QUANTITES IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ
être ni le carré d'un monôme, ni celui d'un polynôme; et cela,
quoique certaines valeurs particulières, attribuées à «etàé,
ou à Tune des deux seulement, puissent rendre a*-f 6* un carré
parfait, ce qui arriverait, par exemple, pour ô=Ta , auquel cas
a*+d* se réduirait à -y- et serait le carré de ~ .
Nous allons nous occuper, dansceparagraphe^ des règles suivant lesquelles les irrationnel les du second degré doivent être introduites dans le calcul. Pour cela, nous commencerons paréteiïdre aux quantités incommensurables quelques théorèmes fondamentaux qui n'ont été supposés démontrés jusqu'ici que pbur les quantités commensurables.
ISSI. I. Un produit de deux facteurs incommenmrabks ne ehmgè pas^ dans quelque ordre qu'on suppose la multiplication effectuée.
Soit à multiplier, par exemple, \/2 par \/8 . 11 s'agit de faire voir que le produit est indépendant de l'ordre des facteurs. -
Pour cela, soit « une valeur de \[^ , approchée par défaut à moins de - , en sorte que v2 soit compris entre » et ^4^- .
Soit de même p une valeur approchée de >/5 au înême degré d'approximation.
Les quantités a et p étant commensurables, on a
Les quantités a-ft- et p+~ étant également commensu* râbles» on a de même
Or, ^2 étant compris entre « et a-f-, et \/5 étant compris entre p et i9+- , le produit \[ÎXsJ[% est compris entre cxjB et («+-) (l^+^) ^ c'est-à-dire entre les premiers membres des égalités ci-dessus. Pareillement \/5 X sjî est compris entre pa et (iS+-) («+^) -> c'est-à-dire entre les seconds membres de ces mêmes égalités. Donc ^X\/8 et yJÏXyM sont compris entre les mêmes limites.
Mais si Ton développe («*+Vi) ('^"^n) ' cequid^onne
on voit que les deux premiers membres des égalité^ ci-diÇ6,s^4iff€;7n rcnt de . , , i
îjj i JL . ........
quantité qu'on peut rendre aussi petite qu'on Tondra en prenant'' n. suffisamment grand, c'est-à-dire en. .prenant pour a et /S des valeurs de \fï eiàe y/^ suffisamment^approchées.
Les .produits )J2X\J^ et ^5x^2 sopt ^<>nc coE4)ris çpU^e.^ deux limites varialiles qu'on peut rapprocher Tuac de l'autre autant J qu'on le voudra ; il faut donc que ces produits soient rigoureusemgit égaux. Car, s'ils différaient, on pourrait rendre la différence a^s, deux limites moindre que la différence des deux produits qu^iolles, comprennent entre elles, ce qui serait absurde. On a donc ^.^^ i
V^xVS=V5X\/â .
ce qui démontre la proposition énoncée. •; ,
. •'■. '•,..': i -iti
152. II. Multiplier une quantité par le produit de deux facteurs incom^iensurables , revient à ta multiplier successii''efnent par ^kaôdn^ de ces facteurs, • ' . , '
Démontrons, par exemple, que multiplier une qùantîÊé à flar le produit (supposé effectué) \/^x^ > revient àmuiti^lfei^i* d'abord cette quantité par \/5 , et à multiplier ensuite le p^:adwit, .par \fE . si
En consicrvanllçs notations du numéro pi^écédent, on aurajd'^i-.
bord, puisque a et p , a+- et (3+- sont commensurablesy et que la proposition a été démontrée en arithmétique dans ce cas,
aX(a|3) = (^a)Xi3
Or, (yjîxsjs) étant compris entre «^ et («•+-) (i^+,~|) •> le produit ax{\f^X\/s) sera compris entre les premiers membres des égalités ci-dessusr; De mêitie, \/2 étant compris entre
.\^,W^^nTM m(iÀTi(0^^jj:ixçs du second degré. 133
a et «-rirr.,}, le. produit a.\/2 est compris entre aa. et
a (a-\ — j ; par suite, comm€i \fh est compris entre p et
|5+- -, le produit (a.\/2)X\/5 sera compris entre les seconds meBttbresl dès égalités ci-dfesus.' '
Les produits ax(\/2X\/5) et {a,\j2)xyf^ , sont donc compris entre les mômes limites. Or, en développant le premier membre de la seconde égalité, et retranchant le premier membre de la première^ on trouve pour la différence entre les deux limites :
quantité qtii jpeut être rendue aussir'petite que Ton voudra en prenant n suffisamment grand.
%es produits considérés sont donc compris entre deux limites variables qu'on peut rapprocher Tune de Vautre autant qu'on le voudra; ces deux produits sont donc rigoureusement égaux; et Ton a ' ' •
ax(N/2xVs)=^W2)xV5 ,
ce qui démontre la proposition énoncée. • •
On l'étendrait facilement à un nombre quelconque de facteurs. , » . . \ .1,1 ' ' <
183, m. Un produit d'autant de facteurs incommensurables quon le voudra est indépendant de l'ordre de ces facteurs.
Il résulte d'abord du principe I que l'on pput intervertir l'ordre d.es deux premiers fadeurs, puisque leur produit s'effectue avant l'introduction des. facteurs suivants. Démontrons que l'on peut intervertir Tordre des deux derniers. • ^
Pour cela, soit a le produit de tous les facleurs^jusqu'auxdeux derniers, que nous supposerons être y/2 et \/5 . Le produit lotdl sera
(aX>/2)x.V3 , ou, en vertu du principe II,
ax(v/2xVs) ; mais en vertu du principe I, on peut écrire
ax(V3xV2). -, .
et en vertu du principe II, ce dernier produit équivaut à
(axV5)xV^ . ■
134 ÉQUATIONS DU 2* *EOftÉ. — PRbCRfiSBtÔNS: — liOGAMTHIIEfi :
On voit donc qu'il est permis d'intennertir l'ordre -des deux derniers facteiirs.
Il en résulte qu'on peut intervertir Tordre de dettt facteurs consécutifs quelconques, car ces facteurs peuvent être considérés , comme les derniers, avant Tintroduclion des facteurs qui suivent! '
, Pouvant intervertir Tordre de deux facteurs consécutifs quelconques, on peut, par des changements successifs, amener un facteur désigné à une place désignée quelcooque. Et, comme on en pemt faire autant pour chaque facteur, on peut amener tous les facteur» \ dans un ordre déterminé quelconque.
Donc, enfin, Tordre des facteurs n'influe pas sur le produit; ce qu'il s'agissait de démontrer.
iS4. La première chose à faire, dans le calcul des quantités irrationnelles, est de simplifier les radicaux s'il y a lieu. Cettesimplification repose sur le principe suivant :
lY. La radne carrée d'un produit équivaut au produit des racines carrées de ses facteurs.
Soient, par exemple, a , 6 , c , rf les facteurs du produit :
je dis qu'on a
\/a,b.c.d,=\fâ,\Jb,\lc.\/d.
En effet, le premier merarbre élevé au carré donne a. 6. ô.rf par définition. Voyons ce qu'on obtient en élevant au carré le secoad membre. Ce carré se présen^e d'abord sous la forme
{y/â,\]^.\J7.\/l) {yfa.yfb,y/7.\Jd) y
OU, en vertu du principe II,
yja,\fb.yjc,\fd.sfâ,sjb.\jc .\fd y
ou, en vertu du principe III,
yja . \fâ. sfc.yjb, \fc, \fc. \fd. yfd ,
ou,(étf tertu du principe II, ' '
(sfâ. v/Â) X (s/I. sjb) X (>/c . sfc) X (Vrf. yjd) .
Mais, par définition, yja.\fa esi égal à a ; -de même yjb.yjb est égal à d , et ainsi des autres. Le produit obtenu peut donc s'écrire
Ainsi le carré du second membre de Tégalité ci-dessus revient au carré du premier mmbre. Dquc ces deux juembres sont égaujK t eux-jnêmes en viileur absolue. Et €omme, quel que soit le signe. , qu'on prenne pour chacun des radicaux v^, yé, etc., le pro-^ duit aura nécessairement le signe -f- ^^ '^ signe — ,c'est-à-
QUANTITÉS 1RR4TIONNBUJS8 IHJ SECOND JDE6R6. 135
dire Tan des deux signes que l'on peut donner au premiei: membre; il s'ensuit que les deux membres sont égaux pour la valeur absolue et pour le signe.
188. Supposons maintenant qu'il s'agisse de simplifier un radical ; par exemple
On décomposera la quantité placée sous le radical en deux facteurs, dont l'un soit un carré parfait; on pourra écrire ainsi
v/25a*6*x3aa; .
Or, en vertu du principe précédent, on peut extraire séparément (ou indiquer si l'on ne peut l'extraire) la racine de chacun des deux facteurs, ce qui donnera
La {H^emiëre racine s'extrait exactement (as. Rem. II), il vient donc
Sab^\/^ax ,
et le signe radical porte maintenant sur une quantité plus simple. On trouvera de même que les quantités
peuvent s'écrire respectivement
Qb^xsjïâ^ y llabx^s/^ y I2a^bx\/Qiâx .
Remarque. On nomme quantités irrationnelles semblables celles qui, lorsqu'elles ont été simplifiées, présentent la même quantité sous le radical. ,
Telles sont les deux quantités Qb^xyJSab et ïiabx^\l*iab obtenues ci-dessus.
136. On peut au contraire, dans certains calculsv avoir intérêt à faire passer sous le radical un facteur placé devant ; il est clair qu'il faut alors élever ce facteur au carré.
Si l'on 9f, en eflfet, l'expression a\[b , on peut l'écrire
sja\s[b y ou, en vertu du principe IV,
187. Ce que nous venons de dire d'un facteur peut se dire d'un dénominateur, car diviser une quantité par m , par exemple, revient à la multiplier par - .
136 ÊQUATIONSIW S'^DEG^Ilî. -^PJU)(Gïa«S£49N&4..t1-^OQAR^^ :
Soit llexpres^ioA > . . \ / . ; n;-
Sj-^t , qui revient à y ~ .a ou à • y {^' ..f< . En vertu de ce qui précède (184), on pourra Téci^ire V/Q'-n/^ , ou ^x/à , ou enfin >^ •
On a donc . „ .
ce qui permet de faire passer un dénominateur horsd*un radical en en extrayant la racine, ou de l'y faire entrer en l'élevant au carré.
158. Nous pouvons maintenant passer en revue les différentes opérations qu'on peut avoir à effectuer sur les radicaux du second degré. . ^ .. i
L'addition et la sodstbaction ne peuvent que s' indiquer, si les radicaux sont disseniblables.^ Ainsi,, la sonuoede \Ja et de v^ , s'écrira simplement \fa + Jb ; U\\r différiencce \la-^\[h . . . .
Si les radicaux sont semblables, on opère l'addition ou la soustraction des quantités placées devant le jradicfil ; ç^. radical est.^n facteur commun dont on affecte le résultat, Xinsi la somme des quantités « ; ., t . . - i m.
sfmab^' et Vaêâ^^Âv',
qui reviennent à Qb^xy/^aS et Habx^\JSàb ,
est {Qb*x+Habx^)\fZab . /
Leur différence est. (6 b^of—H a(fx^)\j3ai . j
159. MuLTiPTicATioN. Pour faire le produit de deux radicaux du second degre\ on peut faire le produit des quantités placées sous c^aciii^ d'eux, et affecter le produit du radical commun.
On a^ en efltet^ en vert» du, principe IV (184) s i j - ?
Cette réglé s'étend à un nombre quelconque dé fàcteut^s. ' Il pëut'àrriver que leprodurt soit susceptible de se simplifier, ou même qu''rl feoit fàti onnfe l. Aitisi : ' ' ' '
Lé produit de y JSa^b par yjibab^x est \j7¥a^¥x' , qui rev\^^i\&a*b\f3bxJ^^^^ : , . . ,
Le produit de yjia^x par ^18a^V est >/36a*^V , qai re:^ vient à 6a*iV . ; ..
: -^ ilOtiÂ^9)tiTéË lHE^Â<tlO^«fc£.E^I DU SBÊO^ID DGGHé; 137
160. Division. Pour diviser deux radicaux l'un par l'autre ^ on peut divisera* wtrjtar Vautre les qrmntités placées sous chacpm d'eux et affecter le quotient d^ radical eommu^, ■ = . /
J)ésignons, en effet, par q le quotient des radicaux \/a et y/b ; en sorte qu'on ait '
-^=^q dou \[a=sjù.q .
En élevant les deux membres au carré, àl viendra
Par conséquent ^=^/- . , T '
il ^eut arriver que le quotient soit susceptible de se simplifier, ou même qu'il soit rationnel. Ainsi : ' ^ * ; *
^'^é (^liotîent. dé >/lSWx^ 'par VlOa/5V e^ï ^ ,\/j|^^.;',' ou en simplifiant la fraction (81) V/^f • ' ''
Le quotient de ^glaô'a: ^par V^^aV .'est V/t^^^ ^
ou i/ij: , ou'ei^'. ^s " ' '>
V 4a2£c2 2aar
Le quotient de VÎSo^'paf^ V§aAV est \/j^' ^
OU. y^.^^ -^ p^^Yb \/-/\':\ •;•■'■ ;^;: ; r
161. Laformatién des puissances et rextrâfctiondeS' racines-dès radicaux du second degré rentrant; dans celles des radicaux d'un degré quelconque, et n'étantpoint hôtessai^cs pour la résolution ni pour la discusçiofl de? pr^felème$,du,8ie€ioi;^d.4agrè, nous tfep, triai:) tç,ron^^P9^;ipi d'uçie lo^niôre particaUfere'«Il:n^nopS;,re^te'dpnGà parler que de quelques transformatioijs qu'il qslt 5p^y:enit.jitil!9,à,e,. faire .subir aux expFessipns algébrique^ affectées de f at^icati^ du fécond àègré. '' . ' .. / . •• / '. '■
Lorsqu'une fraction algébrique contient unou pltisielir^ fadicistti'Jt ' du -second degré à'^on dénominatfeur, on peut les faire -pasBer à son numérateur.
