X.V ^ Xj Xy -\- Àj X^ + Àg Xr

la droite donnée. Il faut et il suffit que la conique s'identifie au produit de X;rpar une forme analogue \y.xk coefficients inconnus, donc

p On = Xi aj^ ç^an = h f^?, p «33 = h !^3.

2 p ai-2 = Xj ;/..> -\- lo [Xj 2 p «13 = h U3 -f X3 [;.i,

d'où facilement, après quelques calculs,

(lii Ir — 2 an >i \ + «11 >r = 0, «33 >-i'- — 2 r/i:i Xi X3 J- rtu Xa'^ = 0, an h- — 2 «23 >-2 h + «22 >3^ = 0,

relations qu'on pourrait mettre sous une forme semi- symbolique,, facile à comprendre.

Àj Xj Xj

Pour qu'une deuxième conique a' x" ait en commun avec la première une infinité de points en ligne droite, il faut que l'on ait, pour trois inconnues, '^j, >'-2, ''.3, ti'ois nouvelles équations analogues aux précédentes ; de ce système de six égalités on doit alors éliminer X,, X.^, Xg. Or si les équations

an >4'- — 2 (2i2 Xi Xg + an h" = 0, a'zi Xi2 2 a'i2 >.i À2 + a'n Ir = 0

ont une racine communo À,

(connues et faciles)

> ,, celle-ci satisfait aux relations

«11 a-ii an a'n

^^r'ii 2«'i2

on en tire quatre autres par permutation tournante; n'écrivons que la première ligne de chaque déterminant, combinons entre elles les relations en \, /,, celles en \, l^, et celles en À,, X3 ; enfin multiplions membre à membre les relations de gauche et simplifions par l^ l^ Xg, nous obtenons les quatre conditions

«22 a-.vi i- = I «22 2«2:i I • I 2 «23 «a.-! I ,

«11 «22 1 • I «22 «.',3 I • I «33 «Il I = I «U «12 I

Cl2i 2 «23 I • I «33 2 «;u 1

D'autre part, éliminons .v^ entre les équations des deux coniques ; pour abréger, nous employons une notation en partie symbolique,

2 «1 («2 Xi + «3 .^3) («2 ^2 + «3 ^3)- 2 «'1 («'2 œz -(- «'3 œ-^> {a'i Xi -\- «'3 œ-J)^ {a-i Xi -\- «3 ,'^3)-

(«'2 .'572 + rt'y^.-ij-

«11 2 «1 («2 Xi + «3 Xz)

a'ii 2 a\ (a'i Xi -j- «'3 x^)

an

a'ii

En développant, nous avons une relation du quatrième degré en x^ : x^. Il n y a rien d'étonnant que l'évanouissement des cinq coefficients de cette équation ne soit équivalent qu'à qjatre conditions, car on ne voit figurer que des déterminants à quatre éléments tels que

«22 rt'22

or ce sont les coordonnées de la droite joignant deux points dans uii espace à cinq dimensions, ou les déterminants extraits de la matrice

«12 a'ii

€omme on le sait ces déterminants ont entre eux quinze relations identiques (analogues k 2')iiPz^ + PizP^i + PHPn = 0), relations équivalentes seulement à six, car il y a oo^ droites dans J'espace à cinq dimensions.

115. Après cette digression sur le cas de deux courbes planes, passons à celai de plusieurs courbes, en nombre h, d'ordres respectifs m, m', m", ... dans un même plan. Le raisonnement fait pour deux polynômes est entièrement valable pour plusieurs et donne, pour l'existence d'une partie commune i'ordre p, un nombre de conditions, au maximum de

p 5: 7n — -p [p — 3) - p (p -f- .3) et au minimum de

- [^ m {m + 3) — p {p -[- 3) — ï {m — p) {m — jî + 3)]

et le calcul indique que ccîs deux expressions ont pour valeur commune

fv , 3 h -1)1 h + 1 „

fonction passant par un maximum pour

cette môme fonction a pour valeur, quand;; -=^ 1,

I m -\- h — 2 et quand p et le plus petit degré n des courbes données,

or la différence entre les dei'x dernières formules

r^. , 3(/i-li-l /< + 1 , ,, , , ^

{n — Ij 1 m — — ^P— n -\- h - 2 1

:n'ost nulle que pour n = l ; dans tous les autres cas, elle est positive, car ïm vaut au moins hn, donc le second facteur vaut au moins

■et h est au moins 2. Ainsi de nouveau l'alternative la plus fréquente est celle d'une droite commune.

116. Considérons trois surfaces : elles ont généralement un nombre fini de points communs, Quand elles en ont une infinité, il est malaisé de dire quelle est l'alternative la plus fréquente. Cela tient non seulement à la difficulté d'énumérer les conditions pour que trois surfaces passent par une courbe d'ordre et de genre donné, mais encore au fait que la droite n'est pas nécessairement le cas le plus fréquent, sauf peut-être pour des surfaces d'ordre suffisamment élevé. En effet soient deux plans et une surface d'ordre n : pour qu'il y ait une courbe c„ commune, il suffit que les plans coïncident, ce qui exige trois conditions; tandis que, pour une droite commune, il faut, ou bien que l'intersection des plans soit sur la surface d'ordre n, ce qui demande m -|- 1 conditions, ou bien que les plans coïncident et que leur intersection avec la surface dégénère, ce qui exige plus de trois conditions.

Quoi qu'il en soit, cherchons le nombre de conditions pour que trois surfaces d'ordres m, m', m" aient une droite commune. D'une part il faut qu'une droite perce les surfaces respectivement en m-j-l, tn' -\- 1, m"-j- 1 points et, en éliminant les quatre constantes de la droite, ou - vi — 1 conditions qui pourraient ne pas être indépendantes, cie sorte que ce nombre est un maximum.

D'autre part une surface Sm qui contient l'axe des z a tous ses termes divisibles par a: ou y; en mettant .jc en évidence dans tous les termes qui le contiennent, puis y dans tous les autres,, on a

et d'une seule manière, à part le facteur constant qui peut affecter tous les coefficients; faisons une transformation de coordonnées, qui substitue ol œ -j- 'fi z -\- ■; h x et t.' y ~\- i' z -\y' à ?/ ; on a

les - {m -\- 1) {m -\- 2) (m + 3) — 1 coefficients non homogènes-

de Sm sont fonctions rationnelles des quatre coefficients de la droite, savoir les rapports mutuels de a, 3, y et ceux de a', p', v'j

<^es - m {m-\- \) {m -\- 2) coefficients homogènes de <ï>, et des

-m {ni-\-\) — 1 coefficients non homogènes de U' ; en tout de

— tn {m -\- \) {m -\~ o) — 1 +4

paramètres. Si trois surfaces ont une droite commune, leurs

coefficients non homogènes sont fonctions rationnelles de

paramètres, et peuvent être regardés comme les coordonnées d'un point d'ua hyperespace décrivant une variété à autant de dimensions au maximum, ce qui leur impose un minimum de

— - X m (m + 1) (wî + 5) — 1 = ï m — 1

conditions. Ce nomhre étant à la fois un maximum et un minimum, est le nombre exact de conditions indépendantes.

La coïncidence que présentent les formules ci-dessus provient de l'identité

qui se vérifie sans calcul en répartissant comme suit les termes de l'équation complète d'une surface Sm : 1° tous ceux qui contiennent x ; 2" dans les termes restants tous ceux qui contiennent y ; .3" les termes en z seul et le terme indépendant. Or cette vérification s'étend sans peine à l'hyperespace ; donc la méthode ci-dessus donne ce résultat : pour que r hjpersurfaces d'ordres

m, m', m", ... dans l'espace à r dimensions aient une droite commune, il faut un nombre de conditions indépendantes égal à

H7. Les considérations qui précèdent trouvent leur application dans la théorie des matrices. Nous examinerons d'abord un cas particulier annoncé plus haut, savoir, en coordonnées homogènes x-^, .r,, x^.

ax a'.x

bx b'x

en général c'est la représentation d'un triangle; il s'agit de savoir quand cette matrice s'annule pour une infinité de points. Si un point l'annule, l'équation «a; = p a'x et les deux analogues sont compatibles, d'où une équation cubique en p ayant au moins une racine p^ ; on peut supposer cette racine finie car, dans le cas contraire, on intervertit les rôles des symboles, a, b, c et a', b', c' ; alors les trois droites

ax --^ p, a'x -^ 0, bx — pi b'x = 0, Cv — p, c'x =^ 0

passent par un même point et, par addition des colonnes de la matrice, on peut annuler sur le coin,

0 bx — pi b'x Cx — P] c'x

1° ^\bx — pi b'x = 0 et c^ — ^yC'x^=0 représentent la mêmedroite, on peut encore annuler un élément.

?\Cx

et cette matrice s'annule pour la droite Cx — p^ c'x et pour le point 7n'x = n'x = 0 ; il se peut que les droi tes m',n' coïncident ; alors on a la représentation de deux droites ; il se peut que Cx — p, c'x soit identique à zéro, alors la matrice s'annule pour tous les points du plan.

2° Ayant annulé sur le coin, s'il y a une infinité de pointsannulant la matrice sans que tous ces points annulent les éléments d'une ligne, car ce serait le cas précédent, pour un au moins de ces points on a

0 — ^ m'x = 0, bx — (pi + 7) h'x = 0,