CHAPITRE IX

Eliminer un paramètre d'une matrice.

102. Le problème servant de titre au chapitre présent est viriuellement résolu clans des passages antérieurs, puisque l'on a éliminé un paramètre entre plusieurs équations. Il sutîit d'appliquer le procédé aux diverses équations obtenues en annulant les déterminants extraits de la matrice.

On fera bien toutefois de traiter cette question d'une façon plus effective, car les équations extraites d'une matrice forment des systèmes exceptionnels ; par exemple trois équations à trois variables représentent, en général, des points en nombre fini, tandis que si elles sont extraites d'une matrice à six éléments, elles représentent, en général, une cou i^be gauche.

Ainsi, bien que la solution du problème soit théoriquement connue, il sera utile de voir, sur des exemples, quelle modification reçoit la pratique.

Rappelons d'abord quelques choses connues, comme le théorème de Bezout, etc. avec de nouvelles démonstrations.

D'abord on a ce lemme : pour deux équations en x d'ordres m, et n, le poids du résultant est m n et ses termes so7it isobares.

Considérons deux polynômes homogènes en x et y, d'ordres m et n. Eliminant x, on a un résultant en //; mais si l'on avait divisé les polynômes respectivement par y"^ et ?/"• on aurait obtenu un résultant indépendant de x et y, car son évanouissement est la condition d'une racine commune en x : y. Donc le résultant est homogène en y. D'autre part, la diagonale principale du déterminant résultant,

r/„ rt| a.^

bn - 1 bn

bn - 1 bn

est d'ordre m n en y, donc tel est le degré du résultant. Cette proposition est exactement équivalente à l'énoncé rappelé ci-dessus.

Comme corollaire, si chaque coefficient d'une des formes, au lieu d'être de degré k eny est homogène d'ordre k en y, z,t,..., le résultant est aussi homogène, d'ordre 7nn en y, z, t, ...

Pour le cas de trois variables homogènes x, y, z, c'est le théorème de Bezout.