QUANTITÉS IMAGINAIRES DU SECOND DEGRÉ
ji:t - §11. Ete« quéDtïléfl imagmairéft d« ïeooud dôgfé.t -^ ■
"16a. Nbtls âTons faît remarquer, au commencement du paragraphe précédent, que la racine carrée d'une quantité, posiliva^i qu'elle soitcommensurable ou non, a toujours une existence réelle, pQi$qn'03i peut toujours assigner deux limites numériqu^s^ aussi rapprochées qu'on le voudra, ^ntre lesquelles elle soit comprise. Il n'en serait plus de même si la Quantité dont on veut extraire la racine était une quantité négative. Non-seulement la racine carrée d'une quantité négative ne saurait être assignée en nombres, mais elle n'amême aucune existence réelle ; car il résulte de la règle des signes (il4) qu'aucune quantité réelle, soit positive,soit négative, Be peur, Ibrsqu'oirfennuitiplie par elle-même, donner un produit négatif. -
Ainsi -}-2, multiplié par lui-même, donne +4; et — 2 ', multiplié par lui-môme, donne également -{- 4. Mais il n'existe aucune quantité réelle quir multipliée par elle-même, puisse donner pour produit — 4. La racine carré e de — 4 n'a donc pas d'existence réelle ; et l'expression ^^.-^4 û'est <jue le sj^abole d'une opération impossible.
Lès expressions de cette espèce sont ce que l'on appelle des quantités imaginaires. '
Toute racine de degré pair d'une quantité négative est encore une quayfitité imaginaire; car, d'après la règle des signes, toute puissance pâîre d'une quantité réelle, soit positive, soît native, est nécessairement positive. Mais nous nous occuperons spécialement dans ce qui va suivre des .imaginaires du -seoopd degré. ' ^ / • /
. On donne ordinairement à ces quantités une f opme plus com* mode. Reprenons comme exemple l'expression \/— 4 . On regarde la quantité — 4, placée sous lé radical, comme le produit de -}- 4 par — 1 ; et pour extraire la racine carrée du produit on convient d'appliquer encore la règle du n^ |S4, c'est-à-rdire qu'on extrait, ou gué du moicfs on in diquè,larâcf ne carrée de c haque facrt^uar. On obtieat ainsi 2.\(~1 . De : m,êm e l'expression: V ^-a^ pourrait s'écrire û\/—l { l'expression ^--3 s'écrirait \j3,J—l . En un mot la racine d'une ^t^âiitilé négative s'êèrit éri multipliant par.V— 1 la, racine de la même quantité^prise positivement. /
163. Pour additionner ou pour soustraire deux quantités de la forme a\J — 1 , on opère l'addition ou la soustraction des quan-
' 1 40 ÉQUATIONS UU â^4)EGII£. i<H- 1>1IOQBrK9SI0N9; >-^liro&llRITHtf ES :
lilés réelles que ^/'^ iBtiltiplîel, et l'on met ^Z— î' éilt''fAëiéiiv commun. Alwsi ^ ' • : . . :i j • : w^
Pour, moltiplier l'une par l'autre deux quanti lôs de la' foWÉte <i\/^* » on fait le produit des qua ntités réelles, et ron'totiltî'plîe l'un par Tautrctes deux facteurs \f—i . ' '^' ]
' Soit, parexîempfe, à multiplier ay— 1 par Av— i ; op mu}^ p lie 'd ^afaord ft par A, ceijui doniie ab ; puis on iïiuj(tipj{p V — L£2^ V — * • ^® dernier produit, qui n'est autre f^ue Iç carré ue ^—1 , aonrié — 1 par la définition même de la racine carrée; Ife'tésttltat total îest done — ô8, c'est-à-dîre le produit ^rfès quantités réelles pris enseigne céhtralre. ' /' '* •''"
Ain^i ' (-f3v/=^)x(+a\/^)=^.— 16./' "/.':m ■'
Pour diviser l'une par l'autre deujx quaçtiljés d^)^fi)TO g gy -rr^ on'iait le quotient des quantités réelles,, et. .Iç £acte,ur Vjtt i 4i?r paraît. ^ * ' ^. . ., . >
' Aemarqée I. ^On pourraît faire le produit de ^/— T ,par y--! efA' appliquant là régie du n-*^ iSÔ, c'est-à-dîre eri efffectucint Itiy ulj ti plîca tjôh soliste radical.' On trouverait ainsi \/ (—i) >ixrrri)3] V+1 , c'estrî^-^ir^ ±.1 ^ :t^i» gii'QO^ reg^^v^i^fx^ lepr^dutt .comme le carré de l'un des facteurs \J — 1, nous n]avonî> trouvé que ^1 . Oii exyli^tierait celte contradiction apparente ^enremarqrfatit que ^—1 dev ant impltekeiftént > ttre pris atec un double sigtfe; le produit \l^iX\J—i peut lui'-tnôâie îôtrip aflectè d^iBadotiblr S4giiei;.ett sorte que si 'le produit absolu est h*»! , le>|)roâu4t, ek égard aux signes, est ±1 . '^'^
Mais il est préférable d'qffectp^r le.pro|duit cjSfnuxuô nous l'avons fait en prem ier l ieu ; celte méthode étant conforme à la définition même' flè 'yj—i , et' indépendante dé toute copeniipn krang^rjei'
..BWïiOURjIjMOn.voit Que les règles. qu'on vteatdedoiiiwiî.ptiur le calcQfl des (|uantité8 . de ïa forme \/— 4 ne sont que fèxien^' gkn des ' règles établies Jpoiïf 'le calcul des -qtiairtitès rèdh». 'Gé^è
: w OUAIYriTÉS- /IAUGINAIRëS OU SfiCOND- Df3Gaé. ' "141
çj^t^p^ipp., 4ont Vu,ti^té.$era, mieux ^ei^tie par l^ saite, e$t j¥siifi4e par la tendance^ de l'Algèbre à généraliser ses proo^^. .: .
164. Toi|te expressio n al gébr|qae dans laqUjBlte il eqtre dps quantités dé la forme a^— t est une expression imaginaire. Celles pi sont les plius importantes à oonsidéirerv^et auxquelles oii< peut, comme oa le verra plus tard, rameuier loule3 les, antres, $ont jes expressions de la forme û^+ô^ — i , qui se composant d'ui^e patlie réelle et d'une pallie imaginaire. Nous allons reprendre e^délail l*exàmen des opérations qu'on peut avoir à effectuer sur des ijuantîtés de cette forme. , , [
I. Addition. Soient a additionner les deux.quanti i,ès^a -i-b J —H et c^d\/ — 1 ; on pourra d' abord écrire lei résvlfat.4ejCfiWe. panière : «+*V~*+^+^V"^* y. Alftis <>R 43flataHps*) en ântep vertissant Tordre des terme s, éc rire a-^c-^-bsJ — l-|-d^— 1 ,
ou (163) (a4;c)4-(*+^ \P^ . ' '• '
Et I on v oit (jgue la spmm/3< de dent qi)â0lités de la forme
a-^-bsJ — 1 est encore une quantité de môme forme.
' IL^oùstRACTiopr. On verrait de la môirie manière qiie |a djtîé-
renc^ des deux quantités a-\-b\J — 1 et c+rfy — 1 est , . , ^
(a-c)+^b-d)s/~i , c'est-à-dire une quantité de même forme.
i&6 . ni. Multiplication. Soit à multiplier, a4- A J—1 jpar Cr\^d)J—i , En étendant aux qji^iitités imaginE^ire&.la r^l^ ()^^ n° 34, c'est-à-dire en multipliant chaque terme du multipirca^de par chaque terme du multiplicateur, et en alyant égard à la règ'le des «ignés >t à ce qtii'a été dîtatt n* i«8, dn obtiefidr^ ' ' • ^ ■'
aç-{-^bc\/—l-{-ad\/—l — bd ou ,(aQrr'bd)^(fyç,^,^(f)fs[^
kmi le prpdiiil est ^«ieore «une i^uantité de. marne tfoFH^.î - /
RfiHARQVB I« On peut observée iqae si V()a avait /^^±£4 et rf:=:^è, le résultat se réduirait à a*r|-6* . Ainsi on a ce théorème : î . . . .11 : î, ,
qui n'est que l'extension du théorème analogue déipontré pourJe^^ quantités réelles au n^ SB. . ' , . .. .i
RfUARQUEi U.> Le produit ne peuf être BfU;! <}a'^Utàn(>q(ié'lâ'|fërlie rielleetla.partieimagiinairps'attnulent âéparémeDlj puiLsqttel'unei d'elles ne saurait se réduire avec l'antre. Pourique te produit. fût
(i I '" -' I , ^ !;; / / ■ iM ^ , i I : // ' .
nul, il faudrait donc que Ton eût à la fois
ac—bdz=iO et bc-^ad=0.' • /
Faisant la soi^me des carrée, oi^ obtient
ou '\ [' (a*+Â*) (c*+d*)=0 , * V î . /
Or, on produit de quanti tés réelles ne peut être nQlqu'a>«itant que Tundes facteurs est nul. On doit donc avoir
ou bien a*4-ô*— , ce qui exige â=ti et ô=0 ,
ou bien c*4-<^==0 , ce qui exige c::r=0 et rfd±:0 .**
Dans le premier cas, le fa cteur «Hr^V; — * s'annule; d£^ns le second c'est le facteur c+d^~l . ...
Ainsi, un produit de deux quantités imaginaireê du second éegré ne peut être nul qu'autant que (un des deux facteurs est nul.
IV. Division. Soit à divisep fl+^V — * P^^ c^d\/—l-. On peut d'abord écrire le quotiçnt sous la forme fractionnaire^
Multiplio ns le s d^ux termes de cette expression fractionnaire par c—d\/—l ; il viendra
{ac+bd) + {bc---ad)\/^ '.
ce qu'on peut écrire
Ainsi le quotient se compo^ encore d'une partie réelle et d'une
Sartie imaginaire, c'est-à-dire qu'il est de la même forme que le ividende et que le diviseur.
On t rouve rait ainsi que l e quotient de lO+ÎS^— 4 par l+2>/^ est 8 — >/^.^ -
166*. V. Soit à former le carré de la quantité a-^-byj^i • D'après les règles de la multiplication, on trouvera
,.. • . .,; . .<jaÎT^6*)+2«6V^->— ' ' " I ••' ■'
quantité de la même forme que a-{-b\J—l . "
Ainsi le carré de 3+2'\/-^l .est 54-12^—1 . , j]
Vr. Soit enfin à extraire la racine de a*-\-byj—l . Nous allons
QUANTITÉS IMAGINAIRKS DU SECOM) DEGRÉ. 143
faire voir qu'elle est encore de même forme. Pour le démonlrer, posons
\fa+b\/^i=x+y\/^ : • "• ^ [Il
Il s'agira de démontrer qu'on peut trouver pour x eiy des valeurs réelles propres à satisfaire à cette égalité. Si Von él^ve ies deux membres au carré, do obliemt > '
Or, comme on suppose x ci y réels, et que les quantités réelles ne peuvent se réduire avec les imaginaires, cette équation ne pourra subsister qu''àutant qu'il y aura égalité entre les fcfuantités réelles, d'une part, et les quantités imaginaires de l'autre. On devra doûG avoir à la fois
et^ 2.ç^— -ft. . ■ • , - [4J
Multiplions l'équation [3] par 5 , l'équation [4] para, el retranchons ensuite membre 4 membre pour faire disparaître 1rs termes indépendants de x et de. y ; nous trouverons
bx^—'Èqxy — bi/=:0,
ou, en divisant par y^ , * '
KÏÏ-HD-'^'
Résolvons cette équation en y regardant - comme l'inconnue; il viendra
Multipliant membre à membre avec l'équation [4], en obtient ^x^=a±isja'+b' ,
dToù ^.^a±\/^' ^ . ^ yn ^^ ^gj
en ne prenant que le signe + » attendu que a;' doit être po- Delà •- '• x=^±i/'*+V^*'-^^' , ' • [7]
'• -r — ^^ a+Vft'-|ffc«
quantité réelle.'
Alc. s. 10
144 ÉQUATIONS DU 2* DEGRÉ. — PHOGKEbSlONS. — LOGAHITHMES :
Pour obtenir y , il suffit de mettre pour a:* sa valeur [6] ,dans Téquation [3] . qui donne
d'Où y=±y^\/^^^ ,
quantité. réelle, puisque sja^-^-h'^ est plus grand que xja^ ou que a .
En ayant égard à l'équation [4], on voit que a: et y doivent être pris avec le même signe si b est positif, et avec des signes contraires si b est négatif. On aura donc
et
quantités qui sont bien de la forme a^b\/ — 1 .
Soit, par exemple, à extraire la racine de 5 + 12^ — 1 ; on aura a=5 , 6=12 , par suite
V^:i:^ïv=^=± {^5^^+ y/y^p^ Vzi)
167 *. Le lecteur a pu se dema nder plusieurs foi s dan s quel but, si les quantités de la forme b\/—^ ou a-f-fcv/— 1 n'ont aucune réalité, on étend à ces expressions les règles établies pour le calcul des quantités réelles, et quelle estTutilité qu'on peut retirer du calcul des quantités imaginaires. A cela, nous pourrions ré-, pondre que ces quantités jouant un rôle dans la discussion. des pro-' blêmes Uu seconci degré, il importe de les étudier d'abord en ellesm^mes. Maison peut ajouter aussi que ces sortes de quantité;5, bien
^^'^''iatJAmÎTÉS liAbrlNXiïiÉlS DU skbNi) DEiGRÈ. i45
q'tfô^ n'ayant auciihe réalité,- peûveht servir à des^ transformations auxquelles il serait souvent plus difficile de parvefnir sans leur secours. Elles forment, conjmp on Ta ditquçlquefois, une sorte de pont que l'on jette d'une expression réelle â une autre, et que l'on brise après l'avoir passé.
^^ Pour donner un exemple élémentaire de cette propriété, qui justifierait à elle seule l'extension des règles du calcul des quarilités réelles aux quantités imaginaires, propoeons-nousde démontrer ce Ihéorèïî^ d'arilhmétiqoe î • / . '
Si un nombre est la somme de deux carrés^ son carré est encore la amime dedeuœ carres.
Iourte fai^re voir, dé&jgaons par n un nonabre^qui soit la somme de deux carrés a* et 6* ^en sorte qa'on oit • -
Ekvertli de la propriété démontrée au,n<yi68, on peut éc^rire cette égalité de la manière suivante : .
Elevons les deux membres au carré, il viendra
ou, en 'développant chaque carré,
n*=(a^— 6'-+2a6\/^) {a'—b'^—2ab y/^) , oui en vèrlu de. la propriété déjà citée, "^
n = (a'^—b'y-\-ia'b' .
Or, le secotid meBdbre est bienf'ia somme de cleuxcarn's; savoir : du carré de a* — 6* et du carré de 2ab.
En sortequenon^seulementon a^émoûtrè la proposition, mais encore on a une formule 'pour la- décomposition de »* en deux carrés.
Soit, par exemple, w=5 . Ce nombr? .est la somme de deux ^carrés 4 et 1 .Si l'on pose a=2 et 6=1 , d'où a*=4 et *fc*f;=:?l jpn aura, d'après ce qui précède^ * i ;\- ?
ainsi n* où 23 est la somme du carré de 3 et du carré, de 4' . ' Posons maintenant N=4*+3^ . en faisant a=:4 et 6==3".' La même formule donnera
',.'" ;N'-rp=.(16^9)^^-4.4^-3^'=:;7^+24^'; ' 'V
ainsi N* '^ ou le carré de 25 :, c'e^t-à^diriB €29 , est fà sorarr.e
I 46 ÉQUATIONS DU S"". D£l^é».r-T <»i^QQDi^SI|10N^» -TT.iUOC^^IfHMES :
du carré de 7 et Am .o^kWédf i3t; ÇÉj.qqijQSjt ^^r ftB^^:Ett{,^nisi de suite. ^hîjU./
Sans doute on aurait pu démontrer ce théorème sans le secours des quantités imaginaires^^ m^is/la 4ëiHbnstration qui précède est très-propre à faire voir, sur uft exemple élémentaire et simple, comment, d'une Relation entre miantités réelles, on peut déduire, par te secours des imagifiaireys, t^ne autre relation entre quantités réelles.
> ' • « I : ..' ■ .. ' -.'.•'. M ! ,'. .' / ' ij
g 111. biscQssiiti des jiroblètnes' du fcécoÀd âfe^fé'.' ' - ' ' ^^' '
168. Nous avons vu (i40, 142) qu unç éqiifeilîôfn dû secontf dWgré peut toujours être ramenée à lalbk^tifï'é* »*'4^'/>ii?4^'y'±=tï)l,''^ou à la forme plus générale aa;*T|-6a?+c=0. Pour cela nous avons dit qu'il fallait faire disparaître lès dénominateurs et effectuer les calculs. Nous pouvons ajouter à présent que, si l'équation contenait un ou deux radicaux du Sêdoûd degt-é; Sotis tes^uèli'K'irfcîilhUé^fèl engagée, il faudrait les faire disp,araîlre.
A cet effet, s'il n'y\aq{u>un pebl radical, on l'isole dans un membre; et, en élevant les deux membres au carré, on le fait disparaître. ^8oit,ptir>ex!emple;'Fôqa»tion': \ - -^ ^ I j .t./
on en tirera successivement ' ' ' \ ' \^ ^ ^ ' >"^* ^ ; . \> v . 4;^ ^ {
OÙ il n'y aura plus qu'à effectuer les calculs et transposer.
S'il y a deux radicaux, ori les isote^d^ns un%embre; on élève au carr^;l^ mem,br^ qui co^lepaitles radicaux,np,co9tieA<,plus'alojçs que leur doubla pro^iji^. Qn isole .ce double.produit diaûs up ççul membre; et, en élevant une seconde fois au carré,, on obtient' jine équation débarrassée de radicaux. Soit par exemple, l'équation f
on en tirera successivement
xJ^l^—X;-\^^y^x(^l^^ ,' ou y^(13— a?)=6^ ;
puis a:(13— a?)=36 , ' ' ^, ,,^,.
où il n'y àurtl pliià qilè ïeâbalculfe à 'efféc^tuet. '•'■'•'' ''^ 'i»)
