abd)mxyx^ + (bdc) x.,^ 4- {cbd} mx

Le polynoiûe entre accolades représente une conique; c'est là un fait connu et géométri(iuement évident. Cette conique a une ■équation à coefficients réels; elle passe par les points de base 'du réseau, sans aj^partenir nécessairement au réseau.

Si toutes les courbes dégénérées du réseau comprennent la •droite x-^, le lieu des points doubles se réduit à cette droite, l'équation / = 0 se réduit à son premier terme et récipro- •quement. Or, les quantités {adc), {abd) m, {bdc), (bdc) m, ne sont toutes nulles que si m s'évanouit ainsi que {adc) et {bdc), car l'évanouissement des trois déterminants {adc), {abd), {bdc) entraînerait celui de H a,- b, c, d, || ou celui de tous les r/,, ce qui •est contre nos hypothèses. Mais dans le cas où m s'évanouit ainsi que {adc) et {bdc), trois des coniques du réseau considéré se ramènent à la forme

x^- = 0, a?, X., = 0. Xf -\- A Xj^x^ = 0,

•et c'est le réseau des coniques ayant un contact triponctuel en ^] X2 ; nous pouvons l'exclure, comme tous les réseaux à trois points de base, car il ne peut y être question de la transformation -Crcmona étudiée.

Ce cas exclu, il existe assurément des coniques dégénérées du réseau i^qui ne contiennent pas la droite j?, ; une telle ligne se •décompose en deux droites réelles, imaginaires ou confondues, mais ayant en tout cas un ])oint de rencontre réel extérieur à x^.

Cherchons à présent, dans le même réseau F, les coniques •dégénérées comprenant la droite x^ ; nous écrirons

:i: ,j.i Fi = 0, i: m dt =^- o-,

à cause de cette dernière relation, les paramètres [>. ne sont que deux distincts; on a donc bien un faisceau ; la première relation «donne

a?, (ï [j.,- ai ^1 + S i^i ôi x.^ -(- I [j-j Ci x^) = 0,

et les droites pour lesquelles s'annule la parenthèse, en même temps que s'évanouit - ;j-,- f//, passent par le point *S défini par

a^ x^ 4- b, X, -h Cl a?3 a-2^1 -}-b^x, + c^œ^ ^ a^ x^ -{-b^œ, + Cj x^ d,' "do d^

comme on s'en assure en additionnant ces fractions terme à terme après multiplication par a^, jj-j, 1^3.

Ainsi les coniques dégénérées comprenant la droite x^ se complètent par un faisceau de sommet -S et nous devons distinguer deux cas.

P 5 est extérieur à ^,, alors les relations

bi œ^ -f Ci i^a = p di {i = l, 2, 3)

sont incompatibles et le déterminant {bcd) n'est pas nul : c'est en somme le cas général ;

2° »S est sur œ^ et (bcd) = 0.

Dans le premier cas, prenons *Spour sommet non encore fixé du triande de référence. Deux courbes déterminant le réseau seront œ, Xo = 0, x^ -j^s = 0, et l'on achèvera de le définir par une courbe de la forme

où l'on pourra supposer a non nul, car autrement le réseau aurait trois points de base.

Dans le second cas, représentons 5 par les équations x^ = 0, rjQ^j^ px^ = 0, ce qui permet d'embrasser même l'hypothèse m = p = 0 où S coïncide avec le contact des coniques du réseau. De plus, comme nous excluons le réseau à contact triponctuel, nous pouvons prendre le sommet non encore fixé X2 i^3 au point double réel d'une conique dégénérée, et le réseau se trouve défini par trois équations telles que

x{- = 0, x^ (â?2 + px^) = 0, x^ -j- mx.^- = 0.

On ne peut faire m = p = 0, car alors toutes les courbes du réseau dégénèrent. On ne peut pas supposer non plus 5 en un des points de base du réseau, car ceux-ci seraient réels et en les prenant pour sommets de référence, on ramènerait à x^^^ û7, .)?2, ^2^3 ^^ ^^^ coniques du réseau auraient même tangente en un de leurs points de base. Dès lors si m n'est pas nul, S étant distinct des points de base, peut être pris pour un sommet.

iPj x^, et /) = 0; ainsi on peut toujours supposer m ou p nul. Nous allons examiner la transformation Cremona dans les deuœ cas distingués ci-dessus. Soit donc d'abord le réseau

a iCj oc^ + P x.^ œ-i + 7 (rt^\'^ + ^i + ?«^/) -= 0 ;

si deux points distincts x et ?/ complètent la base d'un faisceau de ces coniques, on a

XyX.^ Xi Xs^ (/.r,- -j- x.f -j- w?.r.^^ ^ Q

■ j/i ?/2 2/1 P-i ''.v,- + y;- + nii/,"'

d'où l'on tire d'abord x.^ : x^ = y.^ : y^ ou o^'a == {x.^ y^ : ?/, cl en

substituant dans le déterminant des première et troisième

colonnes,

£c, x.^ yl [ay^ + yr + m//;0 •-

2/1 Vz V^^ y' + <' yr + wïî/s'Ol ;

cette équation en x^: x.^ a deux i-acines dont le produit est {y^-\-my.^^) : ay.^; l'une de ces racines est y^'-y-y, mais il faut l'exclure, car alors y coïncide avec x\ l'autre racine donne

^1 : -"^i = (y/ + ^>^z/3') : ^'2/1 yi ;

finalement on obtient les formules (où nous avons vu que a n'est pas nul),

x^-.x^; Xi = iy.^ + my/) : a?/i y, : ay, y,

d'une invey^sion irilinéaire, si m est non nul; si m = 0 ces formules définissent une semi-inversion irilinéaire (Cf. C. Servais, Maihesis, 1887, p. 112).

Dans le second cas, on trouve de même

en supprimant la troisième ou la seconde colonne, on a

^1 Vl — ^2 i/l "^ — P {'C\ !/:H — ^-.i .Vl)'

(^1 2/2 — ^2 yi) (-^1 2/:' + ^i yù +

m (.r, y, — ^, ?/i) (^, y^ + ^3 î/i) — 0, d'où

{X, y, —'X., yi) [- p {X, y.^ + x, y,) + w {x^ y, + ^3 y^) = 0,

et l'on peut diviser par x^ y^ — x^ y^, car s'il était nul, on aurait aussi x^y.^ — .r^y, =^0 d'où x confondu avec y, ou bien

■x^ = i/^ = 0, ce qu'on peut exclure. Donc, après un calcul facile,

t/7i • tAz-j • (A/^

Vil^vy-i — (^ — p')y3];

en simplifiant par y^, on a, pour les couples de points x, y extérieurs à la droite x^^, une transformation linéaire; on peut toujours, rappelons-le, supposer m = 0 ou /J = 0; la transformation est alors respectivement

x.^ : ^3 = pyi : py-i : (2 y, + py.^)

t/.(> • IVQ

la seconde est une homologie harmoyiique.

Los deux types qui constituent notre second cas sont

(5) a x^~ + .3 ,rj (d?^ 4- p^'3) + T ■^2' = 0.

dans le réseau {s) les coniques ont un contact au seul point Xi x.y Le réseau {s') a deux points de base distincts A, B et pour ces coniques un certain point 0 de la droite AB a mémo polaire; c'est un cas particulier, peu remarqué, d'un système connu où les coniques passent par deux points et ont un couple de conjugués communs (1).

100. Le problème traité dans le prissent chapitre se pose aussi pour un système défini par quatre quadriques

(Ix't Ox~, Cx', Clx'-

Si X et 1/ sont deux points neutres associés, on a ax- h'- Cl- dx- ç.

ayr byr Cy- dy" ~ ^'

et par suite aussi {ax ay étant la forme polaire de y pour ax"^, etc.)

ax" bx- cx- dx-

axay bxby CxCy dxd\<

ay- by'^ Cy- dy-

(1) G- Salmon, sections coniques, p. 166 considère bien le cas où une des courbes du réseau est une droite double, et observe que le Jacobien contient alors cette droite. Cette propriété appartient à notre système [s') mais ne le caractérise pas, car dans notre premier cas, si m = 0, on a aociX'i-\- ^xxœ^-\--^ [axx^ -\- x-/'^) et l'on peut avoir une droite double pour [î nul et a, y appropriés.

or, d'après notre article de V Enseignem. mathématique, 1910, «eci représente une congruence du septième ordre et de classe 3.

Ainsi tout couple d'associés est sur un rayon de cette ■congruence, constituée par les droites appartenant chacune à un faisceau de quadriques du système -a «a;-. Un raisonnement géométrique très simj^le contrôle notre affirmation, car par un point quelconque aligné sur deux points neutres associés A^, A^', on peut mener un faisceau du réseau passant par A^ et A", et chacune de ses surfaces contient trois points de la droite A^A'".

Réciproquement, les points où une telle droite rencontre une quadrique extérieure au faisceau répondent à la définition des points neutres; donc tout rayon de la congruence (7, 3) contient une involution de points neutt^es.

Par tout point M de l'espace, on peut mener sept rayons de la congruence; sur chacun d'eux on a une involution où M définit un couple; donc tout point de l'espace appartient à sept couples de points neutres. Ceci est confirmé parla remarque suivante : si ^est donné, les équations I! ax- a-y- 1[ = 0 en ?/ représentent trois quadriques ayant en commun 8 points dont un confondu avec x.

Dans tout plan, on a trois rayons de la congruence, ce qui contrôle le résultat obtenu plus haut pour le système général de oo^ coniques du plan.

Il y a oo- plans pour lesquels on a un système exceptionnel {E) et oo' plans pour lesquels se réalise l'exception (£") ou {E']. Comme on a trouvé les formes et les matrices invariantes •exprimant ces exceptions, le procédé connu de translation donne les enveloppes des plans exceptionnels, du moins en théorie, car le calcul effectif paraît peu praticable.

10t. Le môme problème se pose pour quatre surfaces cubiques, «a;^ hx"^, c^^ dx^ : des relations,

ax^ hx^ Cx' dr^ Il = 0 I ay^ b/ Cy"^ dyfl '

on peut conclure (mais la méthode ne réussit plus pour des formes de degré n > 3) :

ax-'

bx"

Cx'

dx'

ax^ tty

hx^ by

Cx^ Cy

dx^ dy

ax ay-

bx bv'

Cx Cy^

dx dy^

ay'

by^

dy^

d'après notre article de V Eyiseignement fnathématique 1910^ ceci est un complexe du sixième ordre formé des droites situées sur les surfaces IXo-^^^fi^iciproquement une teUe droite coupe les oo'-' surfaces restantes du système suivant les ternes d'une involution du troisième ordre et du second rang; celle-ci a un groupe neutre, constituant, pour le système oo^ de surfaces cubiques, un couple de points neutres associés ; on voit ici les cx>3 couples de points neutres sur les (x^ rayons d'un, complexe (si l'on choisit pour ax^, bx^, Cx^, dx^, les premièrespolaires d'une forme quartique, on a une propriété de la surface générale du quatrième ordre).

Par tout point M de l'espace, on a oo^ rayons sur un cône du sixième ordre, et M appartient à 26 couples de points neutres^ situés sur des génératrices de ce cône, car les équations \\ax^ay^\\ = 0 donnent, pour y fixe, 27 points x, dont un. coïncide avec y.

En faisant une section plane dans le système de oo^ surfaces cubiques, on trouve que les couples de points neutres d'ua système oo^ de courbes cubiques d'un plan sont sur les tangentesà une courbe de sixième classe ; nous allons chercher le lieu de ces points.

A cet effet posons, cix^... désignant des formes ternaires,.

A'i : Xy : X3 : X^ = cix-' : bx^ : Cx^ : d.

les couples de points neutres répondent aux points doubles d'une surface Sq du neuvième ordre {G. Salmon, Anal, à 3 dim. t. III p. 137) dont ceci sont les équations paramétriques. Une section plane S m^ X^ = 0 répond unidéterminativement à une cubique- S u^ ax^ = 0; elles sont de même genre 1, donc aussi la section plane de S^ ; cette dernière a donc

nœuds, et la ligne nodale de ^9 est d'ordre 27. Ainsi unecubique Sa c^a?^ du système c»^ porte 27 couples de pointsassociés; or, si n est le degré du lieu cherché, on a 3 /? = 2 X 27, d'où n = 18. Les cubiques dégénérées du système contiennent, sur leur droite, deux points neutres associés, et 16 points neutres dont les associés sont sur la conique résidu;

celle-ci coupe le lieu en 36 points, donc coniieni encore dix couples de points neutres.

Ces résultats sont conformes à des propriétés plus générales connues (i). Voici d'ailleurs un premier moyen de les contrôler. Soit une cubique du système décomposée en une droite et une conique c^ ; définissons celle-ci par ses équations paramétriques en À et substituons dans le réseau de cubiques qui, avec la cubique dégénérée, détermine le système oo^ : nous aurons en >> une involution du sixième ordre et de second rang; les relations donnant ses groupes neutres sont les mêmes que celles qui donnent les nœuds d'une s'^xtique plane rationnelle; donc c'est (5X0 — = 1*^- Ainsi la conique Cj^ porte dix couples de points neutres, la droite d en porte un; soient alors h le nombre <ios points neutres de d qui ont leur associé sur c^ et k le degré du lieu des points neutres; on a

<roù

k = \d, et h = K).

On peut aussi, comme autre contrôle, chercher directement le nombre de points neutres de d qui ont leur associé sur c^ : on exprime la droite au moyen du paramètre t et la conique au moyen du paramètre X ; ceci donne une matrice de la forme

Ai^ B,^ G^ , A\^ BY CY u '

en faisant précéder successivement de deux lignes de constantes non proportionnelles a, p, y et a', ,3', y', on a deux équations d'où l'élimination de t donne une relation en À de degré 3X6-]- 3 X 6 = 36; à chaque valeur de X répond une valeur de /; mais il- faut défalquer : P les systèmes de t et À qui annulent j aa'A^3| et I ota'A'x*^ I soit 18 systèmes; 2° les deux points communs à la droite et à la conique, car si t' et À' sont les paramètres d'un de ces points, la matrice précédente s'évanouit, mais pour un système de valeurs de œi identique à un système de i/i, et nous cherchons précisément les systèmes distincts. Il reste à vérifier que les points communs à une droite d et une conique c.^ constituant ensemble une cubique dégénérée ne sont

(1) L. Berzolari. dans E. Pascal, Répertoire, t. I. vol. "i, 2* édit. p. 340-

pas toujours des points neutres : supposons que Cx^ soit une telle cubique ayant un point double en (0, 0, 1); on a donc

ft(OOl) ^(001) 0 cZ(OOl)

ay^ by^ Qy Cy' dy

en abolissant la troisième colonne, on a une matrice satisfaite par 8 points ?/ autres que (0, 0, 1), et l'on peut toujours choisir g y et Cy- de façon à ne passer par aucun de ces huit points.

D'après une formule connue [L. Berzolari, loc, cit. p. 341) le lieu Cjg des points neutres porte 35 triples de points neutres; ces points sont doubles sur la courbe, mais ne constituent pas ses seules singularités, car alors son genre devrait se monter à (17 X 16) : 2 — 105 ^ 31, alors que d'après un autre résultatconnu (ibid, p. 316j une courbe hyperelliptique d'ordre m et genre p qui porte un groupe g.^ a pour l'enveloppe des droites joignant les couples de ce groupe, une courbe de classe m — p — 1 ; ici m étant 18 et m — ^ — 1 égal à 6, on devrait avoir j9 = 11; cette contradiction indique que la courbe c^g, si même elle n'est pas dégénérée, a des singularités ultérieures ; nous signalons ce problème à l'attention du lecteur