CHAPITRE PREMIER

NOTIONS PRÉLIMINAIRES § I. But de l'Algèbre.

I. L'Algèbre est la science qui a pour but de résoudre d'une manière générale les questions relatives aux nombres.

C'est-à-dire que, dans cette partie des mathématiques, on ne se contente pas de la solution particulière d'une question, on recherche encore la solution générale de toutes les questions du même genre.

Pour y parvenir, on représente par des lettres les grandeurs connues ou inconnues que Ton a à considérer ; et, à l'aide de signes abréviatifs, on ^cn'Mes relations que la nature du problème établit entre ces grandeurs. L'Algèbre donne ensuite des règles pour transformer ces relations en d'autres plus simples, ou mieux appropriées au but qu'on se propose ; et c'est en déplaçant ainsi successivement la difficulté qu'on peut la diminuer et enfin la résoudre. On obtient alors la valeur de chaque inconnue sous la forme d'une expression générale^ dans laquelle il n'y aura plus, dans chaque cas particulier, qu'à remplacer chaque lettre par sa valeur particulière, et à effectuer les calculs qui ne sont qu'indiqués. Une pareille e-xpression générale est ce qu'on nomme une formule algébrique.

Un exemple éclaircira ces généralités.

2 OPFRATIONS FONBAMENTALES :

2. Proposons-nous d'abord celte question particulière : Trouver deux nombres dont la somme soit il et dont la différence soit 5.

Pour la résoudre, nous pourrons d'abord faire le raisonnement suivant :

La dîlTérence des deux nombres étant 5 , le plus grand est égal au plus petit augmenté de 5 ; là somme des deux nombres estdonc égale au plus petit nomhre augmenté de 5 , plus encore au plus petit nombre ; ou, ce qui revient au même, à deux fois le plus petit nombre, plus 5 . Mais cette somme doit faire 17 ; donc le double du plus petit nombre, plus 5 , égale 17 . Il en résulte que le double du plus petit nombre, équivaut à 17 , diminué de 5 , ou à 12 ; et que par conséquent ce plus petit nombre lui-même est la moitié de 12 , ou 6 . Par suite, le plus grand nombre est égal à 6 , plus 5 , ou à 11 .

On remarque que dans ce raisonnement certaines expressions se reproduisent un grand nombre de fois ; ce sont le plus petit nombre ; le plus grand nombre ; plus ou augmenté de ; moins ou diminué de ; égale ou équivaut à. On pourra donc simplifier récriture de ce raisonnement en convenant, par exemple, de représenter le plus petit nombre par la lettre x , le plus grand nombre par la lettre y ; les expressions pte ou augmenté de par le signe -|- , déjà employé en arithmétique, les expressions moins ou diminué de pur le signe — ; la division par 2 en mettant ce nombre en dénominateur ; enfin les expressions égale ou équivaut à par le signe rr= . A l'aide de ces conventions, leraisonnementci-dessus pourra s'écrire de la manière suivante :

donc

Mais

donc

ou

De là résulte

donc

.Tz=:~0U.'r = 6 .

Par suite,

Chacune des lignes que nous venons d'écrire, correspond à l'un des raisonnements partiels qui composent le raisonnement total écrit plus haut.

3. Les raisonnements seraient évidemment les mêmes si les nombres 17 et S étaient remplacés par des nombres quelconques. Mais les signes abréviatifs que nous avons employés ne suffisent pas