C.y (Il C -i ^^ C' ] C j C

qui se réduit à | «, ^1 1 • | «2 c J — 1 «i cj • | a^ h^ \ ou au premier élément du déterminant D.

Pour le second élément,

a2 I a^ a\ a\ ( + a'2 1 ci' 2 «1 «2 1 ^

«2 « 1 — a '2 cil

«3 ^'i — «'3 bi

a,c\ — rt'aC,

1 «, a, I . \b,c,\ -\- \a,bi\ • \ a,c,\ - \a,c,\ • \a,b,\;

mais d'après une identité connue (de Pappus), on peut remplacer le premier produit \ a^a-^] ■ Ib^c^l par | a, ^3 1 • I «2 Cg I + I a, C2 1 • I b.^ «2 i et l'on obtient

\a,c,\ {\a,by\-\-\a,b,\) - \a,b,\ (\ a,c,\ + \ ayC,\)

■ce qui est le second élément de la première ligne du déterminant D. Même vérification pour les éléments restants; ainsi la ■condition trouvée jusqu'ici est

et pour avoir la vraie condition chereliée, il faut enlever le facteur parasite (a-^ a\ — a^ a\ ).

Résultat paradoxal : les valeurs trouvées ici pour x sont égales à la valeur plus shnple obtenue dans un passage précédent si

«1 a'2 — a\ a.2 diÔère de 0 et si à = 0 ;

on a donc une fraction ne pouvant pas être simplifiée dans le cas général, mais seulement dans des circonstances exceptionnelles. Voici l'explication du paradoxe : la valeur simplifiée de r étant m : n, une des valeurs trouvées à Tinstant a pour expression

(ma^ -{- 7n'a\) : (n a^ -{- n'a\),

le déterminant A étant désigné en abrégé par

or

na.

et ce produit s'évanouit si A ou a\ s'annule. Même vérification pour l'autre valeur.

108. Enfin, pour résoudre le même problème, nous avons autrefois employé le procédé suivant. Appelons p le rapport des éléments de la seconde ligne à ceux de la première dans la matrice initiale. Nous aurons la relation bilinéaire

et deux analogues.

Multiplions-les par x : nous aurons en tout six lelations linéaires non homogènes en p x'^, p x, x^, p, x, compatibles entre elles si la matrice initiale admet une valeur de x, donc

en développant par le théorème de Laplace, on retrouve A sous sa deuxième forme.

Réciproquement, si ce dernier déterminant est nul, il j a une même relation linéaire, à coetïïcienis À, ijl, v, X', u.', ■/ non tous nuls (par exemple •/' diftère de 0) entre les éléments de chaque colonne. En multipliant les six relations ainsi obtenues par P a-, orr, p ^, p, iT, 1 et additionnant, on a l'identité

(>^ a? -L >') (a^ p X -{- a\ X -f- <'J'2 - -f- a'a) + {v- -r + !^') (Jb, ? X + b\ X -'- b, p + h\) 4- (v ^ + v' ) (Cj p â: + c', iC 4- C, 'r ^-c!%) = 0 ;

or, les deux polynômes a^^x-^,.. et &ip.^+... ont deux systèmes de racines communes p, x\ ils annulent le produit des deux dernières parenthèses, et ne peuvent annuler ^) x-\-'»\ car cette expression n'admet qu'une valeur de x et à celle-ci ne répond qu'une valeur de p.

C'est cette dernière méthode qui paraît devoir se généraliser le mieux pour les matrices plus compliquées, comme on verra plus loin.

Et d'abord elle s'étend immédiatement au cas d'une matrice de deux lignes et d'un nombre quelconque de colonnes. Pour la facilité changeons un peu la notation ; soit donc à éliminer x des relations

Ui X -j- bi Ci X -j- ai

on a les relations bilinéaires

(Il ai '^ X -\- hi 0 -\- Cl X -j- di =■ 0.

Si ces équations sont satisfaites pour un système au moins devaleurs de p et X, on a

M = \\ ai bi Cl cU , = 0 {i = 1, 2, ... n).

De plus, en prenant trois quelconques des n colonnes, on peut éliminera?, ce qui donne

(2) " {abc) {bcd) — {ahd} [acd) = 0,

où les indices prendront toutes les combinaisons trois à trois des nombres 1, 2, ... n.

Réciproquement, si M est nulle, mais de rang 3, on peut résoudre trois des équations (1) linéaires en p ^, p, ^, par exemple les trois premières, et si la relation correspondante (2).

■€st satisfaite, les trois premières équations (1) sont vérifiées pour un même système de valeurs de p et a? et, à cause de M =0, les autres égalités (1) sont aussi satisfaites.

Si M est de )^ang 2, on peut résoudre deux des équations (1) ; ailles donnent deux systèmes de racines p, œ et ils vérifient les autres égalités (1).

Si M est de 7'ang 1, on peut résoudre une des équations (1) et les oo systèmes (p, œ) qui la vérifient satisfont aussi aux autres. Enfin si tous les coeflîcients a, b, c, d sont nuls, les équations (1) admettent toutes les valeurs de p et x.

Dans ces trois derniers cas, les relations (2) sont évidemment satisfaites.

Bref, les conditions pour une racine commune x au moins sont ïintersection 2'>artielle de A/ = 0 avec une des relations (2), savoir celle qui correspond à une matrice partielle, non nulle, à trois lignes, extraite de M. Ces conditions sont exprimées par l'équation M = 0 avec toutes les relations (2).

Quand n= 4, M est un déterminant, et si les coefficients a, b, c, d dépendent de trois coordonnées dans l'espace ordinaire, on a une courbe, intersection partielle de deux surfaces algébriques. Eu particulier, si les a, b, c, d représentent des plans de l'espace à trois dimensions, pour cliaque valeur de x, la matrice initiale représente un groupe de quatre points (voir notre premier cliapitre), et tous ces oo^ quaternes sont sur une courbe gauche intersection partielle d'une surfaceMdu quatrième ordre et d'une autre du sixième. Dans ce cas, en appelant \ A B C D\ le déterminant conjugué de \ ab c d \, les équations •des deux surfaces sont

M = 0, Ai Ih = Bi Ci (^ =- 1, 2, 3, 4)

Justifions et précisons l'expression « intersection partielle « ■dans le cas de n = 4 et des formes linéaires à quatre variables homogènes, pour fixer les idées. La relation (2) relative aux trois premières lignes de M par exemple représente une surface .Sg ayant une courbe double du sixième ordre, savoir

= Il ai bi Ci di il = 0, (i = 1, 2, 3)

cette courbe est simple pour la surface Af =0. Pour un point des deux surfaces, extérieur à yg, il y a, comme on vient de le

montrer, un syslème de valeurs de œ et p vérifiant les quatre équations (1). Mais pour un point de Yq, la matrice des trois premières lignes de M est nulle, donc M s'évanouit quelle que soit sa dernière ligne et les deux (au moins) systèmes de valeurs de :v et p qui vérifient les trois premières équations (1) ne satisfont pas nécessairement à la quatrième. De l'intersection de Sq et M, il faut donc défalquer la courbe y^ comptée double. Reste une lisne du douzième degré.

Quand )i = 4 et que les formes a, b, c, d, ... sont linéaires à cinq variables homogènes x^, cc.2, oo.^. .r^, t. la matrice

; ax bx Cx dx a'x b'x c'x d'x

représente la courbe rationnelle d'ordre quatre dans l'espace à quatre dimensions ; l'élimination de x^ donne la projection de cette courbe dans l'espace ordinaire, donc une c^ rationnelle ; M =0 est la quadrique unique contenant c^, et les relations (2) représentent quatre surfaces cubiques circonscrites.

109. A propos du problème résolu à l'instant, considérons la matrice du triangle,

V a-x-\- a., y -\- a, A, œ -\- h.-, y + h^ c, x + c. y -\- c. Il a'i ^ + «', U -\- <3 à\ X + h'., y + h\ c\ x + c',y -\-

nous l'appelons ainsi parce qu'elle s'annule en général pour trois systèmes de valeurs de x, y, c'est-à-dire pour trois points du plan. Il s'agit de savoir quand ces points sont confondus ou quand ils sont en nombre infini.

A la seconde question se rattache ce résultat de notre mémoire couronné de 1913 (nous renvoyons à notre chapitre suivant pour la démonstration) : la variété représentée ijeut dégénérer en, un point et une droite, — une droite seule, — une conique {ou deux droites), — tous les points du plan.

Occupons-nous donc de chercher quand les points représentés sont réduits à deux ou un. Ecrivons les deux tableaux {-)

bl

Si l'on a, pour tous les couples d'élémenis liomologues des deux tableaux (■:),

la matrice T s'annule évidemnpcnt pour tous les points du plan. Si ensuite la proportionnalité existe entre les éléments des tableaux {-) colonne par colonne, c'est-à-dire si

"ly t ^/ 1 = 0 (i=:= 1,2,3).

Cl I 0 t C ; i t

la matrice (T) s'annule pour les points à lintini des axes et pour l'origine (ou pour les trois sommets de triangle de référence si l'on remplace x, y par des variables homogènes), donc pour trois points distincts, ou peut-être pour une infinité de points.

Supposons donc enfin que deux colonnes liomologues des tableaux {-.) ne soient pas proportionnelles et que par exemple

(«1 ^j) --= I '^' h' I diffère de 0. I ^* 1 ^ 1 l

L'évanouissement de (Tj équivaut à

( P (a, X -\- a.^i/ -\- rtg) + a\ x -{- a'^y -{- n\ = 0,

i p (Cj a: -(- c, y -\-Co) + c\x + c'2 y + c'.j = 0;

(on peut remplacer p par p : a si l'on veut éviter l'infini) ; en multipliant les équations [t) respectivement par {by c\ \ (c^ a\ ), («1 b\ ) et ajoutant, on obtient une équation, qui, d'après l'hypothèse («j b\ ) difitère de 0, peut remplacer la troisième des équations [t] :

P i/ I a, ai a', I -j- p | a.^ a^a\\ -\- y \ a'.;, a, a\\ ^ \ a\ a, a\ | -= 0,.

1° Si le déterminant M =

I «2 a, a\ I I «3 a, a\ \ I a', «1 a\ I I rt'j a, rt', I

difîèrede zéro, l'équation précédente définit une transformation linéaire de pen?/; appliquée à l'équation cubique en 0 qui résulte de l'élimination de ^ et ^ entre les équations {t), cette transformation doit fournir, à un facteur constant près, l'équation cubique en y résultant de l'élimination de x dans la

matrice (Tj, élimination faite d'après le paragrapiie précédent; €t vice-versa.

2° Si ce déterminant est nul, la relation entre p et y prend la forme :

consi. (p -^ eonst.) (^ -|- *^on*f-) =" '^

et se vérifie pour une valeur de p avec toute valeur de y et pour une valeur de y avec toute valeur de p ; cette valeur spéciale de P, portée dans les deux premières équations {t) donne en général un système de valeurs àQ x eiy, et la valeur spéciale de y donne de même deux valeurs de p et x. Donc, en général, dans ce cas, il y a trois valeurs de p et seulement deux de?/; quant aux exceptions, ce ne peut être que pour toute valeur de p et alors les coefficients de l'équation cubique en p sont tous nuls; ou bien il y a une infinité de points {x, y) pour une même valeur de p, circonstance à examiner maintenant.

Si une valeur de p répond à une infinité de points, pour cette valeur de p les trois équations {t) représentent la même droite, et le déterminant

R = \ p a? + a'i p ht + ht p Ci ^ c'i \ [i = 1,2, 3)

est de rang 1 ; d'où en particulier

Il p ai + a'i p ht + b'i p ci -f c'i \\ = O {i = i, 2)

d'après un passage précédent on tire de là deux valeurs de p qui doivent être égales,

I a^ rt'i «3 f 1 rt, rt, rt'j I '

on en trouve quatre autres en choisissant autrement les lignes du déterminant R et l'on a enfin

^1 a', a'-, I I aj a'i a'., i | a^ a, a'^ | I a!^ a^ a'., [ I a';, a,à.^ 1 I a'.j a, a'g | «1 a'i al I 1 a, a^ a, [ | a^ a, à.^ I | a, a, a , | \ a^ a,a i\ \ a, a^ a'g \

la matrice partielle obtenue en ne prenant que les quatre premières de ces six colonnes s'évanouit en même temps que la matrice totale, à cause de l'hypothèse (a, b\ ) diffèrent de 0, donc aussi

Il ^,1 î^; ^l „ difière de 0. car si les colonnes 2 et 3 du déterminant R sont proportionnelles

à la colonne 1, sans que celle-ci s'évanouisse, les colonnes 2 et 3 sont aussi proportionnelles entre elles.

Si l'on avait conduit le calcul dans l'hypothèse où || at a'i \\ diÔère de 0, on aurait dû traiter le déterminant R par lignes, et non par colonnes et l'on serait arrivé aux conditions suivantes exprimant que la matrice initiale admet une infinité de points [x, y) pour une même valeur de p,

{aa'b ) {a bb') {acvc ) {a ce') {aa'b') {a'bb') [aa'c') {a'cc)

Il nous semble peu util*; de rechercher ici les conditions de dégénérescences ultérieures; il nous suffit de savoir (voir notre chapitre suivant) que dans ces dégénérescences, les coefficients de l'équation cubique en p sont tous identiquement nuls. Cette équation R = 0 peut être développée dans le sens des lignes et des colonnes, et s'écrire

p3 I rt, a., «3 1 4- p- [| rt, a, a'g I + 1 «i «'2 «3 1 + I «'1 «2 «3 11

+ I a\ a', a', | = 0, ou bien

p3 (abc) -f p- [{abc') + (ab'c) + (a'bc)]

+ Piiab'c') + {a'bc') + {a'b'c)] + {a'b'c') = 0(t).

Si les équations {t) sont vérifiées simultanément par deux systèmes seulement de valeurs de p, œ, y, l'équation en p n'a que deux racines, donc elle a une racine double; réciproquement, si cette équation a une racine double, les relations (t) représentent, pour cette racine double, trois droites qui ont, en général, un seul point commun, ou exceptionnellement coïncident; et cette dernière circonstance a été examinée.

Pour que la matrice {T) représente trois poi^its dont deux confondus, il est nécessaire et suffisant que le discriminant A de l'équation en p s'évanouisse, et que les

(1) Ces deux écritures sont bien identiques, car évidemment {abc) ^ i ai 0203 I, et par ex. le coefficient de 0^ dans les deux polynômes est le résultat du procédé t'Olaire appliqué à la fonction {abc) de neuf variables combinée avec neuf nouvelles variables a'i, è'i, c'i, a'2, .. ; ce procédé polaire s'effectue indifféremment par lignes ou par colonnes.

conditions pou?' une infinité de points ne soient pas satisfaites.

Avec la même restriction, voici les conditions pour que les trois points soient confondus en un seul,

car l'équation en p a une racine iripk .

Signalons ici, comme sujet de travail, l'application de ces résultats à des systèmes doublement infinis de triangles obtenus en introduisant deux paramètres variables dans la matrice du triangle, ou par exemple aux congruences de triangles obtenues par section plane d'une congruence de cubiques gauches, notamment des deux congruences de cubiques gauches auxquelles nous avons consacré des cliapitres précédents du travail actuel.

Terminons par une remarque. Si de la matrice {T) on élimine œ comme il est explique dans le paragraphe ci-dessus, on obtient une équation cubique en y, telle que

Ey = 2/3 [| «, a, a\ I • I «;3 a\ a'.^ I — I «i fh. ^^'1 I • I «1 ol\ «'2 11 -f y- 5 + ?/ C + [| «1 «3 a\\ • I «1 a-, a'., \ — \a^ a-, a'.^ | • 1 «1 ^'i a'^ |] - 0:

B étant la forme polaire du coefficient de ?/^ l'onction des six variables a.^, b.,, c.,, a'.^, b%, c\, combinées avec six nouvelles variables ^3, ^^3, C3, a'3, h\, c\, et C ayant une signification analogue.

Or, cette équation en y ne peut pas nous renseigner, comme celle en p, sur les cas de coïncidence des points T, puisque l'équation en y peut avoir une racine double sans que deux points 7 coïncident. On le voit encore de la manière suivante.

Si l'on a en même temps,

diffèrent de 0 et M diflèrent de 0,

une des équations {t) peut être remplacée par la relation bilinéaire en p et y, et celle-ci, puisque 3/diflèredeO, est une transformation légitime de p en ?/; appliquée à l'équation en 0, elle donne une équation cubique en y à coefficients du douzième ordre en a,b, c, ... Cette équation doit être identique à Ey. F^,.

OÙ i'e désigne un polynôme du sixième degré en a, h, c, ... Le discriminant de celte nouvelle équation en tj est égal au discriminant Z)y de Ej/ multiplié par {Fq y, puisque tous les coefficients sont multipliés par F^. D'autre part, d'après la théorie des invariants, le discriminant de l'équation p transformée en y est égal à celui Dp de l'équation primitive multiplié par la sixième puissance du module M de la transformation, donc

si donc Dj/ est nul, c'est que Dp ou M s'évanouit, résultat trouvé plus haut. Pratiquement, l'équation en y est donc moins utile que l'équation en p.

En passant, à titre de curiosité, voici un autre exemple plus simple d'identité obtenue quand on élimine l'une ou l'autre variable d'un système d'équations : soient

axy -{- bœ -{- c y -{- d =0, a'ory + b'x -\- c'y -\- d' =^0;

en éliminant œ on obtient

y- {ca' — ac'} + y {cl/ — bc' + du' — ad) + db' — bd' = 0,

et la condition de racines égales est

(1) 4 {ca — oc') {db' — bd') - {cb' — bc' + da' — ad )si l'on élimine y, on trouve pour la même condition,

(2) 4 {ba — ab') [de' — cd') - {da' — ad' + bc' — cb')- ;

les conditions (1) et (2) sont équivalentes ; on le contrôle a postoHori, car la différence des seconds membres est 4 {cb' — bc') {da' — ad), qui est aussi la différence des premiers membres en vertu d'une identité connue de la théorie des invariants des formes binaires, (Cf. notre article. Conséquences diverses d'une formule d'algèbre. L'Enseignement mathématique 1908).

110. Soit ensuite à éliminer x d'une matrice de douze formes linéaires,

ax + b dx 4- // a"x + b" a"'x + b'"

ex -f d c'x + d' c"x + d' c'"x + d'" - 0;

ex -^ f éx -\- f e"x + /" e"x -^ /'"

-on en déduit la relation

<1) p ajc ^ p l> -\- :! ex -{- '' d -\- ea: -{- t = 0

et trois analogues. Muliiplions-les par x et x- ; nous aurons

douze égalités linéaires homogènes

en p a;% px-, p x, p,

^x^, <3X-, <yx, T, x^, x~, œ, 1, satisfaites par des valeurs non toutes nulles, donc

rt."

Réciproquement, si ce déterminant est nul, il y a une môme relation linéaire entre les éléments des colonnes. En multipliant par p^3, px-, px, etc., et additionnant, on a une identité telle que

'(2) '^ {p ax -\- p b -\- <^ ex -\- :! d -\- ex -\- f)

où par exemple a, p, y ne sont pas tous nuls. Si les trois dernières relations (1), pour une certaine valeur de^c, représentent une seule et même droite en p et t, la première équation (1) représente, pour la même valeur de x, une autre droite ayant au moins un point commun avec la précédente, et les quatre équations (1) sont compatibles. Dans le cas contraire, on peut résoudre deux des trois dernières relations (1) ; elles donnent p et (T en fonctions rationnelles de x et en substituant dans l'identité (2), on est ramené à une identité de la forme

la seconde parenthèse ne peut avoir trois racines communes avec \i^x^ -\- ... , donc il y a au moins une racine commune à \y.x^ -{- ... et [jL'a?3 + ... ; si la première parenthèse se réduisait -au second degré, le premier produit serait du quatrième degré.

et \t.'œ^ + ••• du second ou a'^- -]-••. du premier ; donc encoreune racine commune, peut-être infinie, en œ, pour [a^^ + ••• et \}.'x^ + •.. ; derechef les quatre relations (1) seraient compatibles. On peut éliminer de même œ d'une matrice à l lignes et ^ -|- 1 colonnes d'éléments linéaires et même, en imitant un passageantérieur, d'une matrice à l lignes et l -\- k colonnes (i).

111. Enfin pour prendre un exemple où les formes ne sont pas toutes linéaires, soit à éliminer ^r de

aœ- -\- bœ -{- c mx -\- n px -\- q (XX- -j- Vx -j- C m'x \- n' p'x -\- q'

on aura les relations

I P ax- -\- ç, bx -\- ^ c -{- n'x- -f b'x + <^' ■

(1) ' p mx -]- p n H- 7n'x + ^-' = 0, » ?P -T^ + ? '1 + p' ^ -V Q' =0 ;

multiplions la première par x, les deux autres par x eix" : nous aurons en tout huit équations homogènes en p x'^, p x-, p x, p,. x^, X-, X, 1 ; donc le déterminant des coefficients s'éVanouit.

Réciproquement, si ce déterminant est nul, on a une même relation linéaire entre les colonnes ; en multipliant par px^, px^, p X, p, x^, x^, T, 1 et a-dditionnant, on a l'identité

i (p ax' -\- p bx -\- ? c -{- a'x"- + b'x + c') {o^x-\- ?)

(2) < 4" (p mx -\- pn -\- m'x -\- n') (X x- -\- [x x -{-y)

où les trois seconds facteurs ne sont pas identiquement nuls : 1° si c'est a^ -j- j3 qui n'est pas identique à zéro, les deux valeursde p et X qui annulent pmx-\-... et ppx -]-.., annulent le premier produit, et une seule valeur de x annule aie -j" ? doncun système au moins annule pax--\~...; 2° si c'est lX'-\- ,},x-\-'' qui n'est pas identique à zéro, les trois systèmes qui annulent p ax- + ••• et ppx -\- ... annulent le second produit et deux seulement peuvent annuler le second facteur, etc. Pour plus de précision, on peut, comme au paragraphe précédent^ transformer l'identité (2) en une identité en x.

(1) Exercice, Eliminer a; et y de

a'ix -\- b'iy -j- c'i