ÉQUATION BICARRÉE. PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES

§ I. De la résolution de Féquation bicarrée, et des problèmes qui conduisent à une équation de cette espèce.

24G. Ou nomme équation bicarrée une équation du quatrième ttegré qui ne contient que les puissances paires de l'inconnue. Lorsqu'on a fait disparaître les dénominateurs, passé tous les termes dans un seul membre, réuni en un seul tous ceux qui contiennent rinconnue à la quatrième puissance, en un autre tous ceux qui la contiennent à la deuxième puissance, enfin en un troisième tons ceux qui sont indépendants de l'inconnue, l'équation bicarrée se présente sous la forme

Pour résoudre une pareille équation qui ne diffère d'une. équation du second degré qu'en ce que x y est remplacé par x* et x^ par x\ on pourra prendre comme inconnue x^. On posera donc

x^=y d'où x^=y^- .

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, elle deviendra

d'où l'on tirera

Maintenant, de a:*=:y , on déduit x=z±yjy ; mettant donc pour y les valeurs qu'on vient de trouver, on aura finalement

ÉQUATION BiGARRÉ£. 227

ce qui fournil pour x quatre valeurs, en combinant les signes de toutes les manières possibles, savoir :

. / — 6 + V/6»— 4ac ^— ""V 2a

— 6— \/6»--4ac 2a

Ces valeurs sont deux à deux égales et de signe contraire, et c'est ce qu'on pouvait prévoir. Car, si une valeur quelconque a , mise pour X , satisfait à Téquation proposée, la valeur égale et de signe contraire — a y satisfera également, puisque le carré de — a est le même que celui de -j^a , et que par conséquent il en est de môme de leurs quatrièmes puissances.

247. I. Soit, pour exemple numérique, Téquation a:*— 169ir'+3600=0 .

En posant x'^=iy , d'où a:*=y* , on obtient

y*— 169y +3600=0 , équation qui donne pour y deux valeurs y=144 et y=25 ; mettant ces valeurs dans x^=y' , il vient x^=lH et ;r*=25 , d'oti. x=±l2 et xz=±S .

II. Soit, pour exemple algébrique, l'équation x'—2(a^+b^)x'+{a^—by=0 .

En opérant comme ci-dessus, on aura successivement

y'-2(a'^+b')y+(a'-br=0 , d'où yz=a^+b^±iab ,

c'est-à-dire yi=(a + è)* et y=^((i — by ; donc x^=(a + by et x^:=(a — by ;

d'où a:i=:±(«+ô) et x=:.±(a — b) ,

c'est-à-dire xz^^^a-^-b , a:=— a— è , ar=:+a — b , a:= — a-jrè

â28 PUISSANCES ET IIACINKS. — ÉQUATIONS MGARRÉE ET EXPONENTIELLES :

' II est facile de vériGer que chacune de ces quatre valeurs satisfait effectivement à Téquation proposée.

848. Nous allons donner quelques exemples de questions qui donnent lieu à la résolution d'une équation bicarrée.

Problème I. Décomposer 120 en deux facteurs tels que la somme de leurs carrés soit égale à 289 .

Soit X Tun des fadeurs, l'autre sera — : on devra donc avoir a;«+^=289 , ou- a?*— 289a:«+ 14400=0 ,

d'où l'on tire x=zztin et x=±8 .

Si l'on ne veut que des facteurs numériques, les valeurs positives 15 et 8 peuvent seules convenir à la question ; mais si l'on admet les facteurs algébriques, on aura encore une solution en prenant — 15 et — 8 .

Problème II. Trouver la base et la hauteur d'un rectangle sachant que sa surface est de 12"*' et que sa diagonale a 5". (On suppose connue la mesure du rectangle et le théorème de Pythagore.)

Soit X la base, la hauteur sera — ; or, d'après le théorème

de Pythagore, la somme des carrés de ces deux dimensions doit égaler le carré de la diagonale; on doit donc avoir

a;»+~=25 , ou- a;*— 25a;*+144=0 ,

d'où Ton tire a:=zh4 et x=±i .

Ici les valeurs +4 et +3 sont les seules qui soient admissibles.

Problème III. Partager 60 en deux facteurs tels que le carré du triple du premier^ plus le carré du double du second fassent une somme égale à 801 .

Soit X le premier fadeur, le second sera — et l'on devra

avoir (3^)*+(*|?)'=801 , ou 9^*+^=801 ,

ou enfin 9a:*— 801a:*+ 14400=0 .

d'où l'on tire a:=±:8 et a?=rfc5 .

• i UQHÀTION BICARRÉE. . / .. , , . , . 2ï9*,

Les seconds facteurs correspondants seront =t^ 6t =fcy \

c'est-à-dire ±:-^ et ±12; et devront être pris avec le même signe que les premiers.

§ II. Résolution, dana que2<|Ufi9 en» sfmplesy c^uu dystème 4^ p)iisieav9"éqtialions (dont une au moins du second degré) renfermant le mêine noflabre d'inconuues.

249. Une équation à deux inconnues est dite du second degré lorsque, aprô^y.^yoir fait disparaître les déûwninateurs et effectué, lescalcùls, elle contient soit le carré de Tune des inconnues, soit le produit de ces deux inconnues. . . . , ,

En général, une équation à deux inconnues est du degré n , lorsqae, après avoir faitdisparaîlre les dénominateurset effeolUéifes calculs, la somme des exposants des deux inconnuesT^est tildans le tei*me où cette sonime est la plus grande.

Nous nous occuperons, dans ce paragraphe» dé . la réôointiqnv dans quelques cas simples, d'un système de deux équations à deux inconnues, lorsque Tune au moins? de ces équations efet du sècôrid degré. - '

Soild abord le système des deux équations

Si Ton tire de la première la valeur de y en ^ , savoir y=a — X , et qu'ou,la mette à la place de y daa$ la seconde, on obtient ' < - i ' - .

x(a — x)=zb ou axy-x^'=b , > . ; ,: ^

ou encore , x^ — ax-^b=:0 .

Si, au lieu d'éliminer y , on eût éliminé x , on serait parvenir à l'équation

y^—ay+b=^0 , ^ : : . î .

qui ne diffère de la précédente que par le caractère ijur représente l'inconnue; d'où il suit que la môme équation donné â la fois x et y ; c'e,st-à-dire : non pas que x et y sont égaux» mais qjie si l'on prend pour x l'une des valeurs fournies par l'équation du second degré à laquelle on çst parvenu, .il faudra prendre pour y l'autre valeur fournie par la même équation.

On aurait pu prévoir ce résultat : carJe§ équations proposées s'ont symétriques en a: et y ; c'est-à-dire que si l'on y changeait x en y et y en X ^ elles no changeraient pas; il en résulte que

• 2Î0 rUlSSANCES ET RACINKS. — ÉQUATIONS BiGABRÉE ET EXPONENTIELLES :

le calcul qui donne x est le même que celui qui donne y , el (]ua par conséquent il doit donner à la fois Tun et Tautre.

On tire de ce qui prëcèdc ce TaiiioRÈvE de calcul : LonqueVmi a la somme et le produit de deux quantités, elles sont données l'une et l'autre par une même équation du second degré, dans laquelle le terme affecté de la seconde puissance de l inconnue a pour coefficient l'unité : le terme affecté de la première puissance a pour coefficient la somme des deux quantités prise en sigm con traitée , et le terme indépendant de rinconnue est le produit de ces mêmes quantités. .

250. Soit, par exemple, à résoudre ce problème : Trouver ta base et la hauteur d'un rectangle, sachant que sa surface est de 48"-*» et que son périmètre est de 28" .

En désignant p^ir x la base et par y la hauteur, on aura xy pour l'expression de la surface et 2x+2y pour celle du périmètre. On derra donc a^oir

xy=i8 et 2^+2^=28 , ou x^y=li .

En vertu du théorème précédent, l'équalion qui donnera à 1^ fois la base et la hauteur sera

z]—Uz + i8=0 , d*oii z=:8 et z=6 ,

c'est-à-dire que si la base a 8" , la hauteur aura 6" ; ou que si la hauteur a 8° , la base aura 6" . Car z désigne indifféremment la base ou la hauteur du rectangle.

251, Soit proposé un système quelconque de deux équations à deux inconnues, l'une de ces équations étant du premier degré, et l'autre du second.

On pourra tirer de la première la valeur de y en ar , et, en la substituant dans la seconde, pu aura à résoudre un^. équation du second degré en x . Ayant déterminé x , on remettra sa valeur dans la première équation, et l'on tirera la valeur correspondante de y • Il y aura, en général, deux systèmes de valeurs; mais il jDourra arriver qu'un seul des deux systèmes convienne à la question particulière qui aura fourni les deux équations proposées.

Soit à résoudre par exemple, ce problème : Un capitaliste veut placer à des taux différents une somme de 40000 fr. et une somme de 26000/r. S'il lés place à intérêts simples, il en retirera 6000 fr. au bout de deux am ; m&is s'il les place à intérêts composa, il en retirera 140 /r. de plus. On demande à quels taux le capitaliste ^e propose de placer fos deux sommes.

Soient x ^i y ces deux taux. Pour obtenir l'intérêt de

ÉQUATION BIGARflÉE. 234

40000 fr. au taux x , au bout de 2 ans , à iuléfêîs simples, on' sait qu'il faut multiplier 40000 fr. par x et par 2 , et diviser le résultat par 400 . On obtient ainsi

' On obtient de la même manière, pour l'intérêt de 25000 fr., au bout de 2 ans , et au taux y

50Ôy .

On aura donc, pour première équation

ou Sx-^-^y—m . [1]

En second lieu, pour savoir ce que devient un capital de 40000 fr, au bout de 2 ans , au taux â? et à intérêts composés, on sait

qu'il faut multiplier le capital par M +-7^) i <^© ?*14 donne

De même, un capital de 25000 fr., placé pendant 2 ans au taux y et à intérêts composés, devient

Or, la somme de ces deux capitaux définitifs doit faire la somme des capitaux primitifs augmentée de ce qu'ils rapportent, c'està-dire augmentée de 6000 fr. plus 140 fr., ce qui fait en tout 71 140 fr. On a donc pour seconde équation

OU, en effectuant, chassant les dénominateurs et réduisant,

8x*+1600a;+5y*-hl000y=12280 , [2]

On tire de l'équation [11

Mettant pour y cette valeur dans l'équation [2], faisant disparaître le» dénominateurs, et réduisant, on obtient

d'où 5?=:5 et 5!:=473 ; .

232 PUISSANCES ET RACINES. — I^UATIONS BICABRÉK ET EXPONENTIELLES:

Ces vaiottrâ, mises pour x dans Téquatioa [3] donaeni

y=4 et y=5r3 .

Le problème admol donc deux solutions :

x=^5 avec y =4 .

et' ^=4^ avec y =5- .

282. Soient proposées, maintenant, deux équations simples, toutes deux du second degré ; par exemple :

ary=120 . [2]

(La seconde équation est du second degré , parce que les inconnues a; et y y sont multipliées entre elles (249).)

On peut, d'abord, tirer de la seconde la valeur de y en x^ laquelle est

et substituer cette valeur dans la première équation, qui ne contiendra plus alors que la seule inconnue x. On trouve ain^i

OU, en faisant disparaître le dénominateur x^ , et transposant a:*— 289a;'-+14400=0 , [4]

équation bicarrée, qui donne

x=±:l5 et x=±:8 .

Ces valeurs, mises pour x dans Téquation [4], donnent ensuite

y=zh8 et y=±:15 .

Les signes supérieurs doivent se correspondre ainsi que les signes inférieurs ; en d'autres termes, x ei y doivent être de môme signe, puisque leur produit doit être égal au nombre positif 120.

Remarque. Les quatre valeurs de y sont précisément les mêmes que les quatre valeurs de a? . On pouvait le prévoir; car les équations proposéees étant symétriques par rapport à a: et à y, c'est-à-dire ne changeant pas quand on y change x en y et y cxix , il en résulte que le calcul nécessaire pour déterminer y doit être précisément le même que celui quî détermine x , et que, par conséquent, on doit trouver les mêmes valeurs pour ces deux inconnues.- ^

ÉQUATION BICARRÉE. 233

Mais ce ne sont point tes valeurs égales qui se correspondent :

à la valeur a:=+15 correspond y=+ 8 ,

SS3. On peut encore résoudre le système des deux équations précédentes par un autre procédé qu'il est bon de connaître.

On remarque que si, au premier membre de Téquation [1], on ajoutait le double du premier membre de l'équation [2], on obtiendrait le carré de a:+y ; et que si Ton retranchait au lieu d'ajouter, on obtiendrait le carré de x — y ; par suite, on connaîtrait la somme des deux inconnues ainsi que leur différence; et en vertu du théorème démontré au n® 3 on obtiendrait immédiatement chacune de ces inconnues.

On trouve, en effet, en opérant ainsi :

a;'-+2^+y* , ou (a:+y)'=289+240^529 ,

et x^—ixy-\-y^ , ou (a;— y)»=289 — 240= 49 ,

d'où l'on tire a?+y==b23 ,

et X — y==i: 7 .

Par suite x^=i — - — et y:= — ~^^ ,

ce qui donne pour x et y les valeurs écrites plus haut.

254. Soit proposé, par exemple, ce problème : Trouver les deux côtés de r angle droit d'un triangle rectangle^ sachant que son hypoténuse a 13 mètres, et que sa surface est de 30 mètt^es carrés.

En désignant^ par a; et y les deux côtés demandés, et remarquant que si l'un de ces deux côtés est pris pour base du triangle, l'autre mesure précisément la hauteur, on aura les deux équations* :

x^^7/=im ,

et

i^=30«-^ ou' xy=60 .

* La somme des carrés des deux côtés de l'angte droit équivaut au carré de l'hypoténuse ; et la surface du triangle a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur. (Voy/notre Géométrie ihéoriq'm et pratiiusy i" édition.)

234 ruissANCES et racines. — équations DiCAiiRÉE ET exponentielles:

On lire de là (x+y)*=i09+ 120=289 , et {x—yY=l(j9—l20z= 49 ,

d'où X'\-y=l7 cl X — y=^l .

On peul se dispenser du double signe en remarquant que x el y doivent être positifs, et en convenant d'appeler x le plus grand de ces deux côtôs.

On a ensuite (3)

25S. Comme exemple d'une question à trois inconnues, soil proposé le problème suivant :

Trouver les trois dimensions d'un parallélépipède rectangle^ sachant que sa diagonale a 7 mètres, que la surface de sa base est de 12'°'** , et que la somme de ses douze arêtes est de 44 mètres.

Désignons pai x el y les deux côlés adjacents du rectangle de .base, et par z la hauteur du parallélépipède, nous aurons les trois équations

xy={i , . . ,'[2]

el 45? + 4y + 45=44 ou a:+y+^==** » [3]

qui expriment : 1^ que la sommc.des carrés des trois arêtes aboutissant à un môme sommet équivaut au carré de la diagonale; 2® que le produit des deux côtés adjacents du rectangle de base mesure la surface de ce r^ectangle; i^ qme la sommei des idouse arêtes, lesquelles sont égales 4 à 4 , est de 44"*,

Pour résoudre ce système d'équations, mettons la première sous la forme

ar*4-y'-=49 — 2* .

Ajoutons-la membre à membre avec l'équation [2] muUipliée jxar 2. ; nous aurons

ou • (^+2^)^-=73— s* .

Mais, de la troisième équation proposée, on tire

Mettant pour x-\-y cette valeur dans l'équalioff ci-dessus, il vient

{ii-zy—n-^z- , :

OU, en développant; transposant et réduisant,

ÉQUATION BICARRÉE. 235

OU encore z^ — Uz+2.4:=ziO ;

(Voù z=8 et z==3 .

La valeur z=8 ne peut convenir au problème ; car le carré (le 8 est plus grand, ili lui seul, que 49 . Prenons donc ^=3 , il en résulte

et comme on a ;ry = 1 2 ,

on est ramené à un système analogue i\ celui du n^ 249. Dès lors on aura à la fois a: et y en résolvant l'équation

dans laquelle le terme en u a pour coefficient la somme 8 dos deux inconnues, prise en signe contraire, et où le terme indépendant de u est le produit 12 de ces mômes inconnues.

Cette équation donne t*=6 et tt=2 . On a donc t=6 , y=2 ou bien a:=2 , y=6 .

286. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes qui suivent :

L Trouver la base et la hauteur d'un rectangle ^ sachant qve Ba diagonale a 3™. 7 et que s\mrface est de i^'^jâO. . (Réponse : 3"»,5 et I",2 .)

H. Trouver une fraction telle que le produit (L' ses deux termes soit 12 , et que s/, à cette fraction', on ajoute la même fraction renversée^ on obtienne pour somme 2f^ .

(Réponse : ^ ou * . j

III. Calculer les trois côtes d*un triangle rectangle, sachant que son périmètre est de 90"" et que sa surface est de 180"*' .

(Réponse : hypothénuse, 41™ ; côtés de Tangle droit, 40* et9"* .)

IV. Calculer les trois arêtes adjacentes d'un parallélépipède rec* tangle^ sachant que sa diagonale a 13"" , que ta somma de ses faces est de 192"-*' , et que le périmètre du rectangle de base est de 14™. (Réponse : côtés du rectangle de base, 3" et 4™ ; hauteur du parallélépipède, 12" .)

V. Partager 17 en trois parties telles quèli somme de leurs carres soit égale à 121 , et que le produit des deux parties extrêmes soit égçtl au triple de la partie moyenne,

(Réponse : 2 , 6 , 9 .) '\

286 PUISSANCES ET RACINES. — EQUATIONS BIGARRÉE ET EXPONENTIELLES: § HT. Discussion de réquation bicarrée.

287. L'équation bicarrée peut se présenter sous l'une des deux formes

x^'^px^-\-q=0 , ou ttr*+6a7*+c=0 *

En posant x^=:y , on peut écrire

y*+W+?=0 , ou flfy*-f %+c=0 .

Soient y' et y" les deux racines de Téqualion en y , on aura

x'=±yjy' et x''=±\ff .

1** Si y' et y" sont réels et positifs, on aura pour x quatre valeurs réelles, dont deux positives et deux négatives, égales deux à deux en valeur absolue. Ce cas se présentera quand on aura en même temps

q>0 , p<0 et Ç-î>0 ,

ou c>0 , ft<0 et 6'-— 4ac>0 ,

attendu que a peut toujours être supposé positif.

2** Si y' est positif et y" négatif, %n aura pour x' deux valeurs réelles, égales et de signe contraires ; pour x" deux valeurs imaginaires. Ce cas ajira lieu pour

9<0 ou c<0 .

3** Si y' et y" sont tous deux réels cl négatifs, on aura pour œ quatre valeurs imaginaires Ce cas aura lieu pour

q>0 , p>0 et Ç— ry>0 ,

ou c>0 , ft>0 et lr—fiac>0 .

4"* Si y' et y" sonlimaginaires, il en sera de même des quatre valeurs de x , puisque la racine carrée d'une quantité imaginaire du second degré est elle-même imaginaire (166, VI). Cecas se présentera pour '

î>0 et Ç-ry<0 ,

OU' o>0 et b^—iac<0,

5° Si y' et y' sont égaux!, 1^ valeurs positives de x seront

ÉQU.VTION BIGARRIL&. . . 287

égales entre elles, et les valeurs négatives égales entre elles. Cela aura lieu pour

^—q=0, ou 6'-— 4a(;=0 .

Elles serontd'ailleurs réelles, nulles ou imaginaires, suivant que y' et y' seront positifs, nuls ou négatifs, c'est-à-dire suivant qu'on aura

ou 6<0 , é=:0 , é>0 .

6** Si l'équation en y a des racines infinies, il en sera de même de l'équation en x . Mais celles-ci pourront être réelles ou imaginaires, suivant que les racines de l'équation en y seront égales à l'infini positif ou à l'infini négatif.

258. Comme exemple de cette discussion nous traiterons la question suivante :

Problème. Un capitaliste place deux sommes ti et h à des taux différents et à intérêts composés pendant deux ans, et obtient au bout de ce temps un capital définitif total c . S*il eût placé les mêmes sommes une année au premier taux^ et l* année suivante au second taux, le capital définitif total eût été A . On demande quels, sont ces deux taux. * .

Désignons par t et t' les deux taux demandés, La sommes a au taux t . et à intérêts composés, devient au bout de deux ans

afl-j-T^j ; la somme b au taux t' , à intérêts composés et