CHAPITRE X

Variétés algébriques de dimensions exceptionnelles

112. Un système d'équations algébriques définit un ensemble de variétés algébriques dont la dimension la plus élevée soit ô. Le problème suivant se pose fréquemment dans les applications (l) ; combien de relations (et lesquelles) doit-il exister entre ies coefficients pour que la variété complexe représentée soit de dimension supérieure à 5? Le cas particulier où le système d'équations est extrait d'une matrice constitue un de nos quatre énoncés de 1913.

Ni le problème général ni le cas particulier n'ont été résolus jusqu'ici. Indiquons seulement dans quel sens on peut pousser les recherches, en résolvant quelques exemples très simples.

Nous cherchons d'abord les couples de courbes planes ayant une infinité de points communs.

Deux équations à deux variables, respectivement d'ordre m et n {m^ n) représentent deux courbes dans un plan. Pour que la première contienne la seconde comme partie intégrante, il faut un nombre de conditions égal à

?i (n — 3) mn >

car on peut multiplier l'équation de la seconde par une forme d'ordre m — n k coefficients inconnus; le nombre de ces coefficients homogènes est

(1) Notamment dans le problème général des bisécantes singulières des congruences de cubiques gauches (voir notre mémoire couroimé 1913).

alors les deux équations sont identiques, ce qui implique - m (m + 3) -(- 1 conditions et, après élimination des coefficients inconnus qui interviennent au premier degré, il reste

- m (m + 3) + 1 — ~ {ni — n) {m — n -\- ■)) — 1 =

conditions ; ce nombre s'écrit encore

Ces conditions sont indépendantes, car prenons une courbe fixe c„ d'ordre n et multiplions son équation par celle d'une courbe variable d'ordre m — n ; nous obtenons un système

linéaire -(m — n) {m — 7i -\- 3) fois infini de courbes d'ordre

on ayant Cn pour partie, et ce sont toutes les courbes Cm ayant Cn pour partie. Les courbes définissant le système sont indépendantes, puisque c„ est facteur commun et que les autres facteurs sont des produits distincts de puissances de x et y.

Donc, parmi les oo^ "* ' courbes d'ordre m, il y

en a oo^ qui contiennent C/j, et 1 obligation

de contenir c^ impose aux coefficients des courbes d'ordre m, des conditions indépendantes en nombre

En d'autres termes, si les - m (m -|- 3) + 1 coefficients d'une Cm sont des coordonnées homogènes dans l'espace à -m(m-f 3) dimensions, les points répondant à toutes les courbes Cm qui contiennent une Cn donnée décrivent une variété à p (m — n) (m — n 4- 3) dimensions (Il

(1) L'expression condiiion't indépendantes est prise ici dans un sens restreint; dans une acception plus large, elle signifierait que des conditions cessent d'être indépendantes quand une partie d'entre elles

Ensuite, pour que deux courbes Cm. Cn dégénèrent et aient en

commun une courbe d'ordre p (p < n ^m) à - p (p -f 3)

coefficients non homogènes inconnus, il faut des conditions en nombre

et en éliminant les coefficients de la courbe j9, il reste un nombre de conditions égal à

ce nombre est un maximum, car les conditions pourraient ne pas être indépendantes. D'autre part, si l'on écrit que les courbes Cm, Cn sont respectivement le produit d'une cp et d'une

Cm — p OU Cn—p, toutes trois inconnues, les / = -m {m-\-3)

-\- -:^ n (n -\- 3) coefficient de Cm et Cn sont des fonctions

rationnelles de