C-'- — (Pi + '^) ^'x

n n'étant ni nul ni infini; on peut constituer la seconde ligne par ces trois fonctions, puis, par addition de colonnes, annuler un élément de la seconde ligne, mais on ne choisira pas le premier, afin de respecter le zéro de la première ligne,

0 nx Cx — Pi c'x

— - m'x 0 Cx (Pi + a) c'x '

par hypotlièse un seul point annule la première ligne, un seul la seconde; s'il n'y a que trois points en tout, le troisième annule m'x et 7ix ; et s'il y en a une infinité, les droites m'x, nx coïncident. Dans ce cas, si l'on fait encore des additions quelconques de lignes, on a toujours les quatre éléments des deux premières colonnes identiques entre eux, à des facteurs constants près. La réciproque est évidente ; mais alors la matrice ne s'annule en général que pour une droite, et exceptionnellement pour deux droites, si le déterminant des facteurs constants est nul. 3° Ayant annulé sur le coin.

bx h'x

la matrice s'annule pour les points d'une conique, si les coniques dégénérées m'xhx, jïi'xCa sont indéterminées ou identiques à la conique bxc'x — h' xCx. Il faut donc, ou bien m'.r^O, car le cas de hx'^Cx^^ ?i. été examiné; — ou bien hx^kcx, et alors bx c'x — h'x cx^cx {kd x — b' x), d'où kd x — b' x = m'.r et l'on peut annuler les éléments de la première colonne ; — ou enfin b'x^kbx. et alors hxdx — b'xCx^bx [c'x — kd) d'où dx — kcx^m'x et l'on peut, par addition de lignes et de colonnes, ramener à la forme

bx

qui a déjà été rencontrée.

En résumé, les dégénérescences possibles sont : une droite et un point; — une droite seule; — une conique ou deux droites; — tous les points du plan.

La discussion qui précède montre que, dans les trois derniers cas, il y a des points annulant la matrice pour toute valeur de c. Or p vérifie l'équation cubique (voir notre chapitre précédent)

{abc) — ? [{a'bc) + {ab'c) + {abd)]

+ p2 [{ab'd) H- {a'bd) +(a7yc')] — p^ {a'b'c') = 0^

et, pour que celle-ci ait une infinité de racines, il faut quatre conditions indépendantes, car on peut choisir les coefficients a, h, c, a\ b', c' de façon à faire évanouir trois termes de cette •équation et non le quatrième; par exemple on peut prendre les a et les b nuls ainsi que {a'b'c').

Quant au premier cas de dégénérescence, il est le plus fréquent et n'exige que trois conditions. En effet, il se réalise quand, pour une même valeur de p les équations

ax — p a'x = 0, bx — pb'x = 0, cx — ? c'x = Ô

représentent la même droite et nous avons donné, au chapitre précédent, les trois conditions que ceci implique. Ces conditions s'expriment par des égalités de cette forme

{aa'b') {abb') {aa'b') {abb')

observons en passant que cette égalité s'écrit encore

^' ^'' ^' ^'/ , ;, 1=0 (i = 1,2, 3) tti Œi bi b'i \ ^ ' ' /

L'exemple traité dans le présent paragraphe montre en quoi consiste la difficulté du problème : les conditions imposées aux coefficients des éléments d'une matrice à / lignes et / -f- 1 colonnes en x^, x.^. x-^ pour qu'elle représente une infinité de points les oblige à décrire, non une variété unique, mais plusieurs variétés de dimensions diverses.

118 Soit ensuite une matrice à six éléments quelconques, les éléments étant des formes homogènes en x^,x^,x^, dont le degré est inscrit en indice,

fm -i- p 1m -f p' tm -\- f \ lm~:>m \

rendons-les non homogènes en prenant pour variables x = (d?i : ^3 ), ?/ = (-Tg : x.^ ). Si un ]Joint [x, y) annule alors la matrice, on a

fm^ P + ^fm' -f ^= 0, im-\-p' + -fm' + p' == 0'

tm + p'>'\- -tm'+p" = 0

et, dans l'espace à trois dimensions, un point {x, y, z) doit se trouver à la fois sur trois surfaces. Si la matrice s'annule pour

■une infini té de points, les trois surfaces ont une ligne commune ; réciproquement, si les surfaces ont une ligne commune, chaque point de cette ligne a des coordonnées o), y annulant la matrice ; ces valeurs sont toujours en nombre infini, sauf si les surfaces ont en commun une parallèle à Oz ; et ceci est impossible, car, pour chaque système de valeurs de x et y, on n'a qu'une valeur de 2, à moins que les six courbes / n'aient un point commun, ce que l'on peut exclure par hypothèse.

Or, on a vu plus haut les conditions pour que trois surfaces aient une droite commune, et le nombre de ces conditions est inférieur d'une unité au total des degrés des surfaces; donc suivant que m est supérieur ou égal à m', ce nombre est respectivement

Sm -\- ^ p -^ 2 ou 3 W2 + - p — 1 .

On a vu aussi que ce nombre peut être réduit parfois et

notamment le fait que .^ n'intervient qu'au premier degré dans

les équations des surfaces fait deviner une réduction : cherchons

ce qu'il faut pour que les surfaces aient une droite commune

parallèle au plan des xy ; z cesse d'être une variable, et devient

une constante inconnue; les trois équations représentent trois

courbes an œ et y; et les conditions d'une droite commune sont

en nombre

3 m -I- ïp + 1,

d'où il faut éliminer c ; il reste un nombre maximum de 3 m -\- ^ p conditions.

Enfin la considération de la matrice par colonnes suggère la remarque suivante : si un point de coordonnées x, y annule la matrice, il annule, pour des valeurs convenables, de u et de t, les quatre expressions

et deux autres analogues qu'il est plus favorable d'exclure à cause de l'Iiypoilièse p 5^ p' ^ p"; si ces quatre fonctions de œ et y ont une droite commune, on éliminera u et t des conditions nécessaires pour l'existence de cette droite commune, et le .nombre de conditions restantes est au plus

Ce nombre est inférieur à 3 m -|- ïjr) si l'on a

ce qui n'est jamais réalisé pour m ^^ m' .

Donc, le nomhre de conditions pour que la matrice donnée s annule pour une infinité de points est inférieurou égal à 3m -\- '^ p si m = m', et au plus petit des nombres.

3 m -\- ^ p — l, 2 (m -j- m' + p + p') si m > m',