CHAPITRE XI

Intersection de trois coniques.

120. La condition que trois coniques d'un même plan aient un point commun a été trouvée de plusieurs manières. La plupart des exposés laissent à désirer au point de vue de la résolution effective.

1° G. Salmon indique une méthode par les fonctions symétriques (Alg. sup. n° 52) et une autre {ibid n° 199), mais le calcul est simplement indiqué et la réciproque manque.

2" On pourrait éliminer .v des trois équations, puis y de la matrice obtenue, mais on obtiendrait sans doute une nouvelle matrice, et la difficulté d'en tirer la condition unique cherchée serait probablement grande.

3° La meilleure solution par;iît être celle de Hesse que nous verrons ci-après au 4°; mais la démonstration de la réciproque parait ardue, à moins de faire, comme ici, d'abord la méthode exposée dans G. SaJmon (Alg. sup. n" 200, et sections coniques no 389 a). Voici le texte :

Il est possible, d'une infinité de manières, de ramener les trois coniques à la forme

U = a œ- -\- b y- -\- c z- -\- d vf^, V = a'.'C- + b'y- + c'z- + d'w\ W = a"x' + b"y- + c"z- + d"iv^,

où .T, y, z, ir sont quatre droites. En effet, chacune de ces équations renferme trois constantes indépendantes, et chaque droite est définie par deux constantes ; la forme ci-dessus contient dix-sept constantes, tandis que la forme habituelle pour U, V, W n'en contient que trois fois cinq ou quinze. D'ailleurs les équations de quatre droites vérifient toujours une relation de la forme iv ~ "/. x -{- \i~ y -\- •' z que, pour plus de symétrie, on peut écrire de la manière suivante :

ir -\- y -\- z ^ ic ^ 0,

en supposant les constanics À, rj., ■, contenues implicitement dans

Si l'on résout, par l'apport à x~, y-, c^ w- les équations

et si l'on représente par A, B, C, D les quatre déterminants {bcd), {dca), {dab\ (bac), on voit que œ^, y-, z^, lo- sont proportionnels à A, B, C, D et, en substituant dans l'équation a; -{- y -\- z -\- îi ^ 0, il vient, pour la condition cherchée

ou en faisant disparaître les radicaux, on a pour le résultant R,

R = {A- -\- B' + C- -i- D- — 2 AB - 2 AC - 2 AD ~ 2 BC — 2BD — 2 CDY — 64 ABCD.

Jusque-là la méthode exposée par G. Salmon; elle n'est guère favorable au point de vue efïectiviste, parce que l'on ne calcule pas vraiment la transformation en ax''^ -\- by'~.-{- cz- -\-dw^; mais la possibilité suffit i)0ur établir la réciproque et celle-ci sera utile pour la méthode suivante.

Qu'est-ce que fair3 disparaître les radicaux dans l'expression ci-dessus ? C'est en somme former le produit

T. = -p/J-fi/^+l/C+l D) (iA-\-i/B-i/C-[/D) (i/Â-i/Bi-l/C-^i/D) ( A-[/B--i/C-lXD)(\/A-\-i/B-{-yC- y/D) {\/A-\-i^B—[/C-\-\/D) [y A - \/B 4- 1 c - y/D) (1/ A — \/B -i/C + [/D):

le calcul eftectué donne la valeur du résultant /V. Celui-ci étant un invariant et A, B, C, D du troisième degré en a, b, c, ..., le résultant des formes avant la transformation est donc une fonction du douzième degré des coefficients ; ceci importe pour la suite. D'ailleurs si le produit ~ s'annule, une des parenthèses s'évanouit, et l'on peut prendre œ, y, z, w proportionnels à [/a, ;j^l/B, +i-^C, +1 D et ,c-, y-, :-, w- proportionnels à A, B, C, D, donc les équations des coniques ont un système de solutions communes.

4° Voici la méthode de Hesse : considérons le Jacobien des trois formes aj, bj^, c^-,

a, (ix a^n.x a^ ax b^ bx b.^ bx &3 bx

C^ Cx C3 Cx C3 Cx

si les trois formes ont un point commun, celui-ci annule le Jacobien, car en multipliant les colonnes par x^, ./:.^, œ^, et additionnant, on obtient les trois formes.

La dérivée partielle du Jacobien par rapport à a\ peut s'écrire

I a^ «3 ax «3 ax\ -\- \ a^ ax r^i.j a, cix I + I «i cix a.j, ax a^^ |

en y remplaçant .r,, œ.^, x.^ par les coordonnées y^, y.,, y^ du point commun, on a (en multipliant par y^ supposé non nul)

+ I «13 «2 % ^K y> % + f^i y 3 CLy dans cette expression, les déterminants partiels

I «li «3 Vz % «3 % I , I «13 «2 % «^ y^ «^ I

sont identiquement nuls : donc l'expression se réduit à

Il Vx CL-l (ly «3 % i + I au «2 y-I % «3 % I 4- I «13 «2 «> «3 ^3 «V l

ou

qui s'annule comme il est dit plus haut.

Ainsi si les trois formes ont un système de racines communes, on a six formes savoir les trois données et les dérivées partielles du Jacobien qui sont linéaires et compatibles en œ^-, œ^ x.^, .'C, 073, ... , donc le déterminant p de leurs coefficients est nul ; ce déterminant a trois lignes du premier degré en ciik, etc. et trois lignes du troisième degré.

Voici la réciproque : p est, comme le déterminant/? de plus haut, du douzième degré en am, etc; chaque fois que R s'annule, les trois formes ont un point commun et p = 0. Ainsi p s'annule pour toutes les valeurs des a^k, ... qui annulent R, donc p est divisible par R et, comme ils sont de même ordre, le quotient est numérique ; alors chaque fois que p s'évanouit, il en est de même de R.

Ce raisonnement s'appuie sur une propriété dont nous rappelons ici la démonstration. Si un polynôme F{x, y, z, ...) s'annule pour tous les systèmes de valeurs qui annulent / (^, y, z, ...), le polynôme F est identique au produit de / par un autre polynôme. En effet, rendons d'abord / régulier en x\ le coefficient a^ de la plus haute puissance de x est alors

indépendant de y,z,...\ faisons la division de F par / en prenant x pour lettre ordonnatrice et multipliant F par un facteur «o''' suffisant pour écarter les fractions; soit

a,'- F - fQ + g;

ceci est une identité, et g est de degré inférieur au degré n de /. Pour toutes valeurs de y, z, ... le polynôme / s'annule pour n valeur de .r, et F par hypothèse s'annule pour les mêmes valeurs, donc g a plus de racines que ne l'indique son degré ; ainsi les coefficients des puissances de œ dans g sont identiques à zéro, et / divise exactement i^ou tout au moins le produit de F par un facteur indépendant des variables.

Voici encore une observation utile. Quand le déterminant p de la méthode de Hesse est nul, mais qu'un de ses mineurs au moins diffère de zéro, en d'autres termes, quand p est de rang cinq, on peut résoudre cinq des six équations homogènes en œ^-, Xi X.,, XyX^, ... ; les rapports mutuels des valeurs obtenues pour x^-, x^ x.^ et .t^ x-^ par exemple donnent les coordonnées œ^, x.^, x^ du point commun :iux trois coniques en fonctions entières des coefficients des trois formes.

121. Passons aux conditions pour plus d'une intersection de trois coniques (ix-, b.x-, Cx-.

Le cas de quatre intersections est le plus facile; quand il -est réalisé, la forme c^- est une combinaison linéaire des deux autres, et la matrice, à six colonnes et trois lignes des coefficients des formes, s'évanouit.

Pour les autres cas, nous signalons ce fait curieux, que le cas de deux intersections est plus facile que ceux de trois ou une; de plus la méthode exposée ci-après pour deux intersections ne semble pas pouvoir s'adapter à la recherche de la condition pour une intersection; m lis elle s'applique, comme nous le montrerons, au cas de trois intersections.

Voici cette méthode. Multiplions les formes données ax^, f'x^, Cx- respectivement par trois formes linéaires Ax, Bx, Cx à coefficients indéterminés et additionnons.

Les neuf coefficients homogèn ^s Ai, Bi, Ci ne peuvent pas «n général être choisis, non tous nuls, de façon que le polynôme cubique

Qy"' Ax + hx" Bx -f Cx' Cx

soit identique à zéro, car celui-ci a dix termes, et il faudrait satisfiiire à dix équations [E) linéaires et Jiomogènes à neuf inconnues.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que la matrice M, à neuf colonnes et dix lignes, des coefficients de Ai, Bi, Ci dans les équations {E) soit nulle.

Or, dans cette alternative, les quatre points communs à hx"^, Cx^, par exemple doivent annuler rtv- Ax et, comme la droite Ax ne peut en contenir que deux au maximum, a.\- en contient au moins deux.

Réciproquement, si aa;^ bx-, Cx^ ont deux points communs, menons une droite Ax par les points restants de hx- et Cx^'-> alors la cubique ax" Ax passant par toutes les intersections de hx'^, Cx^, a la forme bx^ '^x + <^^~ l^x, en vertu d'un théorème fondamental connu.

Au lieu de nous appuyer sur ce théorème fondamental, nous pourrions en utiliser un autre qui peut passer pour un cas particulier; et alors présenter un peu différemment la fin du raisonnement ci-dessus. Appelons Bx la droite menée par les intersections restantes de cix^, Cx'-, et Cx une droite pareille pour ax-, bx^\ alors la courbe du troisième ordre nx'- Ax passe par huit des neuf intersections de bx' Bx avec Cx~ Cx donc aussi pour la neuvième, et elle est une combinaison linéaire des deux autres courbes. Nous reviendrons bientôt sur celte propriété connue des courbes cubiques planes.

122. Précisons les résultats obtenus à l'instant. Supposons-que la matrice Af soit exactement de rang huit. Alors on peut résoudre huit des équations [E] par rapport aux neuf inconnues homogènes Ai, Bi, d ; et l'on trouve des valeurs non toutes nulles. Pour fixer les idées, si ce sont les coefficients Ai qui ne sont pas tous nuls, on a, par ce calcul, une droite Ax uniquevérifiant l'identité

ax-" Ax + bx" Bx -^ Cx^Cx = 0; c'est un signe qu'il v a exactement deux points communs aux trois coniques, comme le vérifiera dans un instant l'examen du cas de trois intersections.

Dès lors prenons un point arbitraire sur Ax; il détermine uq élément du faisceau hx- + kcx"^, et cette forme est divisible par-

Ax; le quotient définit la droite joignant les deux points situéssur les trois coniques.

Donc lorsque trois coniques ont deux points communs, on peut déterminer la droite joignant ces points et les coefficients de cette droite sont fonctions rationnelles des coefficients des trois courbes données

Dans riijpotlièse où il y a quatre intersections, ûx'- est unecombinaison linéaire de bœ'^, Cœ^ et en multipliant par une forme arbitraire Ax, on a pour oo- droites A, des identités

ax-Ax + bxBx- + CxCx- = 0;

et la matrice M est de rang <. 6. Inversement si cette matrice est d3 rang six, on peut prendre six des équations (£) et en tirer six des neuf quantités Ai, Bi, d en fonctions linéaires homogènes des trois autres ; l'identité ci-dessus est possible de oo- manières.

Prenons enfin le cas où cette matrice est de rang sept; on résout sept équations (£) par rapport à sept des quantités Ai, Bi, Ci, en fonctions linéaires homogènes des deux dernières;, l'identité

ax- Ax -{- bx~ Bx + Ck' Cx = 0

est satisfaite par un faisceau de droites Ax; les quatre points communs à hx-, Cx?- annulent aaà- Ax ; mais un seul de ces points peut être sur les droites du faisceau A, donc trois au moins sont sur aoà-.

Réciproquement, s'il -y a trois points communs, menons une droite arbitraire^' parla quatrième intersection de bx~, Cx"; appelons B'x\2i droite joignant la quatrième intersection de a et c à la seconde de ^' et c ; et Cx la droite joignant la quatrième de a et ^ à la seconde de A' et b; alors la cubique dégénérée ax- A'x passe par : les quatre intersections de bx-, Cx-; les deux de Cx^, B'x, donc on a une identité de la forme

À A', ax- + :j. Bx bx- + ' Cx Cx- ^ 0

pour un faisceau de droites A\, et .la matrice M est de rang sept. Comme nous venons de le voir, sept des équations {E) donnent alors le faisceau de droites ayant pour sommet la quatrième intersection de hx-, Cx-, sous la forme

Ax + p A'x ^ 0,

les coefficients de A et de A' étant des fonctions rationnelles des coefficients des formes initiales. Cherchons la seconde intersection de chaque droite de ce faisceau avec la conique ba;~ ; ce point étant unique, ses coordonnées se trouvent encore sous forme rationnelle ; mais en substituant dans Cx-, on doit trouver une équation cubique en p, puisqu'elle doit donner les trois intersections de a, b, c; chaque racine de cette équation cubique permet alors de calculer, comme il a été dit un peu plus haut, un côté du triangle formé par les trois intersections de a, b,c. Dans cette méthode donc, lorsque sont vérifiées les conditions pour trois intersections communes à trois coniques, on peut calculer les équations des côtés du triangle formé par ces trois intersections, mais ce calcul dépend d'une équation du troisième degré.

Comme première application, soit une transformation •quadratique

pour reconnaître effectivement si c'est une transformation Cremona, on doit s'assurer que les trois coniques ax^, bx-, Cx~ ont trois points communs. Dans l'affirmative, on peut mettre effectivement les équations sous la forme

œ^ : .r, : x.^ - -f ^ {y) : 'f , {y) : -fg (ij) ;

à cet effet, il faut prendre les éléments du réseau À ax^ + "^'bx- + '>^"cx- qui se réduisent à des couples de côtés du triangle des points communs, puis prendre ce triangle pour nouveau triangle de référence du plan des xi -. toutes ces opérations sont rendues possibles par les considérations ci-dessus : les quantités œ,, .a?2, ^3 sont fonctions rationnelles de ?/i, 2/2,2/3, mais non des coefficients des formes ax-, bx", Cx-, puisque l'on a dû passer par une équation cubique. Il resterait à élucider la question de savoir si cette singularité tient au fond même des choses ou seulement au procédé mis en œuvre.

Comme seconde application, on peut chercher les conditions pour qu'une courbe plane du troisième ordre possède un, deux ou trois points doubles : il suffit de considérer le réseau des coniques polaires et d'exprimer que les courbes de ce Réseau ont un point commun, ou deux ou trois.

123. Examinons ici la propriété utilisée plus haut des ■cubiques planes. L'équation d'une toile courbe a neuf coefficients non homogènes: quand on donne huit points, on calcule en général, huit des coefficients et l'on détermine un faisceau ; toutes les courbes du faisceau passent par les neuf points d'intersection de deux d'entre elles.

Mais il s'agit de voir quand huit points cessent de déterminer un faisceau de cubiques, et définissent un réseau :

P Si l'on a quatre points alignés (ou davantage) la droite qui les porte appartient à toutes les cubiques du système.

2° Si trois des points sont alignés, par un quatrième point du support, on mène un faisceau de cubiques; chaque élément de ce faisceau comprend la droite considérée et se complète par une conique; cette dernière décrit un faisceau à cinq points de base; donc toutes ces coniques se dédoublent, et quatre au moins des cinq points restants sont sur une droite, ce qui ramène au 1°.

3° S'il n'y a pas trois points alignés, joignons-en deux, et, par deux points de la même droite, on peut mener une cubique du système; donc les six autres sont sur une conique, proprement dite puisqu'il n'y a pas trois points alignés; en modifiant le choix des deux premiers points, on voit que la même conique contient les huit points donnés et appartient à toutes les courbes.

Ainsi le théorème annoncé cesse d'être vrai, seulement dans les circonstances triviales où toutes les cubiques ont en commun une même droite ou une même conique.

Exercice. On donne deux quadriques coupant le plan de l'infini suivant les coniques respectives c, d ; en écrivant que ces coniques elle cercle imaginaire de l'infini ont 2, 3, 4 points communs, on exprime que les quadriques ont en commun 1, 3 ou 0 systèmes de plans de sections circulainss ; la seconde alternative est impossible si les coniques c, c' sont réelles.