dans l'équation du système (6), nous obtenons

0^ ,V] œ.j -\- 0 ((Z, x^^ -\- d, Xf) = 0 ;

c'est une involution dont deux éléments sont, le couple de sommets du triangle de référence, et les intersections du côté œ.^ avec la conique d^". L'équation précédente a deux racines égales, si a- = 4 Ô2 c?, d.,, ce qui exige, pour la réalité, que d^, d^, soient de même signe. Comme le triangle est réel, si dx'- est à coefficients réels et sans points réels, d^, d.2, d^ sont de même signe, et il y a si.v réseaux réels à deux points de base confondus ; sinon il n'y en a que deux.

Une droite quelconque coupe les côtés du triangle en trois> points; les associés de ces trois points sont aussi alignés, car ils sont sur la conique du système qui contient la droite donnée.

La transformation Cremona a quatre droites coïncidant avec leurs transformées, savoir

résultat connu dans le cas général (et alors on peut définir le système au moyen de ces 4 droites doubles). Elles sont réelles si la conique dx" est sans point réel, sinon elles sont imaginaires conjuguées deux à deux. Elles coupent les côtés du triangle de référence aux points doubles des involutions.

88. Prenons le système (7) avec les hypothèses w^ ^ 0 : l'identité

0 (a?i'^ -f n x.^ x-i -\- p x.^^) = Ux Vx donne

?/., Vy = y m -\- cp

et par suite les relations,

( — n Mj Vi -\- u.^ i\i -f- u., v^ = 0,

j — p Mj Vi — W W2 V^ -\- U^Vj ^ 0

qui définissent la transformation Cremona ; les droites exceptionnelles annulent la matrice

ij — n u^ u.^ u.^ .

Il — p Ui — ?n u.^- M3 ' •

ceci exige, ou bien u^=^u.^ -[- mu^- = 0: ou bien 7nnu.^-\pu^ ^pw^ — WW3 = 0, d'où w, = M3 = 0, car le déterminant mn- -{-2^' ^st positif, puisque m ^ 0 et w, p réels. Donc on a bien wi irnangle à deux côtés imagmah^es conjugués, si m est positif.

Sur la droite u^ = u^ = 0 ou x.y, = 0, seule droite exceptionnelle réelle, on a l'involution

Y {x^ -\- m œ^') -f- "■> ^3 {'''i ^2 ~hp ^3) ^ 0

•dont les éléments doubles s'obtiennent en écrivant

et ils sont réels si m est positif, parce que les coefficients de ■0- et Y" sont alors de signes contraires. Les droites doubles sont données par

Ui^ = 0, u^- = Y, 2u.^u.^ = on, u.^ = -[m -\- oj9,

d'où l'équation en w^ : u-^,

— mnuf — 2 pu^ u^ -j- nu.^- = 0 ;

elle a deux racines réelles si m est positif, l'une positive et l'autre négative ; d'autre part, on a nu^- = 2 w, u^, d'où

donc deux valeurs de u^ :u^ sont réelles et deux imaginaires. Ainsi il y a quatre droites doubles dont deux réelles.

On voit sans peine que dans les deux cas généraux (6), (7) il n'y a qu'un réseau à trois points de base.

Il n'y a aucune difficulté à énoncer les modifications apportées aux derniers résultats par l'hypothèse m = 0; notons seulement que deux des quatre droites doubles coïncident et qu'il est alors impossible de représenter le système oc^ par celles de ses coniques qui dégénèrent en droites doubles. Au surplus, ce cas de w = 0 se confond, comme on va le voir, avec le premier des cas suivants.