p^p'-q'q'- -r 46 pp'^r/V/ -f 4 p'^g
•et se détruisent avec les termes négatifs.
Quant aux termes du premier degré en r, ils ne se détruisent pas, car la matrice M montre que les déterminants D^^ ou q' et D^^ ou r doivent jouer des rôles symétriques et (o : r) étant du sixième degré en q doit l'être aussi en r ; or o contient comme terme le plus élevé 4 ac^ du septième degré en r ; donc (o : r) est du sixième degré. Ainsi (o : r) e5^ un invariant simultané de quatre coniques, et cet invariant s'annule dans le cas exceptionnel E.
Dans l'exception E\ A doit avoir une racine triple, donc s'évanouit la matrice invariante de quatre coniques,
Enfin on a la matrice invariante caractérisant l'exception' B' si l'on écrit les conditions pour que les coniques du faisceau tangentiel
m' u^- -\- n' w, u^^ -|- p' U£ -|- C[ u^^ u-^ A- r ti.^ u-^ -\- 0 u./ 4- '^^ (mii^- -j- ^^^^1 u.^ + pUf -\- qii^ Ui + 0 u.^ u.^ -\- ru./}
aient un double contact; nous avons donné la formule générale plus haut ; ici multiplions tous les éléments par 4 pour éviter les fractions :
n'- — 4 m'p' 2 nn' — 4 mp' — 4pm' n- — 4 mjo q'- 2qq' — A rm) q- — \ mr
r- — 4 r;/ — 4 rp
11'- — 4 ?n'p' 2 nn' — 4 7np' — 4 pm' w^ — 4 mp q'- 2 qq' — 4 rm' q' — 4 mr
r- — 4 rp' — 4 7p
chacune des lettres m, 7i, p, ... r est un déterminant à quatre lignes; le cas de r = 0 ne parait pas annuler cette matrice; comme r est non nul, on peut le faire sortir des lignes 3 et 6. Rappelons aussi que le tableau à quatre colonnes et 6 lignes n'équivaut qu'à deux conditions.
96. Résolvons un problème écarté plus haut : dans un système linéaire de oo^ coniques à un point de base, chercher les réseaux à trois points de base.
Le problème cesse d'avoir de l'intérêt si le système proposé a plus d'un point de base; ce point étant donc supposé unique, ■est réel, et nous le prenons pour sommet x^ x.,. Tout réseau à trois points de base possède d'abord ce sommet, et encore deux points réels ou imaginaires ou confondus, mais portés par une •droite réolle. Un point arbitraire de cette droite détermine, dans le réseau, un faisceau dont tous les éléments contiennent la droite en question et se complètent par des droites issues de x^x^. Réciproquement, si un faisceau de coniques du système dégénère •en une droite fixe g plus un faisceau de droites, on i)eut y joindre 4ane conique du système étrangère au faisceau et déterminer
ainsi un réseau à trois points de base, savoir le point x^ x.^ et les deux intersections de la nouvelle conique avec la droite ^;. ces derniers points peuvent (tous deux ou un seul) se confondre avec X, x.j^ dans le cas où g passe par x-^ x.y.
Le problème est donc encore ramené à la recherche desfaisceaux dégénéi'és et la solution, dans le cas général, peut s'obtenir au moyen d'équations telles que
rix'' = «, x^- + a.^ Xi x^ + a.^ ,r./ -\- a^ x^ x.^ + «5 x.^ x.^ ^ 0
et trois analogues en h, c, d Si une courbe I a Ox' dégénère en^ deux droites, son équation doit pouvoir être identifiée à
[11^ Xy -L- w, ^2) l^'i ^-1 4- 'C'>x., -X- y, x.^ =- 0 ;
on aura donc
= S a eu
ces cinq équations homogènes en a, 3, v, c, u-^ Uo sont vérifiées-par des valeurs non toutes nulles de ces variables, excepté si. l'on a
Co
Ca
Comme la matrice partielle des quatre dernières colonnes n'est pas nulle, sans quoi les coniques proposées ne définiraient qu'un réseau, l'évanouissement de la matrice M équivaut à celui desdeux déterminants obtenus en supprimant la première ou la seconde colonne; chacun d'eux représente, en général, un point en coordonnées tangentielles, et réunies ils représentent unedroite. En général donc il n'y a qu'une droite exceptionnelle, c'est-à-dire une droite pouvant faire partie d'une infinité deconiques du système.
Nous allons voir qu'il n'y a pas d'exception, tant que le système oo-* n'a qu'un point de base; dans ce but nous examinerons les équations réduites du système cxi^.
En tout cas la matrice M, d'après ce que nous en avons dit, représente au moins une droite réelle; si elle^n représente uneinfinité, nous en choisissons une au hasard. Suivant que la
droite ainsi fixée ne passe pas par le point x^ x.-, ou qu'elle v passe, nous la prenons pour côté x^ ou côté x^ et deux des coniques définissant le système peuvent s'écrire x^ x^, x.y x^ ou bien .r^-, .r, x^.
Dans le premier cas le système secomplète par deux coniques auxquelles on peut donner, par soustraction, la forme
ce sont des couples de droites par .v, Xn„ et ces deux couples ne peuvent avoir un rayon commun, car alors tout le système aurait en commun le point où ce rayon coupe x.^. Ainsi ces deux couples de rayons définissent une involuiion quadratique non dégénérée ; il y a des couples formés de rayons réels distincts ; nous en clioisissons un pour nouveaux côtés x^^, x.^ do référence; le faisceau des deux premières coniques peut aussi bien être défini par x.;^ combiné avec les nouveaux cotés x^, x^, et le système, après soustraction, a la forme
d, ni (/, ne s'annule sans quoi le système a plus d'un jioint do base ; pour les coniques dégénérées on doit avoir
2^1 i\ : II, V, = d, : d., ;
cette relation détermine le rapport u^ : u.^ à moins que t?,, ??, ne s'annulent tous deux; ainsi la seule droite exceptionnelle est le côté x^ = 0, et l'involution des points neutres y est représentée
par
Y^i x,^ + 0 fû(, x^^ -{- d, x/) = 0.
Dans le second cas, deux coniques étant x^^, .r, x.,, les deux autres se réduisent à
elles déterminent un faisceau dont un élément au moins a la lorme gx^ x^ -{- hx^'oo^, et h n'est pas nul, aui rement le sysièmc a deux points de base aux intersections de x^ avec dx'^ ; ainsi la droite gxi -{- hx^ est distincte de x^ et peut être prise pour nouveau côté x.^ ; le système a la forme
et l'on doit avoir, pour les coniques dégénérées,
di ni d.^ ne s'annule, car alors le système a, ou bien un contact en ûOi X.-,, ou bien un second point de base en x-^ ^3 ; donc m, : u.^ est déterminé, sauf si t\, = v^ = 0 ; la seule droite exceptionnelle est Xy, et les réseaux à trois points de base ont un contact en a?i œ.^ plus un troisième point quelconque sur ^i.
On voit facilement que les surfaces de Steiner correspondant à ces deux derniers systèmes de coniques, sont cubiques et répondent aux deux alternatives envisagées par G. Cotty (Nouv. Ann. Math. 1908).
97. Voici quelques développements analogues relatifs aux réseaux de coniques. Soient aar, bx-, Cx" les représentations symboliques de trois formes quadratiques n'appartenant pas à un même faisceau et définissant le réseau
Par un point y non situé sur les trois courbes a, b. c, on peut mener un faisceau de coniques du réseau, car on doit écrire
a a/ + 'iby^ + vc/- = 0;
par hypothèse un terme de cette relation difïère de zéro, par exemple ciy-; alors on peut éliminer a et l'on obtient
I ax'- ? bx- + Y cx^ \ = a\ ax"- bx' ! ay^ .3^)y + Ycy- I ^ n ay"' b/-
ce qui représente un faisceau ; la base de ce faisceau annule la
matrice
/-■ V ! . dx' bx' Cx- Il
^^' i a/ by'' Cy^ \\
car, par hypothèse, la colonne commune aux deux déterminants multipliés par ,3 et y ne s'annule pas. Cette matrice (1) s'évanouit pour quatre points x dont un est y.
Autrement dit, on obtient tous les faisceaux contenus dans le réseau en imposant à a, |î, y une liaison linéaire quelconque l OL -\- m 'i -^ n '( = 0, car il y a toujours quatre points y tels que l'on ait
%2 l)yl cy-
ax'^ Cl- __ ,^
ay' Cy' ^'
et ces dernières relations où les y sont coordonnées courantes représentent les quatre points de base du faisceau.
A cause de la symétrie, la matrice (1) s'annule aussi pour tout point X donné avec quatre points y dont un est en x. Ou bien elle exprime que les points x et y appartiennent à un même quatorne formant la base d'un des oc- faisceaux contenus dans le réseau. Ou enfin on a une involution de quaternes dans le plan, puisque chacun est déterminé par un de ses éléments.
Par deux points ?/ et ;, on peut mener une courbe du réseau, sauf si y et ^ font partie d'un même quaterne.
Si les courbes du réseau ont un, deux ou trois points communs, ces points font partie de tous les quaternes Le dernier de ces trois cas est sans intérêt. Nous dirons un mot du premier et du second.
