Le réseau des coniques à deux points de base

donne une transformation Cremona involutive; car»un pointée du plan définit un fais:eau dont la base se complète par un point y\ la correspondance "entre x %\ y est évidemment uaidéterminative et réversible. C'est en général une transformation biquadratiquc; nous allons le montrer en nous aidant dos éléments dégénérés du réseîau.

Le réseau sera supposé défini par trois équations à coeflScients réels et nous ne ferons que des substitutions à coefficients réels. Les points de base peuvent être réels, imaginaires ou confondus, mais la droite qui les porte (tangente commune dans le cas de coïncidence) est toujours réelle. Prenons-la pour côté ^^ ^ 0 du triangle de référence.

Choisissons pour extrémités de ce côté deux points réels, conjugués harmoniques par rapport aux points fixes; dans le cas des points confondus, nous y mettons le sommet x-^ x^ et prenons le sommet x^ x.^ à volonté mais distinct du précédent. Les points de base sont maintenant représentés par x^^ = 0, Ax./ -\- Bx.f = 0 et, d'après les conventions, A n'est jamais nul, mais B peut l'être; simplifions encore en divisant par A : les courbes définissant le réseau ont des équations telles que

Fi = ai x^" + ^i ^1 ^2 + ^'2 ^1 ^3 + di {x.f -f t7îx./) = 0

la constante m étant positive, négative ou nulle.

Les déterminants de la matrice \\ a^ bid di\\ ne sont pas tous nuls, car les trois courbes n'appartiennent pas à un faisceau; les coefficients d, ne sont pas tous nuls, car nous excluons le cas d'un réseau de courbes dégénérant toutes en deux droites dont l'une Xj^ est fixe.

Le lieu des points doubles dos coniques dégénérées du réseau annule le Jacobien de F^, F.^, F^, savoir

2 Cil ce, -f- ^' ^•' + ^' ^3 bi Xy -j- -2 di JC.2 Cl x^ -f- 2 mdi x.^

= -lxi\ icihc) x^- + [adc) Xy x,