I -y S, S, 1=0, [ .'il .S '^^i I

se coupent suivant : 1" le cercle imaginaire de l'infini compté -quadruple, cette partie de l'intersection est ainsi d'ordre 8; 2'' la partie à distance finie de \'SiS^\\ c'est-à-dire Yh ; •^*' la partie à distance finie de 5=1 [^i ^i 5* H qui est un cercle, car c'est l'intersection des sphères | a^ 3^^ jS^ [ et | a^ fi^ ^'^ |. Or on a l'identiié Iti = 8 -(- 6 + 2 qui établit que notre courbe y,., est ■bien en général du sixième degré.

Les formes j a^ ;i^ S^\ et | x^ 'i^ S^ | peuvent s'écrire

elles représentent un cercle. D'autre part, les é(iuations de v^. peuvent s'écrire

et les quatre points à distance finie où le cercle ci-dessus perce la cvclidc 5^ Sj — 5^53 = 0 sont sur Vg (le cercle perce la cyclide en 8 points, mais il j en a deux doubles à l'infini) Comme ^'1, '''2^ ^3 sont trois paramètres homogènes, on a donc trouvé sur 'f^.^ oc2 quadruples de points concycliques. Les relations

Ojj O5 o,j 1

représentent, outre le cercle de l'infini, un couple de pomfSy intersection des sphères Si= k S^, S.^ = k Sg. .S3 = k Sg. Lorsque k varie, on obtient sur Vg, 0°' couples de points. Chaque couple est déterminé par un de ses éléments, car à chaque point de Vy répond une valeur de k.

Nous devons nous demander toutefois si les trois splrèresdéterminant un couple, S^ = kS^. S.^ = k S-, S.^ = k 5^, ne peuvent jamais faire partie d'un faisceau. S'il en était ainsi,, on aurait

(f^ — kdi l>i — kl>i Cl — kc^ di - kdi e^ — ke^

(L;^ — lia.^ l'-, - lid'r, c^ — hc^ c/3 — A'-c/j e-i — ke-^

jl «3 — ka^ bl — k l\ 6*3 — hc^ c?3 — kd^ e^ — ke^

faisons suivre cette matrice de deux lignes d'éléments a^, b^,

C4, d^, Ci et rtg. ^5, C5, d^. 65, et rléveloppons le déterminant

obtenu ; il donne

on aurait pareillement deux relations analogues, d'où en éliminant k.

M, Ai., 3/3

Or ceci n'a pas lieu en général, car envisageons le déterminant Ail A/5 — M.2, M^ ;. il contient a^, h^, c^, d^, e^, au second.

degré dans son second terme M.j. 3/^ et au premier degré dans l'autre; si ce déterminant était identiquement nul, on aurait Ml = 0, ce qui contredit notre hypothèse initiale. Nous avons jusqu'ici trouvé deux matrices

Mr.

dont l'évanouissement correspond à une dégénérescence ou cas particulier de Vg.

Un quadruple cyclique ; x^ 'i^ S^ S^ i et un couple k sont toujours sur une même sphère dont voici l'équation

'fi

Réciproquement, si k est donné, l'équation

]-eprésente le réseau des sphères menées par les points du couple k, et une sjjJière arbitraire de ce réseau contient le quadraple inscrit dans le cercle - /j .^^ = ï À^ <,^^ = 0.

Ainsi toute sphère, donc aussi tout plan, par un couple, coupe encore ';^ suivant un (ju/tdruple ci/clique, et toute sphère par un quadruple, donc aussi le plan de ce quadruple, coupe encore v^j suivant un cou])le.

Il y a oo' couples; leurs cordes engendrent une surface réglée, les plans menés par ces cordes sont les plans tangents de la surface réglée et, comme ce sont les plans des quadruples, il en résulte ceci : le lieu des cordes de couples est l'enveloppe des plans des quadtncples.

Parmi les surfaces circonscrites à ■;,. et dont l'équation s'obtient en faisant précéder la matrice :] S^ S^ d'une ligne de constantes, il faut distinguer celles, réservées plus haut, où I 2tj a^ a^ I est nul, c'est-à-dire où y.^, -j.^, -^j sont des combinaisons linéaires de a-^, a.^. a.-^ et a,^. <ir^^ a^., donc

I a, + ha, S, S, |.= 0;

leur terme en {x- -\- y- -f- Z')- manque, et comme il y a un ])aramètre h, c'est un faisceau de surfaces cubiques.

La l)ase de ce faisceau a pour équations

elle comprend la courbe -;« et le cercle imaginaire de l'infini, plus la ligne

Il a, n^ s, S, Il = 0;

ceci est une droite q, car i a^ a^ -S\ | = <• et ! '''i -''i 5^ | = 0, sont des plans.

La droite q ])erce quatre fois une cjclide circonscrite quelconque, donc q est une quadrisécnnle de 7^. Ses appuis ^1, O-i, ^^i- ^J^ constituent un quadruple cyclique spécial inscrit dans un cercle île rayon infini.

Comme corollaire, toutes les cordes de couples rencontrent la quadrisccanie q, car une corde et q sont sur un même plan (sphère infinie).

Cherchons le heu des cordes de couples : Téipiation

représente une si)hère menée par le couple /.' ; elle se réduit à un ])lan si l'un a

ces deux relations déterminent les rapports mutuels de 'i' 'î- 'w' c'est-à-dire le plan mené par le point courant œ, ij, z et la corde de couple k ; mais il y a indétermination i)Our > i : \ •■ \ si

S, ^ hS, S, - /,-s, s, - kS, Il ^^. ('/j — k II ^ (1.^ — /,' c/- r/., — /.' rtg !:

telles sont donc les éijuations de la corde de couple; par soustraction, les termes en ce"- -\- y- -\- ^- disparaissent de la première ligne, ce qui remplace les symboles Si par Si.

Alors pour avoir le lieu, il faut résoudre un problème que nous traiterons plus complètement dans un passage ultérieur, celui d'éliminer k de la matrice précédente. Celle-ci peut s'écrire

il ^'1 — ^' ^'1 -^"i — ^' •'>'é '1 = 0;

faisons suivre d'une colonne '/j, a-, /(,.. ou s^, Sr, s,. ; nous obtenons respectivement

I 'h ^'i -h— ^'■'^i 1=0, I 'f^ — kr/^ .s\ .Vi j =- 0;

cJiacune de ces relations donne une valeur de k; v.n les égalant on obtient

équation d'une surface réglée du troisième ordre R.^ ayant pour ligne double la droite 7, puisque celle-ci annule les qtiatre déterminants figurant dans l'équation. En vertu <lu théorème de Laplace, on peut écrire aussi

Sa

Rappelons (|uel({ues projjriéiés des surfaces cubiques à droite double q : toute section plane menée par q stî complète par une génératrice g; toute section par g se complète par une conique passant par le point commun k q lit g ; de cette infinité simple (le coniques, il y en a au moins une qui se décompose en deux droites, g' et d, la première coupant 7 ; tout plan par d coupe A*;5 suivant une conique à point double sur q, donc les génératrices se coupent par paires sur q. La droite d est unique, car s'il y en avait ime seconde d\ les droites rencontrant q, d, d' formeraient une quadrique.

Les génératrices g, g' de R^ sont des cordes de couples de 7^. ; donc d est une bisécante de ■;,. ; appelons />j et D.^ ses points d'appui. Les points D^ et D.^ sont concvcli([ues avec un couple quelconque, par exemple celui qui se trouve sur^, i)uisque le plan (gd) coupe-;,, suivant une autre couple(^'); en d'autres termes, D^ aiD., ïovmeni quf(dr7i))le o/clique -àxcc un couple quelconque.

Deux couples h et k sont, avec 1)^^. Dr, situés sur deux cercles, donc sur une sphère ; or deux couples déterminent une sphère, et celle-ci passe donc toujours par I)^ et D.^.

Pour traiter ces points par l'algèbre, posons

les expressions -M^S^. - M^S^, -M^S^ auront une signification analogue ; en se rappelant la forme des déterminants M,\ on constate que M^S^-j- M.^S.;^^ ... -\- M^S,. est identique à zéro, donc ^ Mj 5^ ee — ï M^ S^. Ecrivons l'équation

0) :LAf,S, 4- (/,■ + / Ï.V^5, - /,'/IM,S, = 0;

c'est celle d'une sphère et l'on contrôle immédiatement qu'elle est vérifiée pour Sj = IiS^. S., = kS-, S^ = kS^., donc pour les points du couple A', et de même pour le couple /. Mais cette sphère, nous venons de le voir, passe constamment par D^. D.^, donc ces points annulent les trois expressions (sphères) suivantes

ï M, S,, ï Mj 5, ou — ï M ,S,. X .Vj S^.

Pour l tendant vers /.', on a une s])hère bitangentc à y^ en un couple k,

IM^S^ + 2k I -V, 5i — /.-• ï .V, S, = U.

Pour avoir l'enveloppe de ces S)jhè7^es hiiangenies, on dérive par rapport à k, puis on élimine h , ce qui donne

é(|uation d'une cjclide du quatrième ordre ayant D^ et D.^ pour points doubles, parce que ces points annulent tous les éléments du déterminant. Ce déterminant est le prodtiil par lignes des matrices || M^ M^ || et || 5j S^ |!. Nous reviendrons, dans un chapitre ultérieur, sur ces produits par lignes^ La sphère (1) se réduit à un plan si l'on a

ï M, rt, + {h + ^j I -V^ r;, — kl I M, a, = 0 ;

telle est la condition pour que deux cordes de couples k et l se coupent sur laquadrisécante q. Les cordes /. ei l seront conionducs si

- M^ ciy 4- 2k ^ M^ «1 — k^ ï A/j a, = 0;

le discriminant de cette équation en k.

~ ai —

■esl le p)X)diiil jKir lignes de deux matrices remarquables déjà rencontrées, j| a^ a^ || et || M^ M^ .

Ce polynôme A est un invarnant de la courbe ■;« l^ien entendu pour les substitutions qui transforment des sphères en -sphères. Quand il- s'annule, on a un cas particulier do y^, caractérisé par des propriétés spéciales, par exemple, que les racines de l'équation ï M^ «i + ^k ï M^ a^ — k- ï M^ n^ — o sont •égales; par exemple encore que la quadrisécante q se confomi avec la droite rf, c'est-à-dire que l'on a, de la surface cubique réglée R.^ le cas particulier de A. Cayley. Pour la démonstration de ce dernier point et pour beaucoup d'autres propriétés de V,i. notamment pour une correspondance unidéterminative de 7rt avec une quartique ])lane à un nœud, nous renvoyons à notre article du Giorn-Ba/laglùn, lOl'J. d'

Avant de lei-miner, justitions pour ■;,, le terme de se\ tique de ■ge7trc deu.f. Comme on le sait, le maximum des points doubles

'd'une courbe ))lane d'omre n est ^y {n — 1) (;/ — 2). ciiaque

])oint /^"P'^ étant compté pour ^ k {Iî — 1) points doubles; le

genre d'une courbe gauche est celui de sa projection cenir-ale; supposons connu que ce dernier est indépendant du centi-e de pi'ojection. Prenons alors ce centre sur la quadrisécante (/,- la

. ,. , , • •. Il, . iv — 1) n — 2)

projection de •;^. et du sixième ordre: lexpression

est égale à 10; or 7 est génératrice quadruple du cône pi-ojetant, il compte pour 6 génératrices doubles; et il y a. du centre de projection, deux cordes de couples, nous trouvons S ])our total des génératrices doubles, et 2 = H) — S pour la i/c/icience •ou le genre.

(1) Exet-cice. Le lieu des centres des sphérc-s qui coupent trois (ou ((uatre) ■sphères sous un même angle esL un plan (ou une droite) ; il y a une sphère -«jui coupe cin(| sphères données sous un même angle. Le seul cas exceptionnel est celui où les sphères doimèes sont égales ; examiner ce cas. ("hercher le lieu des centres des sphères de rayon donné qui, avec 6, 7 ou -8 sphères données peuvent être coupées sous un même angle par une sphère. (On éliminera 0- et c eus to des relations.

{o, — -j.:i + {h, - ;j,^ -I- (o — y)"-^ -- ',:^— s- - -ivf z, cas ,., ^ 0 .

•et l'on simplifiera la détenuiuant ou la matrice résultante, par soustracîion de colonnes, etc.)

Signalons comme objet d'étude possible, la matrice à deux: lignes et trois colonnes dont les éléments seraient les premiersmembres des équations de six quadiiques quelconques, ou de six quadriques ayant une droite commune. Dans ce dernier cas, on a une courbe c^ coupant 9 fois la droite donnée; les plans par cette droite déterminent encore sur la courbe des ternes de points ; la matrice suivie d'une colonne de constantes donne des quatcrnes de points; précédi-e d'une ligne de constantes, elle donne des surfaces ."^^ à droite double, dont les intersectionsse complètent par des cubiques gauches ; précédée d'une ligne de formes linéaires conv(;nables, elle donne des S^ passant simplement par la droite donnée et se coupant encore suivant une sextique de genre trois, etc.

19. A l'occasion de la sextique ci-dessus, donnons quelquesbrèves indications sur une analogie entre la droite de l'espaceet le cercle de l'espace, i)

l'ne sphère a cinq coordonnées homogènes, œ^^ œ.^, .r.^. iV^. x^, ce sont les coeflicients de son équation linéaire en coof^données: Ijentasphéjnqucs .

Un cercle est l'intersection de deux sphères : on peut lui donner pour coordonnées les dix déterminants extraits de la matrice

Il y a, dans resi)ace, oC' cercle, car il y a oo- plans, chaque cercle est dans un plan, et chaque plan contient oo^ cercles; uncercle doit avoir sept coordonnées; entre k s dix coordonnéesdéfinies à l'instant, il doit exister trois relations identiques. On. peut trouver cinq relations pareilles en doublant la matrice précédente privée d'une colonne; ainsi on a l'identité évidente

yf /y»' /y»'

Xy X.J X-^ ./'j

et quatre analogues, imis ces relations équivalent à trois seulement.

(1) Voir Cvs>(7at^ Ami. de Toulouse, ISSy.

Une, deux, trois, quatre, cinq (3u six relations linéaires en

coordonnées de cercle définissent resj)ectivement oo^, oo^, oo^,

cx!-, oo' cercles ou un nombre fini de cei'clcs. Dans ce dei-nier

cas le nombre fini est cinq et l'on a un pentacycle ou système

de cinq cercles en situation (b'-terminée.

20. Nous avons généralisé la théorie de la cubique gauche en prenant des formes de degré plus élevé.

T'ne deuxième extension possible concerne le nombre de lignes.

Par exemple la matrice à trois lignes et ([uatre colonnes de formes toutes linéaires en j.\, j:.,, .r.j. œ^. représente une courbe s^auclie du sixième ordre et de genre trois l), située sur oo- surfaces cubiques dont deux quelconques se coupent encore suivant une cubique gauche ayant huit points communs avec la sextique.

La sextique est le lieu des intersections des plans homologues de quatre gerbes projectives, et le lieu des intersections des rayons homologues de trois espaces projeciifs. Elle a des groupes de quatre points, représentés i)ar la matrice suivie d'une colonne de constantes, (pii, avec une cutjique ociosécante quelconque, sont toujours sur une m'"'rae quadrique.

Ces jjropriétés se généralisent pour la courbe d'ordre

., l {l -f- \) représentée par une matrice à l lignes et / -L 1 colonnes de formes linéaires, mais la génération par formes jjrojectives n'est plus accessible au langage synthétique, à moins lie se placer dans un espace à plus de trois dimensions (2j.

Nous ne nous arrêtons pas à la sextique de genre trois pour le moment: nous aurons bientôt l'occasion d'y revenii*.

21. l'nc troisième extension possible est celle du nombre de variables.

S'il y a cinq variables homogènes. Une matrice à l lignes et l-\- 1 colonnes représente en général une surface, ou variété à deux dimensions dans l'espace à 1 dimensions.

S'il y a six variaitles homogènes, la même matrice i-eprésente

!l) Voir Cinq Eludes, et Bullet. Acafl. Behjiqup. mai 1907. 2) Pour l^= A, 011 a une oourltedu dixième ordre ; nou.ssigM:iloii.s, comme sujet d'étude, l'examen de cette courbe et de ses i|uadrisécanre.s.

une variété à trois dimensions dans l'espace à cinq dimensions. Et si les six variables vérifient la relation.

elles peuvent être considérées comme les coordonnées d'une droite dans l'espace ordinaire, et la matrice s'annule pour les droites d'une congruence. Mais, dans certains calculs, il faut faire intervenir le facteur 2 à cause de l'équation quadratique - = 0.

Par exemple, sur la théorie de la cubique gauche, esquissée plus haut, on peut calquer la théorie d'une congruence de troisième ordre et troisième classe, intersection partielle de oo- complexes quadratiques qui ont encore deux à deux une congruence linéaire commune. Cette figure a été étudiée en langage synthétique par RoccelUi ; nous l'avons traitée i)ar l'algèbre (i) et l'avons représentée par

A = 0, A' = 0, A" = 0, B = 0, J5' = 0, B" =0 étant les équations de six complexes linéaires, c'est-à-dire six équations linéaires en coordonnées pluckériennes de droites.

Nous ne pouvons entrer ici dans le détail de cette théorie, parce qu'elle exige des connaissances sur les systèmes de droites, connaissances dont l'établissement nous mènerait troj) loin.

Mentionnons seulement, sans démonstration, ce résultat (et son corrélatif) : par tout i)oint de l'espace, il passe en général trois rayons de la congruence, non dans un même .plan ; il y a douze points singuliers par chacun desquels on peut mener un faisceau de rayons plus un ravon extérieur au faisceau.

La représentation par matrice suggère encore une notion nouvelle : si dans la matrice représentative de la congruence, on introduit trois paramètres homogènes -/, 3, y, on obtient une congruence de congruences de droites. Et si les paramètres figurent d'une façon convenable, toute droite de l'espace

(1) Rcndic, cire. mat. Palermo, t. XXX, 1910.

ôo —

appartient à w/^e congruence de la congTuence de congraences. Voici un exemple simple :

Signalons dans le même ordre d'idées, le troisième de nos Ci72q Eludes, et notre travail sur un complexe cubique de droites, inséré dans les Mémoires de l'Académie de Turin. 1012.

22 Une quatrième extension possible est celle du nombre de séries de variables. On peut supposer que les coefficients de x-^, x.^. ... dans les éléments d'une mairice soient fonctions de paramètres variables. On obtient ainsi des systèmes simplement, doublement, etc., infinis de variétés algébriques; ce sont comme les analogues supérieurs de faisceaux, réseaux, etc., de courbes ou surfaces. I^es cas les plus simples sont des systèmes doublement infinis de cubiques. Nous leui' consacrerons les deux cbapitres suivants.