L*opération serait impossible

t^ Si le plus haut ou le plus faible exposant d'une lettre quelconque dans le polynôme proposé était impair. Car, en ordonnant par rapport à cette lettre, il fautque le premier et le dernier lerraes soient des carrés parfaits, ce qui exige que les exposants de ces termes soient pairs ;

Alg. s. \d

:. a*î s» vftpkTèSfikVoir ordonné par rapport aux puiKanGesd^une leltre quelconque, le premier et le dernier termes n'étaient pas des carrés parfaits;

3** Si le second terme n'était pas exactement divisfblepar le double de la racine carréedu premier, ou si l'avant-dernier terme n'était.pas exactement divi3ible par le double de la racine carrée du dernier;

4® Si, dans le cours de l'opération, on parvenait à un reste dont le premier terme ne fût pas exactement divisible par le double du premier terme de la racine obtenue.

24?. Lorsqu'un polypQme n'est pas un carré parfait, on peut encore appliquer arbitrairement la règle du n** 241 jusqu'à ce qu'on parvienne à un cas d'impossibilité, au quatrième par exemple. Il résulte alors des calculs effectués que le polynôme proposé est identiquement égal au carré de l'ensemble des termes trouvés à la racine, plus le reste auquel on est parvenu. L'opération n'a d'autre résultat, dans ce cas, que de décomposer le polynôme proposé en deux parties dont l'une soit un carré parfait. Tel est, en effet, le seul but qu'on puisse, alors se proposer.

Si, par exemple, on applique la règle du n** 241 au polynôme

qui n'est point un carré parfait, puisque son dernier terme ISa? n'est pas un carré, après avoir obtenu à la racine les trois termes

on trouve pour reste iOa^x — 12a® .

Il en résulte que le polynôme proposé peut se mettre sous la forme

C'est le seul résultat qu'on puisse tirer des calculs effectués; mais ce résultat peut avoir son utilité dans certaines circonstances.

244. Remarque. Nous avons supposé qu'en extrayant la racine carrée du premier terme du polynôme proposé on prenait cette racine avec le signe +; mais, d'après ce qui a été dit au n**245, on pourrait aussi la prendre avec le signe — . Il est aisé de voir, en récapitulant les calculs à effectuer, que l'on obtiendrait alors la même suite de termes à la racine, mais que ces termes auraient tous un signe contraire à celui qu'ils auraient eu si l'on eût pris le premier terme avec le signe +. En sorte qu'on obtiendrait la même racine totale, changée de signe, ce qui est en effet une solution du problème.

245. Pour extraire la racine carrée d'une fraction algébrique, il faut extraire la racine de chacun de ses termes; cela résulte delà