Soit ûe même une matrice à douze éléments

fm -\- p tm -f/' A« -\r f A« +f

/m'-lrP îm' +p' tm' -^ p" Un' -\- p

tm"-\-p tm''-\-p' fm"-\-p" Un" ^ p

pour tout point {x, y) qui l'annule, on a

et trois relations analogues. Si x, y, z, t sont des coordonnéesnon liomogènes dans un espace à quatre dimensions, on a ici quatre hypersurfaces qui doivent avoir une infinité de points communs ; les conditions pour qu'elles aient une droitecommune sont en nombre

4 m -|- 2 j9 — 2 ou 4 m -\- ^ p -\- 2,

suivant que m est supérieur ou égal km . En regardant au contraire s et ^ comme des paramètres inconnus, on a quatrecourbes planes qui auront une droite commune moyennani

Am -\- ^ p -\- '2

relations, d'où en éliminant z et t, on a

conditions. On peut enfin, par addition de colonnes faire en sorte que les éléments de deux colonnes

>• /,„ -\-p' -\- {"-Un -\-p" + tm t^'"' '''tm -f/- + "^ t m ^ p" + Un -\- f'r,

>• /,„' J^pi + IJ-tm' +/" + ttn -f /'"' '-' tm' -\- p + l^' tm' -^ p" + t m> -f /'">

^tm"-^p' + \*-tm''-]-p" + tm"-^p"'> '^'ttn"-}-p + l^' tm" ^ p" + tm"-{-p"'^

s'annulent pour une droite : il faut

conditions, et en éliminant À, :j-, à', a', il en reste

ce nombre n'est inférieur à A m -\-- p — 2 que si l'on a

ce qui n'est jamais réalisé quand m ^ m'.

Donc la matrice s'annule pour une infinité de points moyennant un nombre de conditions qui est au maximum,

1° si 7n = )n', 4 m + - p

2° si m > m\ le plus petit des nombres

L'extension à plus de douze éléments va de soi.