Voici deux autres démonstrations du lemme
1° Si le résultant n'était pas homogène en y, il s'annulerait pour des valeurs non nulles de y dans le cas génér^al, ce qui est faux, puisque l'on peut former deux polynômes sans facteur commun;
2° Si dans la diagonale principale du résultant, on supprime un facteur Oq pour le remplacer par un certain facteur «a, il faut remplacer aussi un certain facteur bn par un coefficient b qui est à autant de rangs à gauche de bn que ak était à droite de Oq ; comme le degré en y est égal à l'indice des a et des b, il y a homogénéité en y.
Habituellement (v. p. ex. G. Salmon, Alg. sup. p. 50) le théorème de Bezout pour deux variables non homogènes s'établit au moyen des fonctions symétriques. Ensuite on peut exposer l'élimination de deux ou plusieurs variables, aussi par les fonctions symétriques et généraliser le théorème de Bezout ; nous renvoyons le lecteur au texte de G. Salmon (p. 53/7).
Il en résulte ceci : la condition d'existence d'un système de racines au moins pour n -\- l équations à n inconnues, non homogènes, est unique ; elle s'exprime par une seule relation. On en déduit aussi une méthode théorique d'élimination, et la propriété du résultant de w -f- 1 équations à n inconnues d'être o^ationnel quant aux coefficients des formes données.
104. Rappelons encore deux propositions connues que nous établirons ici j)ar un raisonnement différent de la démonstration habituelle
I. On sait qu'on appelle variété algébrique d'ordre k, un ensemble de oo" systèmes de valeurs satisfaisant à diverses équations algébriques. Nous démontrons qu'une variété
— If59 —
d'ordre n — 1 (2 par exemple) do.ns l'espace à n dimensions (3 par exemple) est toujours représenioble par U7ie seule équation, c'est-à-dire que les formes considérées /, {x, ?/, z) ont un diviseur commun. D'abord, par une transformation appropriée, on amène les formes /^ à être régulières en x; ensuite on peut supposer les // irréductibles, car autrement il faut combiner tous les facteurs irréductibles de la première avec tous ceux de la seconde, etc. Si les polynômes fi ne sont pas tous identiques, combinons deux à deux ceux qui dilïèrent : nous obtenons un nombre fini de courbes gauches dont chaque fois la projection sur le plan des yz s'obtient par élimination de x entre deux équations. Or, c'est un fait connu qu'il existe au moins un point (?/,i z^■^ ) extérieur à toutes ces projections; alors pour [y^ Zq) les équations /, ^=0 ne sont pas vérifiées pour une même valeur de x, ce qui contrarie l'hvpotlièse d'une variété commune à deux dimensions.
II. Quand sont réalisées les conditions d'existence d'un système, et d'un seul, de racines communes pour n équations, ces racines sont fonctions rationnelles des coefficients des équations.
La chose a été établie dans un chapitre précédent, pour une inconnue, quand on a formé la matrice résultante et calculé la racine commune. Supposons donc le fait vrai pour y, z, ...; entre les équations proposées éliminons 07; la matrice résultante a tous ses déterminants nuls pour un, et un seul, système de valeurs de?/, c^, ... ; donc par hypothèse, y, z, ... sont fonctions rationnelles des coefficients et aussi x qui se calcule comme il est dit à l'instant.
105. Résolvons maintenant ce problème très particulier, déjà rencontré plus haut : éliminer x de la matrice
a^ X -\- «2 by X -\- b-i Cl X -{- c^ 1] ^ a a\ X -j- a'", b\ X -j- b'^ c\ x -{- c'.j \ ~
D'après la méthode générale d'élimination d'une inconnue entre plusieurs équations, nous devons multiplier les déterminants extraits de la matrice par des exj)ressions du premier degré au moins ; 'nous choisissons ces expressions du premier degré exactement et à coefficients inconnus, Xj x -\- a^, ^^ x-{- p^
ïi ^ + Y2. 6t nous devrons identifier à zéro la somme desproduits, ce qui revient à écrire
d'où en égalant à zéro les coefficients de x^, â?% x, 1,
I «1 «1 «'2 I + I «1 ^2 «'1 I •+ \'^i^'\ ('■'i I I a^ rt, rt', I -f I «2 «1 ^'■^. I + I ^'•i ^2 «'1 I i «2 «2 tt'2 1=0;
ces conditions, satisfaites en général par oc' systèmes de valeurs des a, p, Y, doivent l'être ici par une double infinité, donc (en écrivant (è, c\ ) pour h^ c\ — Cy h\, etc.)
(C, rt',) (Ci«'..) + (^2^'))
(aj^/'i) {r',b'.,)-]- {a,b\) (^ c\) (c, a,) (a, h\)
(c, rt'2)
(rt., ^'2)
f^, c'2) + {b., c\) ib, c'2) ic^a'.: -j- (c,«',) (c, «'2) («, ^/,)+ («2^',) (rt,^^',)
Les quinze déterminants D à quatre lignes, extraits de M, doivent être nuls; mais, si les coefficients a, b. c sont fonctions non homogènes de y, z par exemple, nous savons, pour l'avoir vu antérieurement, que la matrice donnée
s'annule généralement pour oo' points; en éliminant x, on a 00 1 points (y, 3) d'un plan, et cette variété doit s'exprimer par une équation unique A = 0. Les déterminants D ont donc lefacteur A commun, et les facteurs non communs sont tels que la variété qui les annule a aussi ses points sur A.
Il s'agit de trouver A : on voit d'abord, en prenant dans M les trois premières lignes, avec une des dernières, ou vice versa, apparaitre un facteur commun
{b,c\) ib,c',) -f (^, c',) CO.c',) (c, a\) (c, a'.,) + c, a\} c, a\^ {a,b\) {a,b':) + {n, b\) {a,b',}
Et les facteurs non communs, éléments des colonnes extrêmes
de M, s'ils s'annulent tous, annulent aussi le déterminant écrit en dernier lieu. Celui-ci, nous le verrons, n'est autre que le facteur A cherché : pour le transformer, multiplions par colonnes, le déterminant précédent et celui-ci :
nous obtenons comme produit
I cil ^2 «'l I I «2 ^] ^'3 '
I a\ rti a — 1 «2 ^h «'1 ^ X
I «1 «3 a'i I I a\ rti a', I
I a\ «2 rt'2 1
en supprimant le facteur précédemment introduit | «j a.^ a'j | ou — I «3 aj l'i'i I , on trouve
I Ui a\ a.2 I ! «1 a.i a'2 1
(nous avons changé les signes des éléments de la première colonne).
Montrons que A divise tout déterminant extrait de M en prenant deux des trois premières lignes et deux des trois dernières, par exemple les lignes 2, ;>, 4, 5 : multiplions, J3«r colonnes, le déterminant en question et celui-ci :
dans le produit, changeons les lignes en colonnes pour la facilité des écritures ; voici ce produit :
— rt, (ôdy) — «, {byc'.^) + I a^aoci'i 1 — a^ {b.^c\) I a^ a.a!., I - «, (^^c'o)
a'iib.c'^) I «artirt'., I — C2 («j/>'i) I «3a,a'2 1 — C2 (rti'yg) — C2 («,^'1)
— rt'i'^iC'i) I a\a]a'.2 1 — «', {b^c'.J — a\ Jj.f\) I a\cha'.
a\a\a'\ \ — c"3(rti6'j — d, {ajj'^) + I ci'./c,a\ \ — dç,{a.fi\) — d^{a.jy^)
nous pouvons supprimer, dans les colonnes extrêmes, les facteurs {b^dy) et {a.^b'^) introduits pour le calcul, puis retranclier, des colonnes 2 et 3 la colonne 1 multipliée par
(^1 <^'a ) + (^^2 ^1 ) et [b.j^ c'., ), et faire des opérations analogues pour les dernières colonnes ; enfin ajouter la ligne 1 à 3 et 2 à 4, on obtient
! Cil '^■' '^'''x 1
— ch
et ceci est le produit de A par a\ c^ — «i c'.,.
Ainsi tous les déterminants extraits de M ont la forme |j. A et si tous les facteurs [j. s'annulent, il en est de même de A, car la chose a été constatée pour six des facteurs p.. La véritable .résultante de notre élimination est donc A = 0.
106. Il est bon de soumettre les méthodes générales à la pierre de touche d'un exemple particulier, comme nous l'avons fait au paragraphe précédent; car elles doivent conduire au résultat; mais dans l'occurence, le calcul a été long, et l'on peut arriver plus vite en suivant d'autres chemins. Nous en parlerons dans un instant; mais auparavant faisons une remarque.
Les trois déterminants extraits de la matrice considérée donnent la relation
et deux analogues.
Or A = 0 exprime que les trois couples de racines de ces équations sont -e?* involuHon, et nous venons de voir que c'est aussi la condition d'une racine commune. Donc, dans cet exemple particulier, les trois couples de racines ne peuvent former qu'une involution dégénérée (l) ; de plus, par exception à la règle générale d'élimination, on aurait pu conduire le calcul du paragraphe ci-dessus en faisant précéder la matrice d'une ligne de formes de degré zéro.
Les conditions d'existence de deux racines communes aux trois équations en œ sont que le déterminant
(1) Si les coefficients a,,, bo, c^, a'2, b'.}, c'.^ sont fonctions linéaires de y, les trois déterminants représentent trois coniques par trois points (non par 4), formant réseau et non faisceau; elles ne peuvent pas donner une involution sur l'axe des x.
soit de rang 1. Dans ce cas, multiplions, par colonnes, la matrice nulle
Il (b^ c\) {b, cg + [b, c\) Il et la matrice l]«i«3li; il vient
I «1 a., a\ I ! a, «1 rt', i
et d'après le théorème de Bezout-Cauchy, ce produit est nul. Une démonstration analogue réussit pour les autres éléments du déterminant A sous sa forme transformée,
I «1 a\ ^2 I \ di «2 rt', I
sous cette forme donc A est de rang zéro. Réciproquement, si les quatre éléments de ce dernier déterminant sont tous nuls, les mineurs {biC\),... sont proportionnels aux mineurs (èic'2), ... et aux mineurs (^2^1)' ••• ^^ ceux-ci proportionnels aux mineurs {b.^ c'o), •.. , ainsi A sous sa première forme est de rang 1.
Enfin, si les trois équations quadratiques en x ont une infinité de solutions communes, on voit aisément que A sous sa première forme a tous ses éléments nuls.
107. Passons à d'autres méthodes pour éliminer ,c des relations
«, ^ + «3 bi a: -\- b.^ c^ ce -[■ c^ a\ oc 4- a'.j b\ x -\- b'.^ c', œ + c'.^
I. En faisant précéder la matrice d'une ligne d'éléments rtj, &i, C'i et en développant le déterminant obtenu, on trouve
(1) 1 rt^ a^a\\x -\- \ «1 «2 ^^'2 1 ^ ^•
Au contraire, en intercalant une ligne d'éléments «\, ^'1, d^, et en développant, on trouve
Si la matrice initiale s'annule pour une valeur do x, celle-ci vérifie les équations (1) et (2).
Réciproquement, si les équations (1) et (2) ont une racine
commune, celle-ci annule, comme on l'a dit à diverses reprises, soit la matrice initiale, soit la suivante
Cl os -\- c.^
a\ X -j- a' 2 b\ X + ^'2 c\x -\- c\ or X disparaît de cette dernière, et les déterminants qu'on en extrait sont
quand ils sont tous nuls, nous venons de voir que la matrice
initiale admet deux valeurs de x.
Ainsi on peut remplacer la condition, pour la matrice initiale,
d'admettre au moins une valeur de x, par la condition d'une
racine commune pour les équations (1) et (2), et celles-ci
donnent
1 rtj «2 a' y r *" I «1 a\a'.2 1
en égalant ces deux valeurs de x, on retrouve A sous la seconde forme ; ici on a, non seulement la condition d'existence d'une valeur de x, mais encore cette valeur même.
IL Le procédé se présentant le plus naturellement pour éliminer x de
a■^ X -\- a-i b^ X -\- b., Ci x -\- c, a\ X -j- a'a b\ X -j- b'.^ c\ x -\- c',.
consiste à supprimer la troisième ou la seconde colonne. On a ainsi, en écriture abrégée,
x''\ayb,\ + X (1 «1 ^^., 1 + 1 «2 ^'i 1) -+• 1 «2 ^2 1 '- 0. X'' 1 «1 Ci ! -\- X (1 «1 c^ 1 + I a, Cl 1) + 1 rt^ c, I = 0.
Multiplions la première de ces relations par | a^ Cj |, la seconde par | a^ b^ I et soustrayons, nous obtenons
■~ {\a,b,\-\-\a, b, |) 1 o, c, | - (| a, c^ 1 + | rt^ c^ 1) | a, b, \
Au contraire, en multipliant par 1^2^2 1 ^^ I <^2 ^2 1' 0° ^ de même
^ (1 rti ^^2 I + I C'-'^^ I) I Q^-> C2 I — (i ^^1 C,^ I + I a-i Cl I) I ^2 (^■^ I — 1 «1 ^1 I • I «2 ^2 I + I «I Cl I • 1 «2 ^2 I
Eq égalant ces deux valeurs de x, on a la condition cherchée sous la forme d'un déterminant D assez encombrant et que nous n'écrivons pas. Si D est nul, ou bien la matrice initiale s'annule pour une valeur de x, ou bien les éléments de la première colonne, a^X'\-a^ et d-^x-^ci!.^ s'annulent pour une même valeur do x, et alors a^ a'.^ — a.^ a\ =- 0.
Or, si l'on prend le déterminant A sous la forme
•et qu'on fasse la mulliplicalion par lignes avec
on trouve pour premier élément
ou développé
«2 «, ri\ — a\ n^ a' 2 b., rt, //i — a\b^ b'^l
