CHAPITRE IX
DE LA FORMATION DU GAERÉ DES QUANTITÉS AIGÉBRIQUES, ET, DE l'pXTRACTION DE LEUR RACINE CARREE.
â I. De la formation du carré des quantités algébtî^es.
233. Le carre d'une quantité algébrique est le produit de cette quantité, pjar elle-rméiue.
Pour former le carré d*un n^Qnome, il fautai* stprès les règleç^e la multiplication des monômes, multiplier le c<)ei&cient par luimême, et ajouter à lui-même l'exposant de chaque lettre ; il faut donc, en d'autres termes, /arre le carré du coefficient et doubler tous les exposqnts.
Ainsi, le carré de Sa*6'a? sera 25fl*6V .
234. On a vu que le carré d'un binôme se compose du carré du premier terme^ de deux fois le produit du premier par le second^ et du carré du second (36).
Voyons comment se compose le carré d'un trinôme.
Soit le trinôme a -j- 6 + c . Représentons par une seule lettre X l'ensemble des deux premiers termes ; nous aurons à former le carré de x + c , ce qui, d'après la règle rappelée ci-dessus, donnera
ou, en remettant pour x sa valeur,
(a+6)*+2c(a+6)+c'- , ou encore
a'+iab + b'+'iac+ibc+c' ,
c'est-à-dire que le carré d'un trinôme se compose du carré du premier terme y plus deux fois le produit du premier terme par le second, plus le carré du second^ plus deux fois le produit de chacun des deux premiers par le troisième^ plus le carré du troisième.
2i8 PuissANces bt racines. — éqcations bigarri!i<: et exponentielles :
235.. On trouverait de même que s'il y avait nn quatriëtae terme, le carré contiendrait^ outre les parties qu'on vient d'éntrmérer, detix fois le produit de chacun des trois premiers termes par le qiMtrième^ plus le carré du quatrième.
La loi de formation est évidente, et il est facile d'en démontrer' la généralité.
En effet, supposons-la démontrée pour un polynôme de n — 1-
termes a-|-t + ^+ +* ^ et faisons voir qu'elle subsistera
pour un polynôme de n termes
Pour cela, représentons par x l'ensemble des n-r-l premiersi» termes ; nous aurons à former le carré de ar+ / , ce qui donnera
ou, en mettant x sa valeur,
(a+6-|-c.... + i)*+2(â+6+c.... + fc)/+r- ,
ou (a4.6+c....+A)'+2fl/+26/+2c/....+2ft/+/* ;
c'est-à-dire qu'il faudra ajouter au carré du polynôme de n — ^ termes deux fois le produit de chacun de ces n — 1 premiers ter- ; mes par le n**"* , plus le carré du n**"* ; ce qui démontre que si la loi est vraie pour n — 1 termes, elle est encore vraie poilr . n termes. . '
Or, on t'a démontrée directement pour 3 termes ; donc elle est vraie pour 4 ; étant vraie pour 4 termes, elle Test pour 5 ; et ainsi de suite. Donc elle est générale. \- ^
D'après cette règle, on trouvera que le carré du polyi^ome
2aaî»+ 4a V— 4a'aî+ 3a* est 4aV+16aV— 20aV+40aV— 24a''x+9a^ . -
236. Remarque I. Lorsqu'on ordonne le polynôme par rapport aux puissances d'une même lettre, il y a toujours à son carré quatre termes qui ne peuvent se réduire avec aucun autre. Ces termes sont les deux premiers et les deux derniers, si le carré est lui-même ordonné.
En effet, si , par exemple, a + 6-|-c ....-)- A: -f / représente un polynôme quelconque, dont les termes a ^ b , etc., sont deg môïîiomes quelconques ordonnés pat rapport aux ptiissanciesHécroissantes d'une certaine lettre x , le terme a contenant la' ' lettre ordonnatrice avec un plus haut exposant que tous ïeis autres, son carré a*, qui sera le premier terme du carré total, contiendra aussi la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé qu'aucun des termes 2a* , 6* , 2ae , etc., qui suivent, et ne pourra
^OIVMATION pu GARBf^ BtB» QUANTITÉS ALQÉBAlODES. 2fd
ccmséqoemment se rédutre avec aucun autre. C'est ce que ii6tis avons déjà vu dans la théorie de la multiplication.
En second lieu, le terme ïab se compose du produit des deux termes qui, dans le polynôme proposé, contiennent la lettre ordonnatrice avec les exposants les plus élevés; il contiendra donc luimême celte lettre avec un exposant plus élevé que les termes &* , 'iuc , 2bc , etc., qui le suivent, et ne pourra conséquemment se réduire avec aucun autre.
Ce que nous avons dit des deux premiers termes, a^ et 2afr , en considérant les plus hauts exposants de la lettre ordonnatrice, nous pourrions le dire des deux derniers, l^ et 2*/ , en considérant les plus faibles exposants de cette lettre.
Il y aura donc bien quatre termes qui né se réduiront pas ; et ces termes seront les deux premiers et les deux derniers, si le polynôme est ordonné.
Il faut bien remarquer qu'on ne pourrait rien affirmer de semblable pour les autres termes ; car |e terme 6* , par exemple, pourrait fort bien se réduire, et se réduira ordinairement en effets avec le terme 2ac , dont les deux facteurs contiennent la lettre ordonnatrice, Tun avec un exposant plus éle\é que dans b , et l'autre avec un exposant plus faible.
Remarque II. Ce que nous venons de dire des termes isolés^ on pourraitle dire des groupes de termes, s'il arrivait que lepolyuome proposé* contînt plusieurs termes affectés de la même puissance de la lettre ordonnatrice.
237. Pour former le carré d'une fraction algébrique, il faut, d'aprèsles règles delamultiplication des fractions, faire le carré de son numérateur et le carré de son dénominateur.
Ainsi le carré de ^ est |^ ,
le carré de Vi. ^st — "*<.m ^^iT — .
et ainsi de suite.
§ IL De l'extraction de la racine carrée des quanritéa algébriques.
238. Ldiracine carrée d'une quantité algébrique eslune seconde quantité qui, multipliée par elle-même, reproduit la première.
Mais, ainsi qu'on l'a déjà vu (138), cette racine se distingue dé la racine carrée considérée en arithmétique par une différence essentielle. La racine arilhmélique d'une quantité numérique est essentiellement positive; la racine algébrique à! xïXi^ quantité, soit
2gû- PUlSSikNCB&BT RACINES J ^t^ ÉQUATIOI^S aiQARRBB £X BXFmfiPmELLES :
numérique, soit a Igébriqae, peut être pnis|e ândiffôremment^^vf^ deux signes contraires. En effet, soit k extraire la racine carrée de 49 ; au point de vue arithmétique, la racine est^- 7 ;mais, au point de VU0 aigébpiqiie, cette racine est aussi bien;r--i.7 i.que; + 7; car — 7 , multiplié par lui-même donne^é'après tes tô^is des signes^ -f- 49 , aussi feien q«ie + 7 multiplié paplai-^même. Dermétne ^-éi^ étant ans^i bien le carré de ~a qbe^ le loarré de= 4^ d , la ikcine de -f- «* est donc, à /volonté, 4- « • <mî. -^ «f • Ofifindique cette double solution en affectant la racine du double signe ± , et l'on écrit
'',.'' sl^^zta ;, ^49— ^7 J ' . . " .. ..'...,
Nous pouvons toutefois, quant à {présent, faire abstraction de ce double qigue ; sauf à nous rappeler, lorsque nou3 aurons extrait ^la r?uûne d uûe quantité algébrique, que cette racine peut 'être prjse indifféremment .telle que nous Taurons trouvée, ou en signes contraire, ■ i \ . .-./ '"
239, D'après la règledêQBée pour former le carré d'un monôme, on peut voir que, pour qu'un monomesoit un carré parfait, îl faut: l^ qtie son doeflicient soit un carré parfait ;• 2^ que lesex^osafitéde toutes les lettres qui y entrent soient paii's.
Si ces déni conditions sont remplies, on obtiendra la racin« carrée du môiiome proposé en eïctrayant la racine de-soa coefficient, et eà divisant par 2 les exposants de toutes \es^ leUriBs. Ainsi la racine de i9a^b^tc^ est Ta^b^oû , abstraction faite éa double signe dr . . . *i .' .. .
Si ces conditions ne sont pas remplies, on se contenttedntidiquef la racine. Soit, par exem pte, lemonwne 24(iWa? ; sa rafeinesera indiquée par \Jiia^b*x .On a vu (155) comment on peut sinliilifier les expressions de ce genre. s « *.:
240. Soit maintenant à extraire la racine éarrée d'un polynôme. Remai^qtfôns d'abord qu'un binôme ne saurait Ôlre nu carré parfait,' car le 4^arré d'un monôme est iin monôme, et le eaarré d'un binôme est an trinôme. U faut donq que le polynôme proposé ait^ au moins trois termes.
Gela posé, désignons le polynôme proposé par
A+B+G+D+E + etc... . ^ ^.
lë^ lettres A ,B , G , etc., représetîtant, pour àî^réger, des'
mofïomes quelconques, que nous supposerons ordonnés par ràppôrti
auxp^iBsances déaroîssantes d*uneinôme lettre, W;f»t elïemple/
^^tfpposohs; quele polynôme^ proposé-soit an thr^érf^^imi^^ «ti
> FÛRVATION DU OARRÉ DBS QUANTITÉS ALÛÉBRIQUfiS. 321.
représentons sa racine par
polynôme que nous supposerons également ordonné par ribpport, aux puissances décroissantes ùb x.
D'après les remarques faites au n^ S36, le carré du terme a n'a pu s6 réduire avec auoun autre terme, du carrée et se .trouve! être le poremier terme  du polynôme proposé. En extrayant, donc la racine de ce premier terme> on aura le premier teiFine a de la racine demandée.
Ayant trouvé ce premier terme de la racine, on en fera le carré que Ton retranchera du polynôme proposé, et i} restera
B+C+D4-E4-etc. [l]
' Or, d'après les mêmes remarques, le premier terme B de' ce reste doit être exactement le produit du double du premier terme de la racine par le second, produit qui n'a pu se réduire avec aucun autre. En divisant donc ce premier terme B par le double 2a du premjief terme de la rmxke^ on obtiendra pqur quptient.le second terme i.
Ay4U[it trouvé ce seqond terme de la racine, on sait que le poly-t nome proposé doit contenir le carré de la somme des deux pr^e-; aiers termes a-f-è de la racine (a38)»c'est-à*dire les trois termes a* -f- 2ai 4- ** ; on pourrait Wmer ces trois termes et l^s retrancher du polynôme proposé ; niais comme on en a déjà retranché a' , il suffit déformer les deux suivants et de les retrancher du reste [1]. Pour cela, on écrirai la suite du double du premier fermeté k racine le second terme de cette même racine, ce qui donnera 2a 4^ 6 , et Ton multipliera la somme par b , ce qui donnera ^ab -{- 6* ;\)n retranchera ce produit du reste [i], et on obtiendra un second reste . ; . i
C'+D+E+F+etc. . ., .. J2]
D'après la loi de formation du carré d'un polynôme (23^) , cel reste doit contenir encore les doubles produits die chacun des deux< premiers termes de la racine parle troisième, plus le carré dui troisième, etc., c'est-à-dire les termes
2ac+26c+c'+etc. ' " *
Or, parmi ces termes, le premier 2ac est celui qui contient la lettre orâoosiatriee x avec le plus haut exposant, car. a, est: plus ilmés an a> que b ; ce terme n'a dx)nc pu se rédfiire ave^j aaeijift dccetu^qui le suivent, et doit, par conséquent, s^ trouvera, peemier ^dai^s le reste {2] . En dj visaatdonc le precpiier terme C de
m PUISSANCES £T RACINES. — ÉQUATIONS BIGARRÉE ET EXPONENTIELLES :
ce second reste par le double 2a du premier terme de la racine, on obtiendra pour quotient le troisième terme c .
Ayant trouvé ce troisième terme, on sait que le polynôme proposé doit contenir le carré de la somme des trois premiers termes de sa racine, lequel carré" revient à (a+6}*+2ac4-2fe+^* • On pourrait former ce carré et le retrancher du polynôme proposé ; mais comme on en a déjà retranché (a+6)* , il suflBtde former les termes suivants et de les retrancher du reste [2]. Pour cela, on doublera les deux premiers termes de la racine, et Ton écrira à la suite le troisième, ce qui donnera 2a-+-2ft -\-c \oxi multipliera par c , ce qui donnera 2ac+26c+r ; on retranchera ce produit du reste [2] , et Ton obtiendra un troisième reste
D'+E'+F+etc. [3]
D'après la loi de formation du carré d'un polynôme, ce reste doit contenir encore les doubles produits de chacun des trois premiers termes de la racine par le quatrième, plus le carré du quatrième, etc., c'est-à-dire
2ad+2M+2cd+d*+etc.
Or, parmi ces termes, le premier 2ad est celui qui contient la lettre ordonnatrice x avec, le plus haut exposant; ce terme n'a donc pu se réduire avec aucun de ceux qui suivent, et doit par conséquent se trouver le premier dans le reste [3]. En divisant donc le premier terme D* de ce troisième reste par le double 2a du premier terme de la racine, on obtiendra le quatrième terme d .
Ayant trouvé ce quatrième terme, ou sait que le polynôme proposé doit contenir le carré de la somme des quatre premiers termes de sa racine, lequel carré revient à
(a-f6+c)*+2ad+26rf+2cd4-d*.
On pourrait former ce carré et le retrancher du polynôme proposé ; mais comme on a déjà retranché (o+6+c)* i il suffit de former les termes suivants et de les retrancher au reste [3], Pour cela, on doublera les trois premiers termes de la racine, et I'oq écrira à la suite le quatrième, ce qui donnera 2a-j-26-|-2c + rf; on multipliera par d , <;e qui donnera 2ad+26d-f-2cd-f-d* ; on retranchera ce produit du reste [3], et l'on obtiendra un quatrième reste, sur lequel on opérera comme sur le précédent.
En continuant ainsi, on obtiendra successivement tous les termes de la racine ; et Ton reconnaîtra que l'opération est terminée lorsqu'on parviendra à un reste nul.
S4i. Soit à exiraÎFe la racine carrée du polynôme 4«V+16aV— 20oV-f 40fl«ar*— 34«lT+9a« .
FORMATION DU GARUK DES QUANTITÉS ALGÉBniQUES. Hli
Dans la pratiqi», on dispose Topiiration comme .ci-dessous : ^4aV + 4«aî*
[I] +16a»j;^— 20a»a;5+40ït«a;-«— 24a''a?+9a» + 4aa;3-f- 4a»a;«
+!2a5x-5+24a«a;*— 24a'ic+9a8 — 4a5a?
— i 2a«a&5--24a«a;^+24a'^a;— 9o« + 1 6a'*a;'^— 32a»3?^+ 1 Cm^x*
+3rt«
+ 1 2a V+24a<ix^— 24a7aî+9a8
et l'on déduit de ce qui précède la règle suivante, dont on peut Tôrifier l'application sur l'exemple qu'on vient de traiter.
Pôur extraire laracitie carrée d\m polynôme, on l* ordonne par rapport aux puissances d'une certaine lettre; on tire à sa droite un trait vertical pour le séparer de la racine à obtenir, et Von tire un trait horizontal au-dessous de l* espace réservé à cette racine. On extrait la racine du premier terme du polynôme, et on V écrit comme premier tervie à la racine. On fait le carré de ce premier terme, on le retranchedu polynôme proposé, et l'on obtient un premier reste [l]. On écrit audessous de la racine le double de son premier terme ; on divise le premièr terme du reste [\]par ce double du premier terme de la racine; le quotientest le second terme de la racine. On écrit le double dupremier ternie de la racine; à sa droite on écrit le second terme, et l* on multiplie la somme par ce second terme ; on retranche le produit du reste [I] et l'on obtient un second reste [2]. On divise le premier terme de ce second reste [2] par le double du premier terme de la racine ; le quotient estle troisième terme delaracine. On écrit le double des deux premiers termes de la racine ; à la droite de ce double, on écrit le troisième terme de la racine ; on multiplie la somme parce troisième terme ; on retranche le produit du reste [2], etVonobtient un troisième reste [3]. On divise le premier terme de ce troisième reste par le double du premier terme de la racine, et l'on obtient le quatrième terme de la racine ; et ainsi de suite. L'opération est terminée quand on obtient pour reste zm0 .
