V- = ^ PiP + 3) + ^ {m — p) m — p

-i- ^ {n - p) in—p-{- 3)

paramètres non homogènes, et ces relations définissent une variété quadratique à i>. dimensions au plus; car tout système de valeurs des |jl paramètres donne un seul système de valeurs des >. coefficients, sans quoi une courbe Cm (ou c«) composée d'une courbe Cn déterminée et d'une Cm.— p (ou Cn — p) déterminée pourrait être indéterminée; par contre, il n'est pas impossible

entraine les autres, comme par exemple les conditions pour un point d'être sur trois surfaces cessent d'être indépendantes seulement si les trois surfaces appartiennent à un même faisceau. Mais ici nous exif?eons en outre que les trois surfaces n'aient qu'un nombre fini de points communs, et d'une manière générale, que h conditions imposées à r quantités sont telles que les points d'un espace Sr qui y satisfont décrivent une variété à r — h dimensions. Evidemment si h conditions sont indépendantes au seni^ restreint, elles le sont a fo/ tiori au sens large.

a priori que tout système des X coefficients vérifiant ces relations réponde à une infinité de systèmes des \^. paramètres. Les points de cette variété sont donc soumis à un nombre minime de X — |^ conaitions ; mais un calcul facile montre que À — [JL égal à

Ce nombre, étant à la fois maxime et minime, est le nombre exact de conditions indépendantes imposées à deux courbes par le fait qu'elles ont une partie commune d'ordre p.

La dérivée de

par rapport à p est

elle est positive tant que m ~{- n -\-- dépasse 3 p ; donc le

nombre de conditions pour que les courbes aient une partie commune d'ordre p augmente quand 2^ prend les valeurs

1, 2, 3, ... sans dépasser - (m + w) + - ; après que p a

dépassé cette valeur, le nombre de conditions décroît jusqu'à ce que p devienne égal à n.

Toutefois pour p = 1, le nombre de conditions est m -f ^ et

pourp = n, il est mn — - 72 (n — 3), et le premier nombre

est toujours inférieur au second, car leur différence

mn — m — — ^ - =[m — -] {n - \)

est toujours positive quand n dépasse 1. Ainsi quand deux courbes algébriques planes ont une infinité de points communs, c'est, le plus fréquemment, qu'elles dégénèrent et ont une droite commune (le " plus fréquemment « signifie que cette alternative impose le moins de conaitions, savoir m -f- ^ï)-

En passant, résolvons ce petit problème : que faut-il pour qu'il soit plus fréquent de voir les courbes c^^ c„ avoir une partie

•commune d'ordre^ que de voir l'ime faire partie de l'autre ? Il faut que l'on ait

ou encore, puisque n >> p,

1 ,3 3 , , 2m — ?7 , m — ^ w + - — - jo r-> 0, d'où p <; \- 1 ;

telle est la condition cherchée.

113. Plaçons ici quelques considérations sur un problème très voisin du précédent Si deux polynômes, Cm, Cn ont un facteur commun c„^ de sorte que

^'w = ^p Q»i — p- ^n ^— ^p 'in — p '

on a

^m ^n — p ^= ^n Qm — p '

Réciproquement, si l'on peut trouver deux polynômes q^^ __p^

^ni—p ^^Is que Ton ait l'identité ci-dessus, les deux courbes

^m, ^n ^"^^ ^^ commun un système de lignes d'ordre total au

moins égal à p. Car, en coupant par une droite arbitraire

«/ = a .r -f- ?, on a une identité en x de la forme

^m Qn —p — ^n 'Im—p =^ *^*-

-et l'abscisse de chacun des m points où cette droite coupe c^ annule le produit c^q^„; mais comme m — j^ points seulement peuvent annuler qy^p^ puisque la sécante est arbitraire, p points au moins sont sur c„ ; donc les courbes ^m, ^n ^^^ des points communs dont p au moins sont sur toute droite, ou elles ont une courbe commune d'ordre 7) au moins.

Dans le cas où les polynômes q^p^ q^—p O'^t un facteur ■commun d'ordre p', les courbes c^ c^ en ont un d'ordre p -\- p'. Et réciproquement, si l'on a une identité de la forme

^m 'Im — /) — j/ —^ *-/< Im — ]> — p' ,

U suffit de multiplier les deux membres par un polynôme quelconque d'ordre p pour voir que les conditions d'existence

d'une courbe commune d'ordre jo au moins sont réalisées quand il y a une courbe commune d'ordre supérieur, ce qui est d'ailleursde toute évidence.

Or, si les coefficients de Cin—p ^t ([m — p ^^^^^ inconnus, l'identité des produits c^ Çn— p ^^ ^nQm — p fournit

relations, et en éliminant les coefficients inconnus, on a des équations en nombre

= mn — ^ p^ +2-^'

mais en général elles ne sont pas indépendantes : les valeurs des coefficients qui les vérifient décrivent plusieurs variétés de dimensions différentes, car elles sont satisfaites quand il y a en commun une courbe d'ordre/), ow p -\- \, on p -\- 2, ... jusque n, et le nombre de ces relations est toujours supérieur au nombre des conditions pour une courbe c„ commune, puisque

est toujours positif. On observera la différence avec deux équations à une variable : celles-ci ne peuvent avoir deux racines communes sans en avoir une\ mais deux courbes peuvent avoir une conique commune sans avoir une droite commune.

En suivant une marche analogue à celle de l'élimination

dialy tique de Sylvester, on peut mettre les ma — -^yi^ -\- -.P

conditions ci-dessus sous forme d'une matrice à échelons ; mais ce serait sans utilité pour notre objet.

114. Pour aborder le problème dont s'occupent nos paragraplies précédents, on pourrait songer à la marche que voici :

Les deux formes étant d'abord rendues régulières pour que les conditions d'un diviseur commun se confondent avec les.

conditions d'un diviseur commun en x, éliminons cette variable X. D'après le théorème de Bezout, le résultant est de degré mn en y et son évanouissement identique exige mn -\- 1 relations ; mais cellos-ci ne sont pas indépendantes car il n'y a que m A^n conditions. Donc entre les coefficients de l'équation en y il existe des relations identiques en nombre (m — 1) (^^ — 1).

A titre de curiosité, nous allons développer les conditions pour qu'une conique contienne tous les points d'une certaine droite ; pour la facilité, nous rendrons les variables homogènes ; soient

a.x- = <2ii x^ + 2 ai2 X\. xt + (^f^n ^r + 2 a\z Xi x%

-j- 2 a-n x-i x-i -\- a^-i ocr = 0 la conique, et