letons un coup d'œil sur les extensions possibles
D'abord la dillérence entre le n^mbredes lignes etdes colonnes
peut surpasser 2, mais alors, pour qu'il y ait des valeurs des
variables annulant la matrice, en général, il faut qu'il y ait])lus
•de quatre variables homogènes. G/'ométriquemcnt, on doit se
placer dans un espace à plus de trois dimensions.
Ensuite on peut se demander pour combien de systèmes de valeurs des variables, supposées en nombre suffisant, s'annulent Uous les premiers mineurs d'une matrice.
Enfin voici le problème le plus général de ce genre résolu par
G. Z. Giambclli [Mem.Ist.Lomb. 190}) : les variables l'iant eit- Dombre suiîisant, combien de valeurs de ces variables annulent tous les déterminants d'un certain ordre extraits d'une matrice de formes de degré quelconque, et annulent en même temps unematrice partielle extraite de la matrice àonnce? ,
G. Z. Giambelli entame directement ce problème; aussi il lui faut une grande abstraction de raisonnement et un appareil imposant de notation. Son eflort est admirable, mais, par sa généralité même, le résultat est peu utile. Car les formules ne sont applicables que dans le cas le plus général; or à la hauteur où la question est portée, c'est déjà un atlaire considérable de savoir quand ce cas général est réalisé.
Au contraire en s'élevant de degré en degré, on doit démontrer bien plus de formules, mais on est en possession du procédé régressif (dû ;"i A. Brill) ; au lieu d'appliquer les formules générales, on applique le procédé à chaque cas particulier et si l'on se trouve en j)résence d'une exception, on en est averti au. cours du calcul. En ellet dire qu'une matrice de formes quaternaires s'annule pour une courbe gauche n'est pas vrai toujours : ce peut être pour une surface, ou pour une surface accompagnée d'une courbe; ce dernier cas se réalise notamment si tous les éléments delà matrice ont un facteur commun.
14. Pour l'étude d'une courbe gauche la repi'ésentation par une matrice a ceci de facile que la notation a longueur et largeur; sa structure dans les deux sens donne des résultats géométriques.
Soit par exemple la cubique gauche annulant la matricede six formes linéaires
((x tl'x f'"x
Ir^ Ijx b"x
Les lignes de la matrice ont un faisceau de relations linéaires; donc la courbe est le lieu des points par on passent des faisceaux de plans homologues de deux gerbes projectives, c'est-à-dire le lieu des points de rencontre des rayons homologues des deux, gerbes. Les points qui annulent une ligne sont les centres desgerbes et sont sur la courbe.
Les colonnes de la matrice ont une même relation linéaire.
donc la courbe est le lieu dos intersections des plans liomologuesde trois faisceaux projectifs.
Les points qui annulent une colonne sont sur l'axe d'un de ces faisceaux, mais non tous sur la courbe; par exemple un point de ^/.,- = />./• = ( » n'est sur la courbe que s'il annule aussi le dt'terminant (a'.j: h'\c), donc les axes des faisceaux sont des bisécantes de la cubique.
En faisant précctler la matrice d'une ligne de constantes arbitraires, on a l'équation
hx
ii'x (("x
d'une intinité double de quadriqu("s : la cubique appartient à un réseau de quadriques.
Deux de ces quadi'iques, dt'fînies par À, \i-, •> et >', \]-', /', ont encore en commun la ligne
Il \
Ju
qui est une droite et qui, d'après la formule donnant ;j.; ,/ l i) a deux points communs avec la cubique : deux quadriques circonscrites ont en commun une bisécantc.
En appelant l, m, n, les déterminants respe>'tifs
les équations d'une bisécante peuvent s'é'crire
J ax -|- ^'^ c'x + it a'x l hx + m b'v + n h"x
ceci montre (pie les bisécantes sont les intersections de planshomologues des gerl)es projectives qui engendrent la courbe. Si le poini X est donné, hors de la courbe, les équations précédentes fournissent un svstème de valeurs de l : m : n : donc par tout point extérieur à la cubique il ])asse une bisécante. Si le point jc est donné sur la courbe, les équations précédentes en /, m, H ne sont pas distinctes; il faut donner un second point
pour déterminer I : m : n : donc les équations précédentes <léfinissent toutes les bisécantes.
En faisant suivre la matrice d'une colonne de deux paramètres '■>■, /, on a une matrice
(ix a'x a"x -j.
s'annulani pour un point de la cubique ; on on peut tirer -'ï'i, ^3, ^z- ^i proportionnels à des fonctions cubiques de (a : [ij et voir que la cubique est rationnelle.
Un point de la cubique et une bisécantc sont toujours dans un même plan.
résultat insignifiant, mais dont les analogues prennent de l'importance dans d'autres courbes représentées par des matrices.
La matrice
In
(Ix
s'annule pour quatre points, communs à deux cubiques (par exemple celles qui répondent aux colonnes 1, 2, 3 et 1, 2, 4) situées sur une même quadri(jue {axb'j---= a'xbx) et ayant pour bisécantes les génératrices de même système de cette quadrique. La matrice angulaire
bx
c'est-à-dire l'ensemble des déterminants à quatre éléments extraits des deux premières lignes ou colonnes du tableau ci-dessus, s'annule pour les points communs à deux cubiques situées sur une même quadrique et ayant pour bisécantes des génératrices de systèmes opposés de cette surface. On vérifie sans j)eine que le nombre de ces points est cinq,
Bref, si l'on envisage la matrice dans le sens des lignes et des colonnes, si Ion complète par lignes ou j)ar colonnes, si l'on
combine les résultats, on obtient chaque fois des propriétés. Les constantes arbitraires que l'on ajoute en lignes ou colonnes peuvent être regardées comme des coordonnées, et les êtres représentés par la matrice complétée sont alors rapportés à un espace linéaire et il en résulte encore des propriétés surtout ])0ur les courbes plus élevées que les cubiques.
On peut se demander si la matrice ne constitue ])as l'instrument analytique qui manquait à la géométrie projeciive.
Il convient toutefois de dire aussi où se borne l'avantage de la notation. Elle ne peut faire découvrir que les propriétés inhérentes à la structure de la matrice et ind(''pendantes de celle de ses éléments. Ni la tangente, ni le plan osculateur, qui nécessitent une ou plusieurs dérivations, donc le démembrement des éléments, ne peuvent être étudiés par la seule ins]ieclinn de la matrice. Celle-ci peut bien jouer un rôle, mais en y joignant la considération des formes figurant dans la matrice, avec leurs coefficients explicites.
