CHAPITRE IL
Congruence de cubiques gauches.
23. Voici d'abord, sur les congruences de cubiques, (luelque^ mots d'historique.
Tli. Reye a éiudié géométriquement la congruence des oo~ cubiques gauches passant par cinq points donnés, R. Sturm de môme celle des oo- cubiques gauches ayant deux points communs, avec même tangente et même plan osculateur. Ces deux congruences sont li/fénires : par tout point de l'espace,, il y a u/n' courbe du système.
Elles font penser naturellement aux coniques par quatre points, et aux coniques bitangentes dont elles semblent être des analogues sujjérieurs. (1/ Mais tandis que le faisceau de coniques bitangentes est un cas particulier de l'autre, il n'en est plus de même des congruences de Sturm et de Reye : ainsi Reye a démontré que les cubiques par cinq pomts déterminent, dans tout plan, des triangles autoconjugués pour une même conique^ et cette propriété n'appartient pas à la congruence de Sturm.
Nous nous sommes demandé (2) quelle pouvait être la parenté de ces deux congruences : elles sont des cas particuliers d'une troisième représenté^e par les éfjuations
h.,: h'x h" oc ~ ^
c'est Tensemblc des cubi(jues j)assani par doux points et ayant
(1) Remar<|Uons en passant ceci .- il faut oo^ courbes planes pour (ju'it en passe une par tout point du plan, parce (jue la condition jiour (ju"une courbe passe par un point du plan est unique, mais il faut oo"^ courbes, gauches pour qu'il en passe une par tout point de Fespace.
,2) Dissertation, Gand, 190'2.
trois hisécnnies communes, savoir (ix= bu'= <», fi'.c = h'x = 0, ■cr'x = b'x = 0, car cix = i>.r == 0 perce en deux points la quadrique -j- a xh'x — ^" a'xh x=^>, etc. Celte congruence G avait été étudiée par la géométrie. Nous avons pu, grâce à la représentation par une mairice, pousser plus loin celte étude; de plus c'était le premier exemi)le d'une congruence de cubiques gauches traitée par l'algèhre. Les propriétés des congruenccs de Reye et Sturm s'en déduisaient comme cas j)ariiculiers. Toutel'ois, ce n'est que plus tard (ii que nous avons pu préciser la propriété îles triangles déterminés dans un j)lan par la congruence G : ces triangles sont autoconjugués relativement à une conique, pour certains plans enveloppant une quadrique dans le cas général, pour tous les plans dans le cas particulier de Reje.
En iyO~, E. \'cncroni a étudié les congruences de courbes gauches d'ordi'e et genre donnés et s'est demandé lesquelles de ces congruences étaient d'ordre jj et de classe g, en appelant ordre le nombre des courbes qui ])assent par un point arbitraire, et classe le nom^jre des courbes (pii ont pour bisécante une droite arbitraire; il a surtout considéré les cas où p ei g sont égaux àO ou 1. Il a fait l'application aux cubiques gauches et a trouvé deux congruences d'orrlre 1 et classe 1. Sa méthode, familiéfvi aux géomètres italiens, (>st géométrique dans la forme, mais au fond analytique, j)uisqu'elle s'aj)puie sur les équations des figures.
En 1905, nous avons développé (-J la méthode qui nous avait donné la congruence G : nous avons supposé (|ue les coefficients des six formés de la matrice contiennent, algébriquement et au plus au ])remier degré, trois ])ar'am('tres homogènes et dans celte liyj)Othèse, nous avons trouvé six types de congruences du premier ordre: deux de ces types sont évidemment les types rencontrés par ^'eneroni.
24. Nous donnons tjuelques développements relatifs à l'un de ces derniers systèmes, j)arce qu'il se lie à la sextique de genre trois signalée plus haut.
{1} Joto-n. f. Math. t. 132.
(2) C. R. Acad. se. Paris; voir aus.si Cinrj Etudes.
La congruence Y ici considérée a pour équations aj a.x -j- y-i bx -f a.j cx 'Jy a'x -j- y.^ O'a -\- ^3 c'x y-i a'x -f =«2 '^"-v -j- «g c";tr
nous les écrirons parfois en abrégé
dans le cas particulier où les formes h, c, a';, d, (i'\ h'' sont identiquement nulles, on a la congruence G signalée plus haut. Résolvons les équations (1) par rapport à y^, y.^. y-^ : à cet etiet représentons par — (o le rapport des éléments de la première ligne à ceux de la seconde ; nous aurons, en supposant f.\, /' t-, f'x non tous nuls, l'égalité
(2) xj cix + '^-2 ^>^ + 'H Cx + '•' A = ^
et deux analogues. Nous tirons de là
aj : a, : 7,3 : ,0 = {bx c'x fx ) : — (ax c'x fx ) : {ax b'x f'x) :
— \axb'xc"x).
A tout point X répond, en général, un système de valeurs de 7.^ : 7.3 : 7.3, donc la congruence F est du jj^emier ordre.
Exceptionnellement le système d'équations (2) est indéterminé en 7.3 : Xg : a., si l'on a
(Ix bx Cx fx
(3] a'x b'x c'x fx = U;
ceci représente une sextique c^ ; tous les points de cette courbe sont singuliers pour la congruence 1", en ce sens que, par chacun d'eux, on peut mener 00 cubiques F.
Les équations fx = 0, fx = 0, /"./ = 0 représentent trois plans ; nous supposons que ces plans n'ont qu'un point commun; celui-ci satisfait aux équations (1) pour toutes les valeurs de a J. 7.^, 7.3 ; donc (//'/") est un point fondamental pour la congruence, cest-à-dire un point situé sur toutes les cubiques F.
Nous avons vu précédemment que la cubique gauche obtenue en supprimant les deux premières colonnes de la matrice (3) coupe huit fois la sextique Cq. Avant de faire cette suppression, on peut remplacer la troisième colonne par y^ ax -f- '-«2 ^'oc -\- «3 Cx,
etc.; alors on voit (jue toutes les cubiques V passent par le ]X)ini (t ff) et coupent huit fois c',j.
On voit comment l'étude de la congruence F et celle de la sextique (désignée ici par Cg pour la distinguer de la courbe 7,5, envisagée plus haut) vont de pair. Nous leur avons consacré des recherches (l) auxquelles nous renvoyons pour les détails; on V verra notamment que la sextique c,. n'a pas dequadrisécante, mais une infinité simple de trisécantcs '2) formant une réglée du huitième ordre, pour laquelle c^ est une ligne triple.
Ici nous nous arrêterons seuhîment à trois points : 1° genre de la sextique ; 2° congruence des hisécantes singulières de V ; 3° complexe des tangentes de V ; cette dernière question montrera que si la matrice ne suffit pas pour résoudre les problèmes de contact, elle n'empêciie pas de les traiter.
