NOTIONS PRELIMINAIRES. S
pour mettre en évidence ce qu'il peut y avoir de commun dans les résultats des raisonnements, quelles que soient les données. Gela tient à ce que les résultats numériques auxquels on est conduit n'offrent aucune trace des opérations qui ont servi à les obtenir. Ainsi le nombre 6, qui a été obtenu en retranchant 5 de 17 et en prenant lamoitié du reste, pourraits'obtenird'une infinité d'autres manières; et rien dans ce résultat brut 6 n'indique comment on y est parvenu.
Il n'en serait pas de même si, au lieu d'effectuer les opérations numériques au fur et à mesure qu'elles se présentent, on se contentait de les indiquer par des signes. C'est ce que nous allons montrer en reprenant le même problème; mais afin de donner à la solution toute la généralité qu'elle comporte, nous remplacerons les données numériques par des lettres auxquelles on pourra ensuite attribuer telles valeurs qu'on voudra. Nous désignerons donc par a la. somme des deux nombres inconnus x et j/, et par b leur différence, x désignant toujours le plus petit.
Cela posé, nous allons reprendre le raisonnement total; nous le reproduirons ensuite en employant l'écriture algébrique; et, afin de rendre la comparaison plus facile, nous aurons soin de marquer d'un numéro d'ordre commun les raisonnements partiels qui se correspondent :
[i] Le plus grand nombre, moins le plus petit, égale la différence donnée;
[2] Donc, le plus grand nombre équivaut au plus petit, plus la différence donnée;
[3] Le plus grand nombre, plus le plus petit, égale la somme donnée ;
[4] Doue, le plus petit nombre augmenté delà différence donnée ; plus encore le plus petit nombre, égale la somme donnée;
[5] Ou bien, deux fois le plus petit nombre, plus la différence donnée, égale la somme donnée.
[61 II en résulte que : deux fois le plus petit nombre égale la somme donnée, moins la différence donnée ;
[7] Et qu'enfin, le plus petit nombre égale la moitié delà somme donnée, moins la moitié de la différence donnée.
[8] Par suite, le plus grand nombre égale la moitié de la somme donnée, moins la moitié de la différence donnée, plus cette mêm«; différence ;
[9] Ce qui revient à la moitié de la somme donnée, plus lamoitié de la différence donnée.
i'- OPÉRAIt^S rONDAMENTALES :
Enécritore algébrique, les mêmes raisonnements deviendront î
[2] donc
[3] Mais
[4] donc
[5] on bien
[6] Il en résulte
[7] et enfin [8] Par suite [9] Qu bien
Remarque. On voit que lorsqu'on a la somme et la différence de deux nombres^ on obtient le plus petit en retranchant la moitié de la différence de la moitié de la somme ^ et le plus grand en ajoutant la moitié de la différence à la moitié de la somme; ce qui constitue un théorème de calcul.
