f-TTTJ . On a donc pour première équation

La somme a au taux t , au bout d'un an, devient ^(^'\^7qr) \ cette dernière somme au taux t' , au bout d'une autre année, devient à son tour ^(1+7ôâ)(1+7ââ)« ^^ somme b , placée

de la môme manière, deviendrait *(l+|5j[j) (*+îôô) • ®" ^ donc pour seconde équation

Pour simplifier le calcul, prenons pour inconnues les quantités t t!

l+îÂQ et *"l"foô ^ posons en conséquence

Les deux équations du problème deviendront

flfx'+^y*=c et {a-{-b)xy=d .

Si Ton prend dans la seconde la valaur de a? en y pour la substituer dans la première, on trouve, après avoir fait disparaître les dénominateurs,

a(a+6)V— (a+6)*cj?'-+M*=0 ; [1]

en ne mettant point dédouble signe devant le radical total, attendu que X doit être essentiellement positif.

En éliminant au contraire x entre les deux équations proposées, on arrive à l'équation

b(a+b)Y—(a^bycy^+ad'=zO ; [3]

d'où ./(a+b)cz^Via+b)^c^--^al>d*

On doil mettre ip au lieu de ± devant le radical intérieur, afin qu'en prenant les signes supérieurs, ensemble ou les signes inférieurs ensemble, on obtienne un système de valeurs qui satisfasse aux équations proposées.

l*" Le second terme des équations [1] et [3] étant essentiellement négatif, et le troisième étant essentiellement positif, il s'ensuit que, pour que les valeurs obtenues soient réelles, il suflilque le radical intérieur le soit, c'est-à-dire qu'on ait

Le problëfDe est alors susceptible de deux solutions distinctes. Ayant obtenu x'ei y y on en déduira facilement

r^lOOz:— 1 et l'=100y— 1 .

Comme cas particulier, supposons que les deux modes de placement donnent le même capital définitif, ou qu'on ait c=d ; les valeurs de x et de y deviendront

ÉQUATION BICARRÉE. : ' 239

oe qui donne les deux systèmes

ff à / c 6 ti ^ I c a

Le premier système donne a/=y' , solution évidente à priori dans ce cas.

2« Si l'on a {a^byc^=kabd' , [6]

les deux systèmes se réduisent à un seul :

Dans ce cas, on ne peut supposer c=zd sans supposer en même temps a=b ; car si Ton fait c=d dans la relation [6], elle se réduit, en divisant par c* , à

{a+by=kab , d'où a*— 2ad+6^=0 , ou {a — 6)*=iO , ou enfin «=r:A .

S"» Si l'on a (a+ô)V*<4«*rf* ,

les deux systèmes sont imaginaires.

4® Si l'on suppose a=0 , l'équation [1) donne pour x^ une

d valeur infinie, et une valeur finie — a:=7y7= .

L'équation [3] donne y*=0 , et y=\/^ pour les valeurs

correspondantes.

On peut s'assurer que le second système satisfait alors aux deux équations proposées. Quant au premier, il s'explique en remar- • quant que si la somme a était très-petite, l'un des systèmes représentés par les équations [2] et [4] donnerait pour x une valeur très-grande et pour y une valeur très-petite; en sorte que si a devient nul, a: devient infini et y nul.

5® Si l'on suppose à la fois a=0 et b=zO , toutes les valeurs se

présentent sous la forme ^ ; mais si Ton commence par faire

i=:a dans les équations [1] et [3], et si l'on supprime le fadeur a alors commun à tous les termes, puis qu'on fasseensuite a;=0, ces équations se réduisent toutes deux à d*=0 , ce qui indique que les valeurs de x et.de y sont infinies (176 et 8S7, G°). Il est évident, en effet, qu'il faudra un taux d'autant pltfs élevé pour Alg, s. 16

240 PUISSANCES ET RAClN,K^Sy — ÇjJ^U^TfW^CARRKE ET EXPONENTIELLES :

obtenij-iip^méraçcapitaçldéfiflUif., <j^çi U.caflit^|,prifiHt|f,^er4jplus petitret qiiè par conséquent si le capital primitif devicî^^J^^^,.il faudra un taux infininaent erand.

289. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes suivants :

I. Trouver les qitatre^ termes âhine proportion par quotient, dont la raison est q , sachant que la somme des carrés âèoes^ermès êêt^gak « a , eï que letir produit e^t égala b . ,

II. Inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface soit équivalente à un cercle donné/ :: : : / v ' '

III. Partager wp nombre a en deuœ pfotties^ {elles qm^ ^ lonjm^ltiplie respectivenieht leursf carrés par m^ et n ^la différence des produits soit égale à un n,omhre donné b^ / .

IV. Trouver les rayons def hases d'un tronc 4e cône ^ connatssaÀÏ sa hauteur, son volume^ et la moyenne géométrique entre l^sj^^r faces fie ses hnsef[^x\ èburrà représenter cette moyenne par ^>u^/ace 'd'un cercle tfolàné, et le volume du trotic'par celui d'ûii^/çyliad^^^ môme hauteur.)

260. On a vu que la résiblulion d^Téqnation bicarrée conduit en général à des valeurs de la forme

dans laquelle un radical du second degré porte sur une quantité composée d'une partie rationne/le d , et d'une partie irration-

On peut;, dans ççrlainscas particuliers, transformer cet.tf.^xpression en une autré,lcpmjposée de deux radicaux séparés, [tèi|jB.j(jup

yjm-r\/n • Pour y parvenir, posons ^

d'où ' ''/^Qp^=a^'^^ , ou i^— 4^\/?J /''' t Al vr..'*

et, en élevant une seconde' f^laii^arréi et faisaiil pâssefr touiîtes termes dans un membre.

Cette équation i)iôarrée pîeut être considérée (28!!) ^cï^miber' résultant de l'élimination de y entre les deux équationà- ' ' ' '•'

x^'-l-yHi^Sa' et/ 'an/=:y[^^^/ ,

yôtème d'équations totam

Or, si Tan iraitê ce système d'équations comme au 'ti^ !iè»al,' on obtient: ' ' !

• i Ml M

Par conséquent : .^ . . .

.r+y=div/2a'+2VSer6'^ ' • ; "

et a:— y=it:^2a— 2v/«**-:6, • •«. • \ ^

OU

ya±^^^^^

Sous cette forme on voit que la transformation qu'on se propose serait effectuée si à^—b était un carré parfait; car, en désignanl sa racine par c , on aurait

:r=:zfcy/2±Sd:y^ ..

jt (f:i

Quant au\ signes qu'il conviendra de prendre, on remarquera que si Ton élève celle vaieur^u carré, on obtient

et qu'il faut mettre le signe -^ ou le signe — dçvarit^e radical, suivant que les deux radicaux séparés, qui entrent flans la valeur de .v , sont pris avec le même signe ou en signe cofitraire. Or, on doit avoir aussi

Les deux radicaux de la valeur trouvée pour x devront donc être pris avec le même s igne ; et fie sigije devra être -j- si l'expression proposée ^a+V^ est elle-même précédée du signe + . Ce signe devrait au colitraire être — , si l'expression proposée était préçédée.da signe — . En sorte qu'on a

S'ili^'agissiiit4»au contraire, de rexpjresaâoa; s/«^ V^ , on trouverait de même : . /

Exemples. I. Soit proposée Texpression

Vs—V^o •

On a, dans ce cas, «' — 4=64 — 60=4, d'où c=:2 , par suite

IL On démontre en géométrie qu'en appelant R le rayon d'un cercle, m le côté d'un polygone régulier inscrit, et x le côlé du polygone régulier inscrit d'un nombre double de côtés, on a

On a, dans ce cas,

a»— Ô=4R*— (4R*— 4m*R*)=4m*R'- , d'où c=2mR ;

par suite x—\J — ^ y ^ '

ou ir=VR(R+m)— v/R(R— m) .

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