Cela posé, reprendhs Uéquàtion xiu second degré sous la

' *^'"i61S<iO*1s!l(TPr 0ïfS''l»ft<M*IiKAfeS^ du 'feÊéÔND BÉGl\É. 147

'^^NbiÀ^aiô^ii^ VU» '(MO)! (|tf erf' fa tîSsoïvant bn «obtient les deux valeurs :

.•I MU •'.,.. •« >'\l . ,

Ces valeurs, que nous désignerons par x' el x" , sont ce que Ton a rhabitude.d'a^ppeiler lesTaç/m^^de réqjis^lion du second degré. Il est important de ne pas les confondre avec le radical

,„,Sif)p 1^3 ajoute oà obtiJ^nt, ; ^ . h .. ,

■•^i''^J' •' "' '^îi '". ' P P ' * •' - ' ''

eAîsi.W;Jles^in}ultj;P^ie^OB. trouve popjr produit . . . ...

■ 1 n.^'.«;";ip|''-r'(Ç^î)^î.':,

Ainsi : 1° /d somme des moiiM» /d'une éqfiation du.second degréi-df la forme \^-{-f\-{-q:=0,eHygale au coefficient de la première puissance de X , pris en signe èontrdire; et/, ^° le produit de ces mêmes racines est égal au terme indépendant de,]{^. , ... ., .,.,,, ,j,, ,. ,

170. Riéciprçguemefît :, ^i d^yf quantité^ ;^a e^ b remplissent ces conditions, en sorte qu'on ait à la fois

n«:^'/-M, :: " ' ' '^ .'. .^'ar^bf^fi el^aé=s i ...*■':!. <"""

Gés'(j[uà^tii(é!5S6ïil tîidinfeà de réquatîoti [<], c>st-à-dire tjuë, mises â'ia placé' d^è x ,' elles klatfsfont à l'éqbation. Gàr on tire de' la {li^ëinlèr'é'reldtiW '" ' ^'^ ' • "'''•'•" "" " '■••'■ '■' " ' •• *•

à=—p — a , et, en mettant pour b celte valeur d/ns là s(èconde, il vient

—pa—a^=q ou a*-|-/?a-|-g=0 .

,: îr '.^ ^'ï \.J 'v- . '-1: ,>...• î;I •■ yi. > - M, •. c est-à-dire que 1 équation est satisfaite quand on y remplace x

para. ''' / ''^ * •

On démontrerait, /en.élijaaiftaiït a, au .çoqtpiyq,; qfl'jÇp ,a,8ju3si

p!estrà-dire que Téquation est satisfaite quand on y remplèice x

Digiti

148 ÉQUATIOjS^nV 2*4WGPÉ.,rr-J»^Gft^^fO|il^^-7:.WMiAftJÏHMES :

171. = Rewplv^çons^ di^ns l'équ^vli^^ >[ij, P Bt q ^paç^Jeur^ valeurs — {a(J^x") et ,a:V ; il viendra » . .

OU X^ — x'x — x''x-\^x'x"::=:0 ,

OU encore . x(x — x') — a:"(^-'^')^^0 , -rj

ou enfin {x—x') {x~x")=0 . '. [2]

Ainsi, le premier membre de l équation x*-|-|)x-|-q=0 se décompose en deux facteufs du premier degré^ formés ete l' inconnue -k diminuée alternativement des deux racines.

Si, par exemple, on a r.équotion , . ^ |

qui a pour racines 2 et 3 ; son premier membre pourra se mettre soiis la forme (x — 2) (x — 3), ce qu'il est facile de vérifier. . Paneillement, le premier membre de l'équation . .

qui a pour racines -{-^.el -:-3 , pourra ce mettre sous la jformô

attendu que la différence entre x et — 3 est i-{-3 . • ' ^

Remarque I. Le théorème que nous venons de' démontre r'^rdll conjpren^re pourquoi .uo.e équation du secqçd degré peut étre^^atisfaite de deux manières; c'est que, son premier membre pouvant, se^écomposer en deux facteurs du premier degré, on peut anïiiUjler ce premier membre en égalant à zéro l'un ou l'autre des deux facteurs. ,

Si, par exemple, on aTéquation x^ — 5j: + 6— 0, et qu*on \'i mette sous la forme ■ -

on voit qu'elle peut être satisfaite, soit en posant ^r—^ 2=6' ^ d'où x=2 ; soit on. posant a;^-*3i;=0 > :d'.où x,:^^. \ ]

Remarque IL Le même théorème démontre aussi qta'uneéqmUhn du second degré n'a que deux racines^ c'est-à-dire ne peut élre satisfaite que de deux manières. Et, fR effet, en mettant l'équation [1] sous la forme [2], on voit bien qu*on ne peut satisfaire à l'équation, c'est-à-dire annuler son premier membre, qu'en annulant l'un des deux facteur&>.(168, /'em. II), ce qui donne ou X — x'=0 , d'où x=::x' , ou x—â:"=zO , d'où x=x" . '

Remarque III. Il résulte encore du même théorème qv^Çj fi a^.fisf

MSCrSSÏON DES l»rtOBlJ>MKS DU SUCÔND dëgrh!.' 149

une des racines de l'équation x^-f-px-l-qczzO , son premier membre est divisible par x — a ; car, si l'on uppelle b la seconde racine, le premier membre pourra se roellrc sous la forme (x — a)(x — b) ; donc il est divisible par x — a.

172. Discutons maintenant les valeurs tirées de l'équation '^*"f"P^+?=0 , savoir