CHAPITRE IV

DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ , DES QUANTITÉS iH A- GINAIRES, ET DE LA DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ.

§ I. Des quantités irrationnellee du second degré.

180. Lorsqu'un nombre entier n'est pas un carré parfait, on sait que sa racine carrée ne peut être exprimée exactement ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire, mais que Von peut en approcher aussi près qu'on le désire. Ainsi une expression telle que \f% représente une quantité dont la valeur ne peut être assignée exactement en nombres, mais qui a néanmoins une existence réelle, puisqu'on peut toujours trouver deux quantités numériques, différant entre elles d'aussi peu qu'on le voudra, et entre lesquelles elle soit comprise. Une pareille quantité est ce qu'on appelle une quantité incommensurable, si on la considère sous le rapport de son évaluation numérique, ou une quantité irrationnelle^ si l'on né s'attache qu'au signe yj par lequel elle est représentée.

Une quantité telle que sfsâb , dans laquelle a et 6 sont des quantités numériques quelconques, est encore une quantité irrationnelle. On pourrait bien, à la vérité, trouver pour a et 6 des valeurs numériques telles que Sab devînt un carré parfait, auquel cas \/3ab , deviendrait rationnel etcommensurable;mais comme cela n'a pas lieapour toutes les valeurs qu'on pourrait attribuer à a et à & , il convient de traiter l'expression yjdab comme si le radical [12] ne pouvaitjamais disparaître, c'est-à-dire qu'il convient de la traiter comme si elle devait rester irrationnelle pour toutes les valeurs de a et de 6 .

Généralement, toutes les fois qu'un radical du second d^gré porte sur une quantité algébrique qui n'est pointun carré parfait, algébriquement parlant^ c'est-à-dire indépendamment des valeurs particulières qu'on peut attribuer aux lettres qui y. entrent, l'expression doit être regardée comme irrationnelle, bien que pb^r certaines valeurs particulières attri boées au x lettres, ellepui^^ cesser de l'être. C'est ainsi que \[^+^ doit être , considérée comme une quantité irrationnelle, attendu que a*+^* "^ H^^