H. 12 , ou
Exemple III. De combien de manières les cartes peuvent-elles être disposées dans un paquet de 24 cartes ?
Le nombre demandé est celui des permutations de 24 objets; c'est-a-dire
L2-3.4,5.6,7,«.9a0,Ha2»13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24 .
En effectuant les calculs, on trouve
265. Ayant déterminé le nombre des arrangements de m objets n à n, et le nombre des permutations possibles de n objets, on obtint sur-le-champ le nombre des combinaisons n à n par la formule
établie au n« «61 .
En metlant pour A»,,„ et pour P» leurs valeurs (262, 264j, on trouve
p m(m— IJCw— 2) (m— 3).... (m— 71 -l-i)
Il y a, dans cette expression, w facteurs au numérateur et autant au dénominateur. Le numérateur a pour premier facteur le nombre total m des objets ; les autres facteurs vont en diminuant successivement d'une unité. Le dénominateur est le produit de la suite naturelle des nombres entiers depuis 1 jusqu'au nombre n d'objets qui entrent dans chaque combinaison.
On wrait pu aussi établir cette formule directement.
Supposons qu'on ait formé les combinaisons de m lettres n— 1 à n — 1 , et qu'on veuille former les combinaisons n à w. On pourra, à la droite de chaque combinaison n — 1 h n — 1 , écrire successivement chacune des m — (n — 1) ou m — ?î+1 lettres restantes. Mais il est facile de voir que chaque combinaison n k n sera ainsi répétée n fois ; car elle proviendra également de l'introduction de Tune quelconque des n lettres qui y entrent, dans la combinaison formée des n — 1 autres.
Pour avoir le nombre des combinaisons w à m , il faudra donc multiplier le nombre dès combinaisons n — 1 à n — 1 par m — »-f-l , et diviser !e produit par n . Ainsi on a
Si, dans cette formule^ qui est générale, on donne à n toutes les valeurs depuis 2 jusqu'à n, on aura la série d'égalités
Vi«i,4 Ci/rt,3«
Multipliant terme à terme, supprimant les facteurs communs
aux deux membres, et remarquant que Cm,i=w , on y , il
viendra
m{m--\) {m—Vj (m — 3 . . . . (m— n+i)
Exemple I. Dam un conseil^ composé de 12 membres^ on tire au sort une commission de 5 membres^ pour s'occuper d'un certain travail. De combien de manières cette commission pourra-Pelle être composée ?
Le nombre demandé est celui des combinaisons de 15 objets 5 à 5 . Le numérateur devra se composer des 5 facteurs 12.11.10.9.8 ; et le dénominateur des S facteurs 1.2.3.4.5. Le nombre cherché sera donc
?!2!y.t5 ' ^^ **-^-^' ou enfin 792.
Exemple IL Un maître, de poste, qui a 15 chevaux dans soti écurie^ doit en fournir 4 pour relayer une voiture ; de combien de manières peut-il le faire?
Le nombre demandé est le nombre des combinaisons de 15 objets 4 à 4 . Le numérateur devra se composer des 4 facteurs 15.14.13.12 ; et le dénominateur, des 4 facteurs 1.2.3.4. Le nombre cherché sera donc
