Occupons-nous de l'invariant de la cubique gauche
L'invariantologie d'une figure intersection totale de doux surfaces algébriques est l'invariantologie de deux polynômes simultanés à quatre variables homogènes, problème [)Osé dejuiis fongtemps et résolu pour certains cas.
Nous croyons avoir eu la première idée de chercher les invariants d'une courbe intersection pnrtielle, et nous avons résolu la question pour la cubique gauche (Bull. Acad. i)elgi({ue, mai 1907). Si l'on veut ne pas sortir de l'algèbre, on a donc à <;liercher l'invariant delà varicfé algébrujue annulant
Ij a.x a'x (fx .i
Cette cubique n'est pas plane, car un plan coupant la quadrique Oj^b'x = n'x hx ne i)eut donner une intersection du troisième ordre.
Cette cubique est, en général, proprement dite, c'est-<à-<lire avec au plus trois j)oints dans tout plan, car en posant chacun des rapports [cix : bx), {a'x : b'x), {n"x : b"x) égal à ^■>, on trouve
z Xi == \ // — f> b r<' — (■' // ff" — '•> b" \i [i = 1, ■-',•■>, 1),
l'indice i indique que les symboles «7, b,... doivent prendre
dans les lignes successives, les indices 1,2, o, 4, sauf i; de plus le déterminant sera atiecté du signe -|- ou — suivant que i est pair ou impair. Et ordonnant on obtient
(1) p Xi = \ aa'a"\i — o.[\ba'a"\i + | '>b'a"\i -f 1 fKf'h"]i ] L ,.,2 [i hb'a"\i + I hn'/r\i + I ah'h"\i ] — o^ \ bb'h"\i.
Si l'on substitue dans l'équation d'un plan, -uiœi = 0, on
trouve une équation cubique on o ; elle n'est généralement
indéterminée pour aucun plan, car il en est ainsi pour le cas.
typique,
qui donne x-^ : x.^ : X-^ : x^ =^ w^ : o>- : w : 1, et l'équation -wiw"'~' = () n'est indéterminée potir aucun plan u^ puisque les coefficients Ui no sont jamais tous nuls. Si donc l'équation en w,
(2) lMi.2v = lMi ^\(ni:a'\i ~ ^^>{\aci:b\i -\-\ab'a\i ^\b aki^ ]
est indéterminée pour un certain plan u, c'est un cas particulier d^ la cubique gauche; c'est même une dégénérescence, puisque la courlie a alors une infinité de points dans un ))lan. Ceci nrrive quand s'évanouit un certain invariant I que nous trouverons dans un instant; ainsi 7=0 est la condition que la cubique dégénère, généralement en une droite et une conique, avec un point commun, car c'est l'intersection partielle de deux quadriques.
Pour que l'équation (2) soit interminée, il faut et il suffit que
ï Ui \ aa'a" \i = 0,
I M/[| a rt' b" U + I a b'a'^ \i -\- \b a' a" |è ] = 0,
r Ui [\bb' a" \i -\- \b a- b" \i -^ \ a b' b" |i ] = 0,
:^uilbb'b"\i = 0.
Pour avoir 7, (diminons u^. u^. u.^, u^ de ces quatre équations linéaires homogènes :
I aa'a"\i
aa'b"\i + lab'a/'U -j- \ba'a"\i bb'a"\i 4- \ba' b''\i + \aJ/b"\i \bb'b"\i
— -Jl —
Ceci est un invariant simultané des si,\ formes linéaires Ou:, a'x, ci!'x, bx, b'x, b"ur. On doit pouvoir l'exprimer au moyen de déterminants des coefîicients de ces formes prises quatre à quatre. La chose est aisée: on multiplie / par \bb'h"(i\ suivant la règle de la muluj)lication de dfux d('terminants :
\aa'a"b 1 \aa'b"b \^\ab'a"1> I \ab'b"b I u
)A//;/v,i T- \"a'a%'\ \aa'b"b'\ + \ha'a'V\ \bn'b"b'\ o
i 0 \ba'a"a\ \b]>'rr(,\^\ba'b"a\ \bb'b"a\
^Divi.sons les deux membres jjar | b l> b" n \ et faisons de légers ciiangements de colonnes dans les déterminants partiels, pour la facilité des écritures,
i I a a' a" b] '\a a'bl) I — j a" a b b' ! i a b b'b"\
/ = \an'a" b' \ I a a"b // 1 — | rt a' b' b"\ | n' b b' b"\
Cet invariant (^st le seul, car s'il y en avait doux, il y aurait un invariant absolu et l'on no ])Ourrait ])assor d'une cublcjuc; à une autre par substitution linéaire que si les deux courbes avaient le même invai-iant absolu. Oi- on ))eui toujours passer <rune cubique à une autre. En effet, dans les équations (1) les coefficients de cr', o/-, d, l ont un déterminant non nul, sinon ■on pourrait, par combinaison linéaire, arriver à une relation de la forme "^^ Mi Xt = 0 et la courbe serait j)lane. Dés lors <o3, (.)■-, 10, 1 se tirent des équations (I),
■et le déterminant des form' s 1" mi jci etc. n'est pas nul ; on peut alors poser ces formes proportionnelles à i/^, y.^, y.^, y^ et l'on a une substitution lin('aire qui transforme une cubique gauche quelconque en la culiique du cas typique examinée plus haut. On |)eut donc passer d'une cubique à la forme typique et ■de même de celle-ci à une autre cubique arbitraire ])ar deux substitutions linéaires superposées. (D
16. La représentation do la cubi(iuo gauche i)ar une matrice convient bien pour l'étude des dégénérescences de la
(1) Quand l'Invariant / s'annule, la cubique dégénère en une droite et «ne conique à point commun. 11 est possible de déterminer ces éléments.pour tous ces détails, voir nette article Bull. Acad. Ilel// , niai l^XtT.
oo
cubique. Celle-ci se présentant comme intersection partielle de deux quadriques d"où on défalque une droite, peut dégénérer en : une droite et une conique, trois droites dont une rencontre les autres, deux droites ou une seule, un plan et une droite, un plan, une quadrique, enfin tous les .points de l'espace. L'étude de tous ces cas nous entrainerait trop loin ; nous ne parleronsici que des deux premiers.
Soient deux points distincts annulant la matrice de la cubique
gauclie
(ix (Ix II .
hx b'x h'x
et soient y et .^ deux autres points distincts, ditîërents des premiers et en ligne droite avec eux; alors on a, pour deu.\valeurs de k au moins
fly -\- /.' Oz (l'y -\- ka'z (Cy -|- k ((." z ,.
ly i /. ]j^: l/y | k b'z b"y -4- k b"z ' ~ '
ou, ])Our deux systèmes, au moins, do valeurs de k et p,
(ly -f- k (iz + :- by -f- : k bz = 0,
avec deux relations analogues. En y regardant 1, /.', p, }k comme quatre inconnues homogènes, ces relations sont vérifiécsp3ur deux systèmes au moins de valeurs (non proportionnelles) et l'on a
Qy az by bz = 0.
Réciproquement, si cette matrice est nullefl), on a des égalitésde la forme
!■ /. ((y -)- y. a'y -f- ■' ''ï't = *X À az + \i- a'z 4- ~' ''<" ■ = '*.
>. by -h [j. b'y 4- '' ^"v = 0, À bz + [^ b'z -f V b"z = 0,
que l'on ad litionne après avoir multiplié par 1, k, p, p k,
/. {ciy + A'az + ? bv + :Jibz)^ iJ. (//'v + ka'z + p b'y + p kb'z ) -f- V {a"y + ka'z -f p b"y -L p hb"z ) = 0 ;
(1) L'hypothèse où cette matiice est nulle identiquement est écartée, car alors toute droite y z contient deux points de la ligure et la matrice s'annule pour une quadrique (ou un plan double) ou pour tout point de l'espace.
alors les systèmes de valeurs «le p, A' qui annulent deux dcs^ parentJièses annulent la troisième ; ces systèmes sont au nombre de deux réels, imaginaires ou confondus, ou en nombre infini. Les équations (1) expriment que la droite y z qui contient deux points réels, imaginaires ou confondus, ou oo points annulant la matrice initiale est dans les deux plans suivants, où À, y-, -' ne sont pas tous nuls,
À cix -f ;-»■ 'l'y -[- •/ o."x = t), ^'hx + :>■ h'x -\- V b"x = II.
La réciproque est évidente, car en remplaçant une des colonnes de la matrice initiale, la première par exemple, p>ar 'f- ax-{- 'j.(i.'x-{-'^ a"x et y.Ox~\-iJ-b'x-^-'b"x, on voit que les points annulant à la fois ces deux formes ainsi que le déterminant a'oab"x — a"xh'x sont au nombre de deux, distincts ou confondus, ou en nombre infini.
Si donc une droite o annule la matrice \ cixbx ses équations sont de la forme ï À ax = 0, - > bx =0 et la matrice peut être remplacée par
ï À ax rt'x a"x !:
^y.bx b'x b"x !, '
la droite o doit faire partie de la quadrique a'xb",r — o"xb'x, ou en être une génératrice, soit du système a'x — :-'h'x = a"x — pb''x = 0 et alors o peut-être amenée, par addition de lignes, à annuler tous les éléments d'une ligne de la matrice, — soit du système a'x — <•> a"x = b'x — '■> b"x = 0, et o peut être amenée à annuler deux colonnes de la matrice. Mais, dans ce dernier cas, les quadriques
1 / ax a X , .
ï > bx b"x -
ont en commun deux génératrices de même système, savoir o et à' b" et elles se coupent encore suivant deux génératrices du système opposé, et la cubique annulant la matrice initiale dégénère en trois droites.
En résumé, si une matrice axbx s'annule pour une droite accompagnée d'une conique non dégénérée, la droite peut être amenée à annuler toute une ligne de la matrice ; et si la cubique dégénère en une droite rencon-
iraid deux autres droites, la première peut être amenée à annuler deux colonnes et chacune des autres à annuler toute une ligne.
Ce résultat met bien en lumière le caractère bidimensional de l'algèbre des matrices. ■ i'
17. Nous avons fait plus haut cette remarque : par l'élude do la matrice seule, on pénètre peu prol'ondémcnt dans la connaissance de la courbe représentée, la cubique gauclie.
En revanche on a facilement des extensions dans plusieurs directions.
Une première généralisation concerne le degré des
éléments; par exemple la matrice (considérée déjà dans « Cinq
Eludes.)
((x- a'.x a"x In- b'x h",
représente ime courbe gauche du cinquième ordre, située sur une quadrique et sur cx)" surfaces cubiques, ayant avec la quadrique une droite commune, et se coupant deux à deux, en général suivant une biquadratique de première espèce; ces biquadratiques s'appuient, en huit points sur la quiniique, etc.
18. Considérons, comme second exemple, une Sextique circulaire de genre deux. Prenons pour éléments de la matrice les ])remiers membres des équations de six sphères, en coordonnées cartésiennes rectangulaires
Si =1 ai {x- + .y- + Z') + bi .e -f cv // f d, :■ + e/
- Ci i-v' + i/' 4- ^') 4- «' (^ = i. -^ y^ 4, 5, 6) ;
ces sphères sont supposées indépendantes entre elles, cinq à cinq, c'est-à-dire que la matrice
M == (d In Ci di Ci
A) Exercice. Les surfaces algébriques engendrées par des bisécantes d'une cubique gauche sont toutes de degré pair. Pour avoir celles de ces surfaces qui sont d'ordre 2#?, il faut remplacer ),, .;., v respectivement par /y,.c'.v —t^^xCx. Cxo}x —axc'x. axb'x — a'xbx dans léquation générale liomogène, du «''='"e degré, /)/ (À, a, v) =^ 0. En particulier si n=^2, on a les surfaces du quatrième ordre engendrées jiar des bisécantes; la développable osculatrice de la cubique gauche appartient à ce dernier sj'stème {rf. Cinq Ehides, i>. 145. — Elude de quelques surfaces algébriques, p. 69).
■donne, par suppression d'une ligne, cinq déterminants non nuls; appelons Mi celui de ces déterminants ([u'on obtient en ^supprimant la ligne i et en donnant le signe -|- ou — suivant que i est impair ou pair.
La courbe v^ que nous étudions a pour équations
■elle est située sur les cx3- surfaces
celles-ci sont du quatrième ordre, à moins que le coefficient
(la
■de (.v- + y- -|- •^■-) ne soit nul. Supposons d'ailleurs la matrice
non nulle; riiyi)Otlièse contraire répond à une dégénérescence de 7g qui se réduit alors au cinquième ordre, comme on le voit par soustraction de lignes dans la matrice iEitiale.
En rendant les formes aS homogènes en ./•, ^, z, ii, j)uis iaisant ii =■ 0, nous trouvons pour l'intersection do nos surfaces du quatrième ordre avec le plan de l'infini, uniquement '{x- -\- y'~ -\- z-y ou le cercle imaginaire de l'infini compté double ; ces surfaces sont donc des cj/clides. Deux de ces surfaces, telles que
